GDT 125 A Scope
D. Procedures 1 Prerequisites
Cuando el alumno realiza, por ejemplo, de forma práctica la actividad:
“Forma con regletas de la mitad la fracción 9/2 y calcula su valor numérico”
Observa que:
- Con cada dos regletas mitad, forma un metro.
- Las 9 regletas se han dividido en dos grupos: 8 y 1. Las 8 regletas que forman metros enteros más la regleta sobrante.
- Con las 8 regletas, forma 4 metros, esto es la mitad. Luego, basta añadir 0’5, que es la longitud de la regleta sobrante.
Cuando el alumno realiza, por ejemplo, de forma práctica la actividad:
“Forma con regletas de la mitad la fracción 8/2 y calcula su valor
numérico”
Obtiene las mismas conclusiones que en la actividad anterior pero, en este caso, no existe regleta sobrante.
no sobra ninguna regleta. Si el número es impar, tiene que hallar la mitad del número par inferior y sumarle 0’5.
En definitiva, el alumno identifica que hallar el valor numérico de la fracción 8/2, o de la fracción 9/2, es lo mismo que hallar la mitad de 8 o la mitad de 9 respectivamente.
Como el alumno ha aprendido con anterioridad a calcular mentalmente la mitad de número, realiza esta actividad aplicando el aprendizaje anteriormente conquistado, aunque hemos observado que después de realizar el proceso de aprendizaje que aquí analizamos, los alumnos incorporan nuevas estrategias de cálculo mental para hallar la mitad de un número.
Ahora veremos, con algunos ejemplos, de qué manera calculan los alumnos la mitad de algunos números. En otra Unidad Didáctica se aborda este proceso de aprendizaje de forma más detallada y sistemática.
- Valor numérico de la fracción 2 14
= 7
En este caso, el alumno se limita a calcular la mitad de 14 de forma inmediata. Sabe por múltiples experiencias anteriores que si divide 14 elementos en dos grupos iguales, cada grupo tendrá 7 elementos.
- Valor numérico de la fracción 2 15
= 7’5
Aquí el alumno descompone el número 15 en 14 + 1. La mitad de 14 es 7. La mitad de 1 es 0’5. Por lo tanto, la mitad de 15 será 7’5 (7 + 0’5). Obviamente, el alumno sabe que la mitad de 1 es 0’5 porque la mitad de un metro es igual a 5 decímetros, es decir, 0’5.
- Valor numérico de la fracción 2 27
= 13’5.
Una. Descomponiendo el número 27 en 26 + 1. La mitad de 26 es 13. La mitad de 1 es 0’5. Por lo tanto, la mitad de 27 es 13’5.
(A su vez, el alumno sabe que la mitad de 26 es 13 porque en su día aprendió que 26 se descompone en 20 + 6. La mitad de 20 es 10. La mitad de 6 es 3. Por lo tanto la mitad de 26 es 13.)
Otra. Descomponiendo el número 27 en 20 + 7. La mitad de 20 es 10. La mitad de 7 es 3’5. Por lo tanto, la mitad de 27 es 10 + 3’5 = 13’5.
- Valor numérico de la fracción 2 30
= 15.
Hemos observado en nuestra práctica diaria dentro del aula que de nuevo los alumnos razonan de dos formas distintas:
Una. La mitad de 30 es 15 porque en su día descompusieron el número 30 en 20 + 10. La mitad de 20 es 10. La mitad de 10 es 5. Por lo tanto, la mitad de 30 es 15.
Otra. Hay alumnos que responden simplemente diciendo: “Como la mitad de 3 es 1’5, entonces la mitad de 30 será 15”
- Valor numérico de la fracción 2 95
= 47’5.
La forma más usual que emplean los alumnos es: 90 + 5
45 + 2’5 = 47’5
- Valor numérico de la fracción 2 120
= 60.
Las distintas estrategias que utilizan en este caso los alumnos son las siguientes:
- Una. “Como la mitad de 12 es 6, entonces la mitad de 120 será 60”
- Otra. 100 + 20
50 + 10 = 60
- Valor numérico de la fracción 2 360
= 180.
Los alumnos razonan de diversas maneras pero la más usual es: 360 = 300 + 60
1 + 30 = 180
- Valor numérico de la fracción 2 453
= 226’5. La forma más usual que emplean los alumnos es:
453 = 400 + 50 + 3
1 + 25 + 1’5 = 226’5
- Valor numérico de la fracción 2 790
= 395.
