Con frecuencia, la suposición de que se puede obtener una sola estimación para la duración de una actividad es poco razonable. En ese caso, para tomar en cuenta la incertidumbre en la dura- ción, se supone que es una variable aleatoria que sigue alguna distribución. La programación y el control prosiguen de la misma manera que con CPM. Sin embargo, en lugar de dar una fecha de terminación del proyecto, se especifica una fecha esperada de terminación del proyecto o la probabilidad de que el proyecto termine en cierta fecha. Este enfoque probabilístico para la ad- ministración de proyectos se conoce como PERT, siglas en inglés de técnica de revisión y evaluación de programas {Program Evaluation and Review Technique) (Malcolm et al., 1959). Desafortunadamente, el PERT requiere ciertas suposiciones que no siempre se cum- plen.
Existen muchas razones por las que es mejor no especificar una sola duración para una ac- tividad. Es común que los proyectos tengan actividades no repetitivas, puede ser que nunca se haya realizado la actividad y quizá no exista seguridad sobre cuánto tiempo tardará. Si involu- cra investigación y desarrollo, como sería el caso al introducir un nuevo producto, es difícil prever todos los problemas posibles. En proyectos de construcción, el clima, que siempre es in- cierto, es un factor primordial en la duración de ciertas actividades. Como resultado, aun cuan- do se pueda realizar la actividad varias veces, el tiempo que dura puede variar cada vez. Así, las duraciones pueden considerarse variables aleatorias.
5.1 Distribución de la duración de las actividades
Como variable aleatoria, la duración sigue alguna distribución de probabilidad que tiene cier- tos parámetros. Los parámetros usados en los cálculos de PERT son la media y la variancia o desviación estándar. En general, tanto la distribución como los parámetros se desconocen, pero es posible que se puedan estimar.
Si no se sabe nada sobre la distribución, puede ser adecuada una distribución uniforme. En lugar de estimar la media y la variancia, que tiene poco significado intuitivo para muchas per- sonas, se estima un intervalo [a, b] para la distribución y se calculan la media y la variancia. La estimación optimista a es la duración de la actividad si todo sale lo mejor posible. Si se pudie- ra realizar la actividad 100 veces, se haría con esta rapidez sólo una vez. Inversamente, la esti- mación pesimista b es el tiempo requerido para realizar la actividad cuando las cosas van tan mal como puede esperarse. De nuevo, debe ocurrir sólo una vez en 100 veces. La estimación de estos tiempos es similar a la estimación de una sola duración. Es decir, deben hacerlo en forma independiente personas que entienden la actividad. Además, no deben considerar casos extre- mos que rara vez ocurren, como incendios o terremotos, en su estimación pesimista. Con una distribución uniforme, cualquier valor entre el optimista y el pesimista es igualmente probable. La media de distribución uniforme dentro del intervalo [a, b] es
Si todos los valores entre los tiempos optimista y pesimista no son igualmente probables, la distribución uniforme no debe usarse. Se puede usar una distribución estándar, como la ñor-
mal; pero en la práctica, las distribuciones de la duración de una actividad casi nunca son simé- tricas. La distribución triangular es una distribución sesgada. De nuevo, en lugar de estimar la media y la variancia, se pueden usar las estimaciones de los tiempos optimista y pesimista junto con m, el tiempo más probable, para calcularlas. El tiempo más probable es la duración que una actividad tarda con más frecuencia si se repite muchas veces. La estimación más probable es equivalente a la moda de la distribución. Con estas tres estimaciones se puede determinar la media y la variancia de una distribución triangular con moda igual a m. Esta media está da- da por
Históricamente se ha usado la distribución beta en PERT. Mediante una elección juiciosa de parámetros, la distribución beta puede tomar una gran variedad de formas. Muchas de las distribuciones estándar, como la normal y la uniforme, son casos especiales de la distribución beta. Los parámetros de esta distribución son la media u, la variancia a2 y dos parámetros de forma kx y k2. Si kx=k2, la distribución es simétrica y la media y la moda son iguales. Si kx
= k2 - 1,1a distribución beta es equivalente a una distribución uniforme; conforme los pará-
metros aumentan, la distribución beta se redondea con un punto medio relativamente alto. Para
kx = k2 = 5, se parece a una distribución normal. Si los dos parámetros son diferentes, la distri-
bución es segada, e invirtiendo los valores se obtiene la imagen de un espejo. Si kx<k2, la dis-
tribución se sesga a la izquierda, es decir, la moda está más cerca de a que de b, mientras que
kx > k2 la mueve al otro lado. Si kx = 2 y k2 = 1 (kx = 1 y k2 = 2), la distribución beta es
equivalente a un triángulo derecho (izquierdo). Un triángulo derecho es simplemente una línea recta desde un valor máximo en a a cero en b. Si kx y k2 son ambos menores que 1, la distribu-
ción beta tiene forma de U.
