LJ9O00 usando datos probubilísticos 1-2 2.17 0.50 0.00 0.00 2.17 2.17 0.00 2-4 5.17 1.17 2.17 2.17 7.33 7.33 0.00 4-6 6.67 1.33 7.33 7.33 14.00 14.00 0.00 6-8 7.33 0.67 14.00 14.00 21.33 21.33 0.00 2-3 3.00 0.67 2.17 6.00 5.17 9.00 3.83 3-5 4.00 0.33 5.17 9.00 9.17 13.00 3.83 5-8 8.33 1.67 9.17 13.00 17.50 21.33 3.83 3-6 1.00 0.00 5.17 13.00 6.17 14.00 7.83 4-7 2.17 0.17 7.33 15.17 9.50 17.33 7.83 7-8 4.00 0.67 9.50 17.33 13.50 21.33 7.83
FIGURA 9.2.8
Probabilidad contra tiempo de terminación del proyecto LJ9000
minación de la impresora LJ9000 contra el porcentaje acumulado de terminación. Estos valores se obtienen usando el mismo enfoque que para la probabilidad de terminar en 20 semanas. Esta gráfica proporciona una mejor perspectiva de la probabilidad de terminar el proyecto en un tiempo específi- co. Por ejemplo, terminar en 25 semanas parece bastante probable, mientras que terminar en menos de 18 semanas parece muy poco probable.
5.3 Limitaciones de PERT
Debe tenerse cuidado con los resultados obtenidos por el PERT. Aunque las suposiciones re- queridas para usar el teorema del límite central no se cumplen estrictamente en muchos casos, el teorema es robusto y no debe causar un error grande. Si existe una sola ruta crítica, la varian- cia de la trayectoria es pequeña, y ninguna otra trayectoria con variancia mayor se acerca en duración; de nuevo, los resultados deben ser exactos.
Sin embargo, si hay varias trayectorias con longitudes cercanas a la media de la ruta críti- ca, debe tenerse cuidado, en particular si una o más de ellas tiene variancia grande. La longitud del proyecto de hecho es la longitud de la ruta más larga, entonces la verdadera distribución de la duración del proyecto es en realidad el máximo de varias variables aleatorias, una para cada trayectoria en la red. El máximo de varias variables normales no sigue una distribución normal, lo cual puede crear un problema. Los cálculos propuestos por PERT en realidad tienden a sub- estimar la duración del proyecto y a sobrestimar la probabilidad de terminar el proyecto en un tiempo específico.
Esto se conoce como el problema de sesgo del evento de fusión. Para la mayor parte de los proyectos no es un problema serio, porque no se requiere una exactitud extrema. Al usar el en- foque de tres estimaciones para la distribución beta se puede magnificar el problema. Se pue- den encontrar los detalles sobre cómo rectificar este problema en Elmaghraby (1977). Una
alternativa al PERT es la simulación de la red del proyecto para varias realizaciones de las duraciones y el desarrollo de una distribución empírica para la terminación del proyecto.
SECCIÓN 5 EJERCICIOS
9.36. Explique la diferencia entre PERT y CPM.
9-37. ¿Por qué es común usar la distribución beta en los cálculos de PERT? ¿En qué difiere el uso de una distribución triangular? ¿Y una distribución uniforme?
9.38. ¿Qué suposiciones se necesitan para usar PERT? ¿Qué limitaciones causan?
9.39. Un proyecto se compone de siete actividades etiquetadas A, B,..., G. Las precedencias y las esti maciones optimista, más probable y pesimista de las duraciones se presentan en la tabla.
Duración (semanas) Actividad Precedencia Optimista Más probablePesimista
A D 1 1 7 B E 1 4 7 C F 2 2 8 D G 1 1 1 E G 2 5 14 F — 2 5 8 G _________ — _________ 3 __________ 6__________ 15
a) Dibuje la red del proyecto
b) Utilice la distribución beta para encontrar la duración esperada y la variancia de cada acti vidad.
c) Realice los cálculos de las pasadas hacia adelante y hacia atrás para el proyecto. d) ¿Cuál es la duración esperada del proyecto y su variancia?
é) Encuentre la holgura total para cada actividad. /) Encuentre la probabilidad de que el proyecto termine:
i) tres semanas antes de la terminación esperada
ii) tres semanas después de la terminación esperada g) Se prometió al cliente entregar el proyecto en 18 semanas. ¿Cuál es la probabilidad de ser
tardío?
h) ¿Qué tiempo de terminación del proyecto tiene 90% de oportunidad de lograrse? i) ¿Cuál es la probabilidad de que la actividad D esté terminada para el tiempo 4? j) ¿Qué efecto tendría suponer una distribución triangular sobre la terminación esperada del
proyecto y la variancia?
k) Desarrolle una gráfica de la probabilidad contra el tiempo de terminación.
9.40. Un proyecto se compone de cuatro actividades etiquetadas A, B, C y D. Las precedencias y las es- timaciones optimista, más probable y pesimista de las duraciones se presentan en la tabla.
Duración (semanas) Actividad Precedencia Optimista Más
probable Pesimista A C 10 10 10 B D 1 9 11 C — 10 10 10 D — 1 9 11
a) Dibuje la red del proyecto.
b) Utilice la distribución beta para encontrar la duración esperada y la variancia de cada acti vidad.
c) Realice los cálculos de las pasadas hacia adelante y hacia atrás para el proyecto. d) ¿Cuál es la duración esperada del proyecto y su variancia?
e) ¿Piensa que las suposiciones de PERT son razonables para este proyecto? Explique. /) ¿Qué efecto tendría suponer una distribución triangular sobre la terminación esperada del proyecto y la variancia? ¿Qué pasa con las suposiciones de PERT?