Lo usual es que los alumnos calculen del siguiente modo: 790 = 700 + 90
También hemos observado que hay alumnos que calculan del siguiente modo:
790 = 800 – 10 400 – 5 = 395 Veamos un último ejercicio. - Valor numérico de la fracción
2 1870
= 935. 1.870 = 1.800 + 70
Actividad número 2.
Cuando los alumnos representan en el franelograma las fracciones ¼, 2/4, ¾ comprueban experimentalmente que el valor numérico de las fracciones es, respectivamente, 0’25, 0’5 y 0’75. Sin embargo, no tienen conciencia de que están calculando, de igual modo, la cuarta parte de 1, la cuarta parte de 2 y la cuarta parte de 3, ya que se limitan a colocar las regletas sobre el franelograma y calcular la longitud formada.
Cuando representamos la fracción 13/4 en el franelograma:
Y formulamos las preguntas:
- ¿Cuántas regletas tenemos? 13.
- ¿De cuantas en cuantas las hemos agrupado para formar metros?
De 4 en 4.
- ¿Cuántos grupos hemos formado? 3 grupos o metros.
- ¿Cuántas regletas de la cuarta parte nos han sobrado? Una. - Escribe la división que hemos realizado:
13 4
1 3
El alumno empieza a tomar conciencia que calcular el valor numérico de 13/4 partes puede interpretarse igualmente como calcular la cuarta parte de 13, puesto que hallar la cuarta parte supone dividir entre 4.
Como el alumno aprendió, en un proceso de aprendizaje anterior, a calcular la cuarta parte de un número, le bastará aplicar la cuarta parte del numerador para hallar, de este modo, el valor numérico de la fracción.
Como acabamos de indicar, el alumno comienza el aprendizaje del concepto de fracción sabiendo calcular la cuarta parte de un número pero hasta ahora únicamente lo hacía sobre números que eran divisibles entre 4, esto es, sobre números cuyas cuartas partes eran exactas.
Veamos ahora, de un modo resumido, cómo calculan los alumnos la cuarta parte de un número. (Para mayor información sobre este procedimiento de cálculo, remitimos a la unidad didáctica “Las relaciones numéricas: La cuarta parte”
Los alumnos utilizan básicamente tres procedimientos:
El primer procedimiento está basado, por así decirlo, en la tabla de
multiplicar del 4 pero expresada en forma de división.
Este procedimiento posibilita al alumno calcular la cuarta parte de los números 4 – 8 – 12 – 16 – 20 – 24 – 28 – 32 – 36 y 40. Como sabemos la cuarta parte será: 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 y 10.
Pero igualmente, le posibilita calcular la cuarta parte de estos mismos números ampliados a 10, 100 ó 1.000. Es decir, y como ejemplo, como la cuarta parte de 12 es 3, entonces, la cuarta parte de 120 será 30 ó la cuarta parte de 1.200 será 300.
El segundo procedimiento está basado en la experiencia adquirida
por alumno y que consiste en haber comprobado que calcular la cuarta parte de un folio, de un metro, de un conjunto de objetos, etc., es igual a calcular la mitad de la mitad. Lo ilustramos con un ejemplo sencillo.
La cuarta parte de 600. La mitad de 600 es 300. La mitad de 300 es 150. Por lo tanto, la cuarta parte de 600 será 150.
El tercer procedimiento está fundamentado en los dos anteriores
pero descomponiendo previamente el número en dos o tres partes. Explicamos este tercer procedimiento calculando la cuarta parte de 624.
624 600 + 24
Ahora el alumno, como ya ha incorporado el aprendizaje de la cuarta parte de 1, de 2 y de 3, está capacitado para calcular la cuarta parte de cualquier número. Ahora el alumno podrá calcular la cuarta parte de 13 diciendo:
13
12 + 1
3 + 0’25 = 3’25
Como podemos comprobar, el procedimiento del cálculo del valor numérico de la fracción 13/4, es decir, de la cuarta parte de 13 se corresponde fielmente con la acción representada en el franelograma.
Por último vamos a analizar cómo calculan los alumnos el valor numérico de algunas fracciones que aparecen en la actividad número 2.
