Una de las limitaciones que actualmente se observa en el modo de presentar el concepto de fracción como resultado de dividir una cosa, una figura o un número en tantas partes como indica el denominador y coger tantas como indica el numerador, radica en la dificultad que manifiestan los alumnos a la hora de comprender el significado de una fracción impropia, es decir, de una fracción cuyo valor numérico es mayor que 1.
Consideremos, por ejemplo, la fracción 11/8. Los años de experiencia nos han mostrado que los alumnos tiene dificultad para entender que una cosa, una figura, la dividamos en 8 partes y cojamos 11. Los alumnos manifiestan la idea que si una cosa la dividimos en 8 partes, no podemos coger más de 8 partes.
De otro lado, hemos observado que los alumno que recorren el proceso de aprendizaje basado en dicho concepto de fracción, y que es el que predomina actualmente en las aulas, presentan también dificultad en expresar una fracción impropia en forma de una suma de un número entero más una fracción impropia y viceversa: Es decir:
8 6 3 8 30 + = ; 10 37 10 7 3+ =
Veamos como resuelven dichos alumnos esta operación:
10 37 10
7 3+ =
- En algunos casos, los alumnos aplican el siguiente algoritmo:
10 7 3 + = 10 37 10 7 10 3 = + ×
- En otros casos, resuelven el ejercicio transformando el número entero en una fracción de denominador 1 y, posteriormente, sumando las dos fracciones. De este modo:
Aquí, como otras tantas veces, se pone de manifiesto el aprendizaje carente de significación. Los alumno realizan determinados algoritmos mediante un procedimiento que les resultan extraños, carece de sentido, y que, en la mayoría de los casos, son aprendidos de memoria a instancia del profesor.
Sin embargo, en la metodología y mediante los recursos que aquí se proponen, este aprendizaje se resuelve sin dificultad alguna. De hecho, los alumnos desde el principio interpretan y construyen fracciones tanto propias como impropias, calculan el valor numérico de ambas y ni siquiera observan diferencias entre ambas.
A continuación podremos observar de qué modo tan sencillo, casi de forma intuitiva y por medio de la percepción, nuestros alumnos resuelven operaciones como la anteriormente descrita.
Comenzaremos, en un principio, proporcionando a los alumnos información sobre las dos clases de fracciones: propias e impropias. Para ello propondremos a un alumno del grupo la siguiente actividad:
- Forma con las regletas las fracciones 3/5 y 9/4.
- ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 3/5? 0’6 - ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 9/4? 2’25.
- ¿Cuál de las dos fracciones representa menos de un metro? La
fracción 3/5.
- ¿Cuál de las dos fracciones representa más de un metro? La
- ¿Cuál de las dos fracciones tiene un valor numérico menor que 1?
La fracción 3/5.
- ¿Cuál de las dos fracciones tiene un valor numérico mayor que
1? La fracción 9/4.
- A las fracciones que tienen un valor numérico menor que 1, se les denomina fracciones propias. A las fracciones que tienen un valor numérico mayor que 1, se les denomina fracciones impropias.
A continuación representamos en el franelograma las siguientes fracciones: 3/2 , 2/4 , 7/5 y 8/10.
Nos dirigimos al grupo y preguntamos:
-¿Quién sabría decir, a simple vista, qué fracciones tienen un valor numérico menor que 1, es decir, qué fracciones son propias? Las fracciones 2/4 y 8/10.
- ¿Quién sabría decir, a simple vista, qué fracciones tienen un valor numérico mayor que 1, es decir, qué fracciones son impropias? Las fracciones 3/2 y 7/5.
Escribimos en la pizarra las fracciones: 1/2 , 5/2 , 7/4 , 3/4 , 2/5 , 13/8 y 9/20. Los alumnos formarán los dos grupos siguientes:
Fracciones propias = 1/2 , 3/4 , 2/5 y 9/20. Fracciones impropias = 5/2 , 7/4 y 13/8.
A continuación preguntaremos a los alumnos cómo han pensado, de qué modo han tenido que razonar o en qué se han fijado para saber qué fracción es propia y cuál es impropia.
Por último, representaremos estas fracciones en el franelograma al tiempo que determinaremos sus respectivos valores numéricos.
Veamos ahora cómo los alumnos transforman una fracción impropia en un número mixto. Iniciamos el proceso solicitando a un alumno que forme en el franelograma la fracción impropia 11/4.
- ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 11/4? 2’75.
- ¿Cuántos metros enteros hemos formado con la fracción 11/4? 2
metros enteros.
- ¿Cuántas cuartas partes nos sobran? 3 cuartas partes.