Es difícil estimar la media, la variancia y los parámetros de forma para cada actividad. Se pueden usar las estimaciones de a, b, m y \x para calcular los parámetros de forma. Estos son
_
Esto requiere una estimación de la media, que puede ser complicado, ya que tal vez no se disponga de datos históricos. Los creadores de PERT usaron un enfoque de las tres estimacio- nes usando nada más a,bym,y estimando la duración media de la actividad como
Esto funciona, pero restringe la forma de la distribución beta que se obtiene. De hecho los valo- res de los parámetros de forma son ya sea/:, =3 + V2, k2 =3 - 4l\ kx =3 - V2, k2 =3 + V2,o
kx = 4, £2 = 0. En estos casos, la moda real puede no ser igual a m, porque se usaron los tres pa- rámetros para calcular dos incógnitas. El lector interesado puede encontrar detalles en El- maghraby(1977).
La figura 9-27 contiene las distribuciones uniforme, triangular y beta con el mismo inter- valo y modas iguales para la triangular y la beta. Un poco de álgebra muestra que la media de la beta es más cercana a su moda que la de la distribución triangular. Además, la variancia es más pequeña para la beta que para la triangular, que a su vez tiene una variancia menor que la uni- forme. Como los cálculos de PERT sólo manejan la media y la variancia, se usa la distribución beta cuando se puede garantizar una variancia más pequeña.
5.2 Análisis probabilístico del tiempo de terminación del proyecto
Como las duraciones de las actividades son variables aleatorias, el tiempo de terminación del proyecto, que es la suma de los tiempos de las actividades en la ruta crítica, también es una va- riable aleatoria. Como tal, sigue alguna distribución con una media y una variancia. El teore- ma del límite central establece que cuando el número de variables aleatorias independientes se acerca a infinito, su suma sigue una distribución normal, cuya media y variancia son iguales a la suma de las medias y variancias individuales. Así, la distribución de la longitud del proyecto con frecuencia se supone normal con media y variancia igual a la suma de las medias y va- riancias de las actividades individuales. Esta suposición es razonable si las distribuciones de las duraciones de las actividades son independientes, si cada duración es despreciable compa- rada con la suma, y si el número de actividades en la ruta crítica es suficientemente grande. Un análisis completo del teorema del límite central se puede encontrar en Hiñes y Montgomery (1990).
Dada una distribución normal con su media y su variancia para la duración del proyecto, se pueden hacer afirmaciones probabilísticas sobre ella. Por ejemplo, se puede encontrar la pro- babilidad de que el proyecto lleve más de cierto número de días, o la probabilidad de que termi- ne en alguna fecha establecida. De manera similar, se puede determinar la fecha para la cual existe un 90% de seguridad de que el proyecto termine. Por supuesto, no sólo se pueden hacer afirmaciones sobre la duración del proyecto; se pueden hacer afirmaciones similares sobre cualquier evento, incluyendo los indicadores. También se pueden proporcionar intervalos de confianza para estos tiempos. Vea en la sección 5.3 un análisis de las limitaciones de este enfo- que. Ahora se ilustra el PERT con un ejemplo.
Ejemplo 9-9. Modelo PERT para LJ9000. De nuevo observe el proyecto de la impresora LJ9000. Lynn ha evaluado todas las actividades y ha determinado las estimaciones optimista, más probable y pesimista para cada una. Estos datos se usan para calcular la media y la variancia con el enfoque beta de tres estimaciones. Los resultados se dan en la tabla 9-8. Para obtener la media de 1-2, se establece
El resto de las actividades se calculan y se muestran en la tabla 9-8.
Se quiere examinar la duración del proyecto dada la distribución de cada actividad. Se hacen de nuevo los cálculos del CPM usando las duraciones medias. Los resultados se dan en la tabla 9-9.
TABLA 9-8