- Valor numérico de la fracción 23/4. 23
20 + 3
5 + 0’75 = 5’75 - Valor numérico de la fracción 128/4
128 120 + 8
30 + 2 = 32
1 Valor numérico de la fracción 720/4 720
- Valor numérico de la fracción 1423/4 1.423
1.400 + 20 + 3
350 + 5 + 0’75 = 355’75
(La cuarta parte de 1.400 es 350 porque la mitad de 1.400 es 700 y, a su vez, la mitad de 700 es 350)
- Valor numérico de 5400/ 4 5.400 4.000 + 1400
1.000 + 350 = 1.350
Evidentemente, aquí hemos expuesto las respuestas más usuales que hemos observado en los alumnos. Sin embargo, los procedimiento empleados por los mismos son múltiples y variados y, en muchos caso, pueden resultar sorprendentes.
Actividad número 3.
La octava parte en la vida práctica no tiene una excesiva utilización. Ni tan siquiera su posterior expresión en forma de porcentaje (el 12’5 %). Sin embargo se estimó oportuno incorporarla en el estudio del concepto de fracción ya que posibilitaba trabajar con las milésimas, facilitar la comprensión de fracción equivalente y establecer relaciones entre la mitad, cuarta y octava parte. Por ello, no se pretende ahondar en el cálculo mental de la octava parte de un número más allá del desarrollo de unas determinadas capacidades de razonamiento y de cálculo en los alumnos.
Esencialmente se procede como con la cuarta parte. Los alumnos calcularán la octava parte de un número utilizando las tres mismas estrategias:
- Partiendo de los números divisibles entre 8 hasta el 80.
- Hallando la mitad, de forma sucesiva, tres veces. O también, calculando la mitad de la cuarta parte.
- Mediante descomposición.
En los ejercicios de la página 3, hasta la fracción 20/8 se recomienda que se realicen de una forma práctica para deducir calcular el valor numérico de estas fracciones es equivalente a hallar la octava parte de los numeradores.
Veamos con algunos ejemplos cómo calculan los alumnos la octava parte:
- Valor numérico de la fracción 160/8
Calculan directamente 20 razonando del siguiente modo: “Como la octava parte de 16 es 2, entonces, la octava parte de 160 será 20.
En este caso calculan la cuarta parte de 360 que es 90 y posteriormente calculan la mitad, esto es, 45.
- Valor numérico de la fracción 420/8.
Descomponiendo el número de la siguiente forma: 420
400 + 20
50 + 2’5 = 52’5
En este caso, los alumnos para calcular la octava parte de 20 que es 2’5, descomponen a su vez 20 en 16 + 4. Posteriormente aplican el concepto de fracción equivalente y establecen la equivalencia de que 4/8 es la mitad del metro, es decir, ½.
Actividad número 4.
Cuando los alumnos representan en el franelograma fracciones con denominador 10, es decir, empleando regletas de la décima parte, deducen sin gran dificultad que la forma más fácil de calcular la décima parte es “quitar un cero” o “separar una cifra decimal” al número de regletas que empleamos.
Para favorecer esta deducción se aconseja que cuando los alumnos realicen la actividad de forma práctica se le formulen preguntas que apunten a este fin. Lo vemos con dos ejemplos:
“Representa en el franelograma la fracción 20/10 y calcula su valor numérico:”
- ¿Cuántas regletas de la décima parte has utilizado para formar la
fracción 20/10? 20 regletas
- ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 20/10? 2
- Con 30 regletas de la décima parte, ¿cuántos metros habrías
formado? 3 metros.
- ¿Y con 40 regletas? 4 metros. - ¿Y con 120 regletas? 12 metros.
“Representa en el franelograma la fracción 17/10 y calcula su valor numérico:”
- ¿Cuántas regletas de la décima parte has utilizado para formar la
fracción 17/10? 17 regletas
- ¿Cuál es el valor numérico de la fracción 17/10? 1’7
- Con 19 regletas de la décima parte, ¿qué número decimal habrías
formado?1’9.
- ¿Y con 23 regletas?2’3. - ¿Y con 58 regletas? 5’8. - ¿Y con 123 regletas? 12´3.
En general y dada una fracción, por ejemplo 4 11
, debemos lograr que el alumno interprete dicha fracción de cuatro formas:
- Leyéndola de arriba abajo, como 11 cuartos, siendo su valor numérico 2’75.
- Leyéndola de abajo a arriba, como la cuarta parte de 11, cuyo resultado es 2’75.
- Como la división:
11 4 Siendo: 3 2
El número de regletas, el dividendo.
El divisor, el tipo o tamaño de las regletas.
El cociente, el número de metros que formamos. El resto, el número de regletas que sobran. - Como la división:
En el caso que nos ocupa, es decir, en relación a la décima parte o fracciones con denominador 10, por ejemplo, considerando la fracción
10 23
sería:
- Leyéndola de arriba abajo, como 23 décimas partes, siendo su valor numérico 2’3.