- Sustituye ahora los metros enteros formados por cuartas partes por
La siguiente actividad consiste en escribir en la pizarra la expresión matemática: 3 + 2/5 y pedirle al grupo de alumnos que forme en el franelograma lo mismo que aparece escrito en la pizarra.
- ¿Quién sería capaz de formar en el franelograma lo mismo que
aparece escrito en la pizarra? Es decir, tenemos que ver en el franelograma lo que tenemos escrito en la pizarra. Tenemos que “ver” el número 3 y tenemos que “ver” la fracción 2/5.
Es posible que el alumno forme la siguiente representación en el franelograma:
En ese caso, preguntaremos al grupo si están todos de acuerdo. Alentaremos el debate entre los alumnos. Finalmente el profesor expresará la respuesta:
“Lo que aparece en el franelograma no es 3 + 2/5 puesto que lo vemos es en realidad son 17 regletas de la quinta parte. Por lo tanto, en el franelograma la fracción que aparece representada es 17/5. Si bien es cierto, que 17/5 partes es una expresión equivalente a 3 + 2/5.”
La representación adecuada a 3 + 2/5 sería:
Seguiremos representando algunos números mixtos más para afianzar el conocimiento. Al mismo tiempo introduciremos la información
Escribimos en la pizarra la expresión matemática: 4 + 3/8 y pedimos al grupo de alumnos que forme en el franelograma lo mismo que aparece escrito en la pizarra.
- ¿Quién sería capaz de formar en el franelograma lo mismo que
aparece escrito en la pizarra?
A continuación informamos al grupo:
“Como lo que tenemos representado en el franelograma es una mezcla de metros enteros más una fracción, los matemáticos llaman a estas expresiones números mixtos.”
Formulamos igualmente las siguientes preguntas:
- ¿Cuántos metros enteros tenemos en el número mixto que hemos
formado? 4 metros enteros.
- En el número mixto que hemos formado tenemos, efectivamente, 4
metros enteros pero, ¿qué fracción más? 4 metros enteros más la fracción 3/8.
- ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 3/8? 0’375.
- Si tenemos 4 metros enteros y la fracción 3/8 tiene un valor de
0’375., ¿Qué valor tendrá en total el número mixto representado en el franelograma? 4’375.
Ahora pedimos al grupo que forme en el franelograma el número mixto 1 + 4/5
- ¿Quién quiere formar en el franelograma el número mixto 1 + 4/5?
- ¿Qué fracción impropia podríamos formar a partir del número
mixto 1 + 4/5, si sustituyéramos el metro entero por regletas de la quinta parte? ¿Quién quiere realizar el ejercicio de forma práctica?
- ¿Qué fracción impropia hemos formado? 9/5.
- ¿Alguien podría explicar por qué se ha formado la fracción 9/5?
Porque un metro entero tiene 5 quintas partes, más otras 4 quintas partes que teníamos, en total tendremos 9 quintas partes.
- ¿Cuál es el valor numérico del número mixto 1 + 4/5? 1’8.
- ¿Cuál es el valor numérico de la fracción impropia 9/5? Lo mismo,
1’8.
“Como las expresiones matemáticas 1 + 4/5 y 9/5 son en apariencia distintas pero en esencia tienen el mismo valor numérico, diremos que son expresiones matemáticas equivalentes”
Reforzaremos el este aprendizaje con un ejercicio inverso:
- ¿Quién quiere formar en el franelograma la fracción impropia
11/4?
- ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 11/4? 2’75.
- Si sustituyéramos los metros que hemos formado uniendo las
regletas de la cuarta parte por metros enteros, ¿qué número mixto formaríamos? 2 + 3/4.
Hasta ahora los alumnos han aprendido a expresar una determinada longitud en forma de número decimal, en forma de fracción y en forma de número mixto. Por este motivo, como última actividad, propondremos el siguiente ejercicio:
Construimos en el franelograma la siguiente representación:
Solicitamos a distintos alumnos del grupo que expresen lo que aparece representado en el franelograma, en forma de número decimal, en forma de fracción impropia y en forma de número mixto.
- ¿Qué numero decimal tenemos representado en el franelograma?
- ¿Qué fracción impropia tenemos representada en el
franelograma? La fracción 20 /8.
- ¿A qué número mixto equivale lo que tenemos representado en el
franelograma? Al número mixto 2 + 4/8.
Entendemos que cuando los alumnos llegan al final de este proceso del aprendizaje, muestran un excelente dominio del concepto de fracción. Dicho dominio le posibilitará acceder a otros aprendizajes relacionados con el conjunto de las fracciones, así como diversos aspectos relacionados con el cálculo mental, con el concepto de proporcionalidad y con el cálculo de porcentajes que posteriormente tendrá que abordar.