Use Method B to determine the remainder of the sublots.

Como indicamos con anterioridad, se muestra necesario anticipar el aprendizaje de trasformar dos fracciones a común denominador con el fin de comparar dos fracciones que tienen distintos numeradores y distintos denominadores.

Comenzamos con una actividad que reforzará el concepto de fracciones equivalentes.

Se le propone al grupo la siguiente actividad.

¿De cuántas maneras, o mediante qué fracciones, podemos representar el número decimal 1’5?

Los alumnos deberán construir en el franelograma las siguientes fracciones:

Dado que puede llevar bastante tiempo colocar todas las fracciones sobre el franelograma, esta actividad puede realizarse de forma teórica. Para ello realizaremos las siguientes preguntas:

- ¿Podemos representar el número decimal 1’5 empleando regletas

de la mitad? Sí. ¿Cuántas regletas tendríamos que emplear? 3.

- ¿Podemos representar el número decimal 1’5 empleando regletas

de la cuarta parte? Sí. ¿Cuántas regletas tendríamos que emplear? 6.

- ¿Podemos representar el número decimal 1’5 empleando regletas

- ¿Podemos representar el número decimal 1’5 empleando regletas

de la décima parte? Sí. ¿Cuántas regletas tendríamos que emplear? 15.

- ¿Podemos representar el número decimal 1’5 empleando regletas

de la veinteava parte? Sí. ¿Cuántas regletas tendríamos que emplear? 30.

Realizamos otra actividad del mismo tipo pero reduciendo las posibles respuestas:

- ¿De cuántas maneras, o mediante qué fracciones, podemos

representar el número decimal 0’6?

Los alumnos deberán construir en el franelograma las siguientes fracciones:

Una última actividad de este tipo.

- ¿De cuántas maneras, o mediante qué fracciones, podemos

representar el número decimal 0’25?

Los alumnos deberán construir en el franelograma las siguientes fracciones:

Pasamos a otro tipo de actividades.

Presentamos al grupo el franelograma teniendo representadas en él las siguientes fracciones:

Realizamos las siguientes preguntas:

- ¿Cuál es el valor de la fracción 3/4? 0’75 - ¿Cuál es el valor de la fracción 3/2? 1’5.

- ¿El tamaño de las partes de la fracción 3/4 tiene el mismo valor

que el tamaño de las partes de la fracción 3/2, es decir, tienen las dos fracciones el mismo denominador? No.

A continuación, sustituimos cada regleta de la mitad de la fracción 3/2 por dos regletas de la cuarta parte y formamos la fracción 6/4.

Preguntamos al grupo qué hemos hecho, qué hemos conseguido, que comparen lo que aparecía anteriormente en el franelograma y lo que aparece ahora.

Partiendo de las respuestas que aporten los alumnos, debemos dirigir su atención al hecho de que hemos sustituido la fracción 3/2 por su

equivalente 6/4 y que ahora las dos fracciones tienen el mismo denominador, es decir, hemos construido las dos fracciones con la misma clase de regletas.

Es conveniente, cuando planteamos preguntas al grupo, que perdamos el miedo a que se produzcan diversas respuestas o respuestas equivocadas. Justamente debemos pretender lo contrario. Es importante que los alumnos participen aportando distintas soluciones, distintos planteamientos, distintos razonamientos, fomentar entre ellos la discusión teórica. Incluso, cuando la respuesta de un alumno no sea acertada, no es conveniente cortarle, diciéndole simplemente que está equivocado, sino que explique y defienda su solución o su razonamiento frente al razonamiento de los compañeros que muestran su desacuerdo. Nuestra experiencia dentro del aula nos informa que en el transcurso de estas discusiones, los alumnos aportan formas de razonar sorprendentes y creativas. En definitiva, no se trata de que la respuesta de un alumno tenga, o no tenga, el visto bueno del profesor, sino de que el alumno aprenda a justificar, razonar y defender sus posiciones frente a las opiniones contrarias.