- Leyéndola de abajo a arriba, como la décima parte de 23, cuyo resultado es 2’3. - Como la división: 23 10 Siendo: 3 2 - Como la división: 23 : 10 = 2’3
Actividad número 5.
Antes de comenzar a trabajar con los alumnos el concepto de fracción, y más concretamente cuando en su día abordamos la relación numérica de la quinta parte bajo la forma de la división, los alumnos calculaban la quinta parte de un número, empleando, fundamentalmente, el procedimiento de la descomposición. Lo vemos con dos ejemplos.
La quinta parte de 60 60 50 + 10 10 + 2 = 12 La quinta parte de 375 375 350 + 25 70 + 5 = 75
Este procedimiento desarrolla, de forma muy acusada, el cálculo mental. Sin embargo, no es el más fácil ni el más cómodo.
Cuando el alumno comienza a trabajar la relación de la quinta parte bajo la forma del concepto de fracción y mediante el uso de las regletas, deduce, o puede deducir fácilmente, que una quinta parte equivale a dos décimas partes, puesto que una regleta de la quinta parte es igual a dos regletas de la décima parte. De forma intuitiva, sería:
Por lo tanto, el procedimiento más sencillo para hallar la quinta parte de cualquier número y, con ello, realizar cualquier división entre 5, hallar el valor numérico de una fracción con denominador 5, calcular el 20 % ó multiplicar por 0’2, sería calculando el doble de la décima parte. Como el cálculo de la décima parte consiste en “quitar un cero” o “separar una cifra decimal”, calcular la quinta parte tendrá el mismo índice de dificultad que calcular el doble de un número. Lo vemos con dos ejemplos:
La quinta parte de 60.
- La décima parte de 60 es 6. - El doble de 6 es 12.
- Por lo tanto, la quinta parte de 60 será 12. La quinta parte de 343.
- La décima parte de 343 es 34’3. - El doble de 34’3 es 68’6.
- Por lo tanto, la quinta parte de 343 será 68’3.
Este procedimiento posibilitará al alumno, cuando trabaje la quinta parte bajo la forma de porcentaje, calcular el 20 % de cualquier número de forma rápida, cómoda y con pocas posibilidades de error.
Por ejemplo, el 20 % de 184 = 36’8.
Este mismo procedimiento será el que apliquemos para resolver los ejercicios de la actividad número 5. Lo vemos con un ejemplo.
Valor numérico de la fracción 5 1414
= 282’8 - La décima parte de 1.414 es 141’4. - El doble de 141’4 es 282’4.
- Por lo tanto, la quinta parte de 1.414 será 282’8.
Para evitar que el alumno calcule la quinta parte de un número mediante un procedimiento rutinario y carente de sentido, es necesario que sea el mismo alumno quien deduzca el procediendo y, con ello, lo dote de sentido.
Con el fin de favorecer esta deducción, podemos plantear a los alumnos actividades similares a la siguiente:
- ¿Qué dos fracciones tenemos en el franelograma? 1/5 y 2/10 - ¿Cuál de las dos tiene mayor valor? Las dos tienen el mismo
valor.
- ¿Y ahora, cuál de las dos fracciones tiene el mismo valor? Siguen
teniendo el mismo valor. Las dos fracciones son equivalentes.
- ¿Cómo es posible que las dos fracciones tengan el mismo valor,
si la fracción 2/5 únicamente tiene dos regletas, mientras que la fracción 4/10 tiene cuatro regletas? Porque cada quinta parte vale por dos décimas partes.
- ¿Qué relación existe entre las regletas de la quinta parte y las
regletas de la décima parte? Que las regletas de la décima parte son la mitad de de la quinta parte o que las regletas de la quinta parte valen el doble de la décima parte?
- ¿Cuánto valen tres décimas partes? 0’3. - ¿Cuánto valen tres quintas partes? 0’6.
- Si 40 décimas partes valen 4, ¿cuánto valdrán 40 quintas partes?
El doble 8.
- ¿Cuánto vale la décima parte de 60? 6
- Si la décima parte de 60 vale 6 y la quinta parte vale el doble de la
décima parte, ¿cuánto valdrá la quinta parte de 60? 12.