9.41. Una sola actividad tiene duración esperada de \x e intervalo (b-á). Esta actividad se compone de tres subactividades en secuencia, cada una con duración esperada de (i/3. El intervalo total tam- bién es (b-a). ¿Cuál es la estimación de la variancia para completar la actividad si se maneja como una actividad en lugar de dividirla en tres actividades? ¿Qué suposiciones hizo? ¿Qué implicacio- nes tiene esto para PERT?
6 RECURSOS LIMITADOS
Hasta ahora se ha ignorado cualquier recurso que pueda ser necesario para llevar a cabo la acti- vidad. Esto con frecuencia es poco realista. Por ejemplo, al diseñar una impresora, algunas ac- tividades requieren un ingeniero electrónico y, en la construcción de una casa, se necesitan uno o más carpinteros. Los recursos se clasifican como renovables o no renovables. Las personas son un buen ejemplo de recursos renovables; una persona que trabaja hoy está disponible para trabajar mañana. El material es un recurso no renovable. Al construir una casa, si hoy se colo- can unos clavos, esos mismos clavos no podrán usarse después. La atención se centra en los re- cursos renovables, ya que los materiales por lo general se pueden procurar en cantidades ade- cuadas y proporcionarse en el momento apropiado. La estimación del uso de recursos para cada actividad es similar a la estimación de las duraciones. Para facilidad de discusión, se considera un solo recurso renovable.
Si se cuenta con una cantidad ilimitada de un recurso, su único impacto es añadir compleji- dad a la planeación, supervisión y control del proyecto. Sin embargo, si el recurso es limitado, tiene un impacto mayor. CPM supone que dos actividades pueden llevarse a cabo al mismo tiempo siempre que se respeten las precedencias. Con recursos limitados esto ya no es cierto. Si dos actividades requieren más recursos totales que los disponibles, entonces no pueden ocurrir al mismo tiempo y una de ellas debe retrasarse. El retraso puede ser tan largo como para causar que todo el proyecto termine tarde. Así, un programa que satisface las restricciones de recursos limitados puede tener diferentes holguras y ruta crítica que el mismo proyecto que los ignora. Esto también puede dar como resultado programas de inicio cercano y lejano no únicos.
Cuando los recursos están limitados, se puede estar frente a dos metas distintas. La situa- ción que se encuentra con más frecuencia tiene una cantidad específica de recursos disponible durante el proyecto. Así, se quiere terminar el proyecto lo más pronto posible y en ningún mo- mento usar más recursos que los disponibles. Esto recibe el nombre de problema restringido por los recursos. Un ejemplo sería el desarrollo de un paquete de software, en el que cada acti- vidad requiere un número específico de programadores, y se dispone de un número fijo de ellos, quienes comparten todas las actividades.
La segunda situación es una reserva ilimitada de recursos, pero se desea usar la misma cantidad todo el tiempo. Esto se llama problema con recursos nivelados. Al construir una casa se necesitan albañiles (trabajadores no calificados que es sencillo contratar). En lugar de pro-
gramar el trabajo de manera que un día se requieren 100 trabajadores y el siguiente 20, sería mejor que todos los días se usara el mismo número. Este principio también se aplica a los recur- sos no renovables, por ejemplo, puede ser deseable abastecer de materiales a una tasa estable.
Ambos problemas son NP-duros (vea el cuadro 8-1) y en extremo difíciles de resolver en forma óptima. Una solución garantizada como la "mejor" para cualquiera de los dos, en apa- riencia requiere alguna forma de enumeración total de las situaciones posibles y sólo se puede obtener una solución óptima en problemas pequeños. Aunque existen muchos esquemas inge- niosos de enumeración (como ramificación y acotamiento y programación dinámica), obtener una respuesta óptima para problemas con 100 actividades y cinco recursos puede tomar siglos en la computadora más rápida de la actualidad. Por lo tanto, se ve la conveniencia de aceptar una buena solución en lugar de intentar obtener la mejor respuesta. Esto se logra mediante pro- cedimientos heurísticos que no garantizan soluciones óptimas, pero que son sencillos y con fre- cuencia dan soluciones cercanas a la óptima.
6.1 Enfoques gráficos
Para la planeación básica, todo lo que se necesita son los enfoques gráficos. La herramienta que más se usa para considerar los recursos es el perfil de recursos, algunas veces llamado perfil de carga o gráfica de panorama. Una simple gráfica de la utilización de recursos contra el tiempo para un programa específico, resulta una manera conveniente para ver cuándo se usan menos o más recursos de los que se tienen. Un ejemplo sencillo ilustra el perfil de recursos.
Ejemplo 9-10. Perfil de recursos para la LJ900. El proyecto LJ9000 requiere ingenieros electró- nicos para algunas actividades. Se han asignado cuatro al proyecto, y Lynn quiere saber si el proyec- to puede terminar en 20 semanas con los cuatro ingenieros o si necesita más. La tabla 9-10 presenta el número de ingenieros electrónicos para cada actividad.
Dado un programa, calcule el número de ingenieros electrónicos necesarios en cualquier punto en el tiempo. Éste es la suma de todos los ingenieros que usan las actividades en proceso en un tiem- po dado. Por ejemplo, en el programa de inicio cercano (vea la figura 9-29), la actividad 1-2 es la única en marcha del tiempo cero al final de la semana 1, durante este tiempo se necesitan 2 ingenie- ros electrónicos. Como las actividades 2-3 y 2-4 comienzan en la semana 2, se necesitan ingenieros para las dos; esto es, 1 + 2 = 3 se usan desde el principio de la semana 2 hasta el principio de la semana 5, momento en el cual 2-3 termina. Continuando de esta manera, se puede determinar el número de