A continuación de esta actividad, se realizan otras del mismo tipo, es decir, actividades donde únicamente sea necesario cambiar las regletas de una de las fracciones para conseguir que las dos fracciones tengan el mismo denominador. Vemos otro ejemplo:

¿Qué regletas tenemos que cambiar para que las fracciones sigan teniendo el mismo valor pero que estén formadas entre sí por el mismo tipo de regletas?

Del mismo modo, es conveniente plantear a los alumnos problemas que no tengan una única solución, sino diversas soluciones. En este caso,

Seguidamente, proponemos a los alumnos ejercicios similares pero en los cuales sea necesario cambiar las regletas de las dos fracciones. Vemos algunos ejemplos:

En este caso, existen dos posibles soluciones: emplear regletas de la décima parte y regletas de la veinteava parte. Sin embargo, y es evidente, que la solución de emplear regletas de la décima parte simplifica la solución del ejercicio. Así se lo debemos hacer ver a los alumnos, aunque ellos mismo lo deducen, ya que emplear regletas de la veinteava parte alarga el ejercicio. Es decir, en este caso y pese a que son posibles dos soluciones correctas, una de ellas es más recomendable que la otra. Una solución es más adecuada que otra cuando simplifica la solución del problema.

En este caso, en el franelograma aparecerán las siguientes fracciones:

En este tipo de actividades es conveniente realizar preguntas como las siguientes:

- ¿Qué dos fracciones teníamos al principio? 3/2 y 4/5. - ¿Qué fracciones tenemos ahora? 15/10 y 8/10.

- ¿Cómo son entre sí las fracciones 3/2 y 15/10? Equivalentes.

¿Por qué? Porque tienen el mismo valor. Las dos tienen un valor de 1’5.

- ¿Qué otras dos fracciones son equivalentes? 4/5 y 8/10. ¿Qué

valor tienen? 0’8

- ¿Que tenían en común las dos fracciones del principio? ¿El

número de partes (numerador) o el tamaño de las partes (denominador)? No tenían ninguna de las dos cosas en común.

- ¿Y ahora, qué tienen en común las dos nuevas fracciones? El

Este es el momento en el cual el profesor puede proporcionar al grupo una información similar a la siguiente:

“Lo que acabamos de realizar, recibe el nombre de transformar a común denominador dos fracciones. Es decir, dos fracciones que en un principio tienen distintos denominadores, las transformamos en otras dos equivalentes pero que a la vez tiene el mismo denominador.”

Se muestra necesario que el profesor sea consciente de que los alumnos, cuando realizan este tipo de actividades, en muchos casos están trabajando el concepto de mínimo común múltiplo pero de forma práctica y, en cierto modo, intuitiva. Para ello, vamos a analizar más detenidamente esta última actividad.

Al principio, los alumnos tenían en el franelograma las fracciones 3/2 y 4/5. Es decir:

Se les solicitó que transformaran estas dos fracciones en otras dos fracciones equivalentes pero empleando la misma clase de regletas para las dos fracciones. Vimos que existían dos posibles soluciones: emplear regletas de la décima parte, o emplear regletas de la veinteava parte. Se optó por la primera solución dado que simplificaba la resolución del problema.

Calculemos ahora los primeros múltiplos de 2 y de 5.

Múltiplos de 2 = 2 – 4 – 6 – 8 – 10 – 12 – 14 – 16 – 18 – 20 – 22... Múltiplos de 5 = 5 – 10 – 15 – 20 – 25 – 30…

Los múltiplos comunes de 2 y 5, es decir, los números que contienen de una manera exacta y al mismo tiempo a los números 2 y 5 son: 10 -20 – 30…

Esto significa que podemos emplear como denominador común de ambas fracciones, el 10 (regleta de la décima parte), el 20 (regleta de la veinteava parte) el 30 y así sucesivamente.

Sin embargo, de estos múltiplos comunes de 2 y 5, el menor, el mínimo es el número 10. El numero 20 también es un múltiplo común de 2 y 5 pero no es el menor, el mínimo.