También podemos plantear actividades numéricas de este otro tipo Calcula el valor numérico de las fracciones:
10 6 = 5 6 = 10 20 = 5 20 =
O estos otros ejercicios:
“Si la décima parte de 30 es 6, entonces la quinta parte valdrá ____” Una vez deducido el procedimiento, se resolverán los ejercicios de la actividad número 5, aunque como se indicó con anterioridad, se recomienda que los primeros ejercicios de cada actividad se realicen representando las fracciones en el franelograma.
Actividad número 6.
En este caso, se trata de la veinteava parte. Como la veinteava parte es la mitad de la décima parte, se empleará la misma estrategia que con la quinta parte, pero en este caso, una vez calculada la décima parte, hallaremos la mitad y calcularemos, de este modo, la veinteava parte.
Para deducir el procedimiento de cálculo de la veinteava parte, emplearemos, pues, la misma estrategia y actividades similares a las empleadas para la quinta parte.
Por ejemplo, si queremos hallar el valor numérico de la fracción 20 54
calcularemos la décima parte de 54 que es 5’4 y, a continuación, calcularemos la mitad de 5’4, que es 2’7. Por lo tanto, el valor numérico de la fracción 50/20 es 2’7
Hemos comprobado que los alumnos suelen emplear dos estrategias para calcular, siguiendo con el ejemplo, la mitad de 5’4.
Una. Por descomposición: De este modo: 5’4
5 + 0’4
2’5 + 0’2 = 2’7
Otra. Mediante el siguiente razonamiento:
Actividad número 7.
Con esta actividad se pretende que el alumno exprese mediante un lenguaje matemático, toda la acción que su pensamiento realiza para calcular el valor numérico de una fracción.
Cuando solicitamos a los alumnos que construya en el franelograma la fracción 13/4 y que posteriormente calcule su valor numérico, el alumno hace la siguiente representación:
Si observamos, el total de las 13 regletas quedan divididas en dos partes o grupos:
- Las regletas que forman los metros enteros. En este caso, 12 regletas de la cuarta parte, es decir, 12/4.
- Las regletas sobrantes. En este caso, una regleta de la cuarta parte, es decir,1/4.
De forma que:
- El número de metros enteros determinará la parte entera del número decimal. En este caso 3.
- El valor de las regletas sobrantes, la parte decimal del número. En este caso 0’25.
Su acción y su pensamiento recorren dos momentos: - Separar las regletas en dos partes:
4 1 4 12 4 13 + =
- Determinar el valor numérico de cada una de estas dos partes 4 1 4 12 4 13 + = = 3 + 0’25 = 3’25.
Consideramos de suma importancia que el alumno desarrolle la capacidad de objetivar su pensamiento por medio del lenguaje matemático, de la misma forma que objetiva su pensamiento por medio del habla propia de su idioma. Y esta objetivación o expresión debemos desarrollarla en su doble vertiente: de forma oral y de forma escrita. Este ejercicio contribuye precisamente a este fin.
Como en las actividades anteriores, se recomienda que los primeros ejercicios se realicen de forma intuitiva mediante la utilización del franelograma.
Actividad número 8.
El alumno debe ser consciente que las expresiones matemáticas:
3’25 (Número decimal) y 3 + 4 1
(Número mixto) son expresiones equivalente puesto que expresan la misma cantidad.
En el primer caso, en el número decimal, la parte no entera se expresa mediante cifras decimales. En el segundo caso, en el número mixto, la parte no entera se expresa mediante una fracción propia.
En el primer caso, la unión de la parte entera y la parte no entera se expresa mediante una “coma”. En el segundo caso, la unión de la parte entera y la no entera se expresa mediante el signo de la suma.
Igualmente, se considera conveniente que el alumno identifique la expresión matemática: 4 1 3 4 13 + = con la división: 13 4 1 3
Por último, hay que tener en cuenta que, en este ejercicio, el alumno está transformando una fracción impropia en un número mixto.
Actividad número 9.
En esta actividad, el alumno realiza el proceso anterior pero de forma inversa. Ahora el alumno parte de un número mixto y llega a una fracción impropia. 4 13 4 1 4 12 4 1 3+ = + =
Con el fin de ser riguroso a la hora de representar en el franelograma la expresión:
4 1
3 + , representaremos el número entero, mediante cintas métricas de un metro de longitud. Posteriormente, en un segundo paso, sustituiremos los tres metros enteros por 12 regletas de la cuarta parte y, finalmente, calcularemos en número total de regletas de la cuarta parte. De este modo:
Hagamos un paréntesis y volvamos a reflexionar sobre la metodología que predomina actualmente en las aulas y ésta que