Esto significa que tanto el 10 como el 20 contienen exactamente a 2 y 5 y, por ello, podemos emplear las regletas de la décima parte o de la veinteava parte. Sin embargo, con el objeto de simplificar la solución del problema, se opta por la regleta de la décima parte, por el denominador 10, esto es, por el mínimo común múltiplo de 2 y 5, es decir, por el número más pequeño que contiene exactamente y al mismo tiempo al 2 y al 5.

Ahora podemos proponer actividades similares a las anteriores pero cambiando el enunciado:

- “Trasforma a común denominador las fracciones 3/4 y 3/5”

Tenemos la siguiente situación inicial:

En este caso, teniendo en cuenta de las regletas de que disponemos, la única solución es emplear la regleta de la veinteava parte. Esto es:

Ahora podemos comparar dos fracciones mediante el segundo procedimiento, esto es, transformando previamente las dos fracciones a común denominador. Hay que observar, sin embargo, que el alumno no tiene necesidad de transformar las dos fracciones a común denominador para comparar dos fracciones, puesto que el valor de cada fracción puede observarse a simple vista. Además, el alumno tiene la capacidad de calcular mentalmente el valor numérico de una fracción. No obstante, trabajaremos este segundo procedimiento porque en sí mismo enriquece el concepto de fracción y, por otro lado, favorecerá la comprensión posterior de las operaciones de sumar y restar en el conjunto de las fracciones.

Empezaremos escribiendo en la pizarra dos fracciones y solicitaremos al grupo que diga cuál de las dos fracciones representa mayor valor.

- Observa las fracciones 7/4 y 7/5 que están escritas en la pizarra. - ¿Qué tienen en común estas dos fracciones? El número de

regletas, es decir, el número de partes, esto es, el mismo numerador.

- ¿Cuál de las dos fracciones tiene mayor valor numérico? ¿7/4 ó

7/5 y por qué? Tiene mayor valor numérico 7/4 porque las dos fracciones tienen el mismo número de partes, es decir, el mismo numerador, y, sin embargo, las cuartas partes tienen mayor valor que las quintas partes.

Posteriormente realizamos la comprobación práctica:

- Observa las fracciones 7/4 y 5/4 que están escritas en la pizarra.

- ¿Qué tienen en común estas dos fracciones? El tamaño de las

regletas, es decir, el tamaño de las partes, esto es, el mismo denominador.

- ¿Cuál de las dos fracciones tiene mayor valor numérico? ¿7/4 ó

5/4 y por qué? Tiene mayor valor numérico 7/4 porque tiene dos cuartas partes más que la fracción 5/4.

Posteriormente realizamos la comprobación práctica:

Realizamos una última actividad:

- Observa las fracciones 6/8 y 4/5 que están escritas en la pizarra. - ¿Qué tienen en común estas dos fracciones? Nada. Ni el número

de partes ni el tamaño de las partes. Ni los numeradores, ni los denominadores.

- ¿Podríamos saber a simple vista, fijándonos en el numerador y en

el denominador, es decir, sin calcular el valor numérico, cuál de las dos fracciones tiene mayor valor? No.

- ¿Qué regletas tendríamos que emplear para representar las dos

fracciones con la misma clase de regletas? Regletas de la veinteava parte.

- ¿Cuántas regletas de la veinteava parte tendríamos que emplear

para representar la fracción equivalente a 6/8? 15 regletas.

- ¿Cuántas regletas de la veinteava parte tendríamos que

Vamos a comprobar los resultados:

Es conveniente hacer observar a los alumnos que:

- Cada 2 octavas partes equivale a 5 veinteavas parte, por este motivo necesitamos 15 veinteavas partes para formar la fracción equivalente a 6/8.

- Mientras que, cada una de las quintas partes equivale a 4 veinteavas partes, por este motivo necesitamos 16 veinteavas partes para formar la fracción equivalente a 4/5.