Structural characteristics

En adelante asumiremos que todo lo que hemos definido constituye la médula del sistema de la lógica proposicional. Pero para definir con rigor qué es un sistema formal. Un sistema formal consta de un lenguaje formal y de un aparato deductivo.

Lenguaje formal.

Diremos que nuestro lenguaje formal se llama “lenguaje formal P”, pues hay muchos lenguajes formales y queremos distinguir el nuestro entre todos ellos. Un lenguaje formal consiste en un alfabeto y reglas de formación de fórmulas.

Lenguaje formal P Símbolos del lenguaje formal P

Letras o variables proposicionales p, q, r, s, t Símbolos lógicos , , , ,  Signos auxiliares (paréntesis, subíndices26) (, ), 1, 2, …, n

Reglas de formación de fórmulas de P. Lo que sigue es conocido como definición recursiva. En una definición recursiva se toma un objeto como perteneciente a una clase de objetos y a partir de él se encapsulan (se definen) nuevos objetos con un grado de complejidad mayor dentro de la misma clase. Para que quede más claro veamos cómo nuestras reglas de formación de fórmulas del lenguaje formal P constituyen una definición recursiva de lo que es una fórmula de P:

1) Las letras (o variables) proposicionales son fórmulas atómicas de P. 2) Las fórmulas atómicas de P son fórmulas de P.

Sean  y 27 fórmulas cualesquiera de P, entonces:

26

En caso de que sean demasiadas las variables proposicionales requeridas.

27 _

y  son metavariables, es decir, no son variables proposicionales propiamente dichas. Si en esta definición hubiéramos optado por usar variables proposicionales habríamos sugerido al lector que las fórmulas complejas que se definen en (4) sólo son admisibles si se conectan letras proposicionales y no fórmulas cualesquiera.

3) , (), (), (), () son fórmulas de P. 4) Nada más es una fórmula de P.

Como esta definición habla de “ y  fórmulas cualesquiera de P” es claro el proceso constructivo que da como resultado, por ejemplo, la fórmula:

((p (p r)))

Se partió de „p‟ y „r‟ que son letras proposicionales y por (1) y (2) son fórmulas de P; luego, por (3) sabemos que „r‟ también es fórmula de P, y por (3) también „p r‟ es fórmula de P, y así sucesivamente.

Aparato deductivo.

En un sistema formal el aparato deductivo consta de un grupo de reglas de inferencia y un grupo de axiomas (o sólo uno de los dos) a partir de los cuáles se obtendrán nuevas fórmulas. Hay que resaltar que un sistema formal no hace ninguna referencia a alguna interpretación del lenguaje. Nosotros comenzamos presentando la lógica proposicional como un sistema lógico que nos presentaría las relaciones veritativo funcionales entre enunciados declarativos. Por ello, estrictamente hablando, podríamos tomar el apartado donde definimos el lenguaje formal haciendo caso omiso a todo lo que se explicó anteriormente. Obviamente, la relevancia de los sistemas formales tiene que ver con la posibilidad de interpretar el lenguaje formal. La interpretación más básica es la que presentamos en la primera parte del capítulo: interpretando nuestras variables proposicionales como enunciados declarativos (proposiciones) cuya característica principal es ser verdaderos o falsos.

Sin embargo, un aparato deductivo bien definido, desde el punto de vista de lo formal, no necesita de esa interpretación. Para comprender bien esta idea piense el lector simplemente en qué podríamos programar una computadora para que realizara deducciones formales.

Para ello sólo tendríamos que introducir un vocabulario y un conjunto de reglas de formación o construcción de fórmulas. Esto es lo que acabamos de hacer en la sección anterior. A continuación podríamos introducir un grupo de axiomas o enunciados de los que partirá la computadora. Por ejemplo:

Sean , ,  fórmulas cualesquiera de P, entonces las siguientes fórmulas son axiomas28 de nuestro sistema formal proposicional:

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Estrictamente hablando deberíamos llamarlos esquemas de axioma, pues nos serán útiles en la medida que los tomemos como esquemas en los que podemos sustituir las metavariables

A1)  ()

A2) (())  (()  ()) A3) ()  ()

Si le damos estos axiomas a la computadora como punto de partida, luego le damos la instrucción de poder sustituir cada una de las variables de los axiomas por cualquier fórmula del lenguaje formal y además le damos alguna regla que le permita obtener de dos fórmulas dadas una nueva fórmula, habremos creado un sistema formal; y la computadora no tiene que estar enterada de que nosotros interpretamos de determinada manera esas variables y esos conectivos. Esto se conoce como un enfoque sintáctico.

A continuación daremos un ejemplo de una deducción en sentido formal que puede efectuarse con los axiomas propuestos. Obsérvese que lo que se realizará es meramente un cálculo, un cómputo, no se requiere interpretar de ningún modo los símbolos del lenguaje, solamente seguir lo que hemos estipulado y además la siguiente regla de inferencia:

Regla Modus Ponens: De las fórmulas  y ; dedúzcase la fórmula 

Dedúzcase la fórmula: „pp‟, a partir de los axiomas y la regla modus ponens.

Fórmulas de P Justificación

i) p [(pp) p] Es una instancia del axioma A1:  se sustituyen por la fórmula „p‟ y  se sustituye por la fórmula „pp‟29

ii) [p [(pp)p]] [(p  (pp)) (pp)]

Por A2.

iii) [(p  (pp)) (pp)] Por modus ponens de i) y ii)

iv) p(pp) Por A1

v) pp Por modus ponens de iii) y iv)

Aquí pueden comenzar a surgir muchas interrogantes: ¿por qué se pide que se olvide toda interpretación si dedicamos mucho espacio a definir antes la

(letras griegas) por variables proposicionales o, en general, fórmulas cualesquiera de P. En adelante les llamamos axiomas sólo para simplificar la exposición.

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En los siguientes pasos no se hará una explicación exhaustiva de la justificación, nos limitaremos a mencionar el axioma utilizado.

interpretación de funciones de verdad? ¿Cómo se relaciona un sistema formal como éste con lo que se dijo antes acerca de las funciones veritativas? Se mencionó al principio que la lógica proposicional haría inferencias, tal como lo hacía el sistema silogístico, pero hasta el momento no se ha hecho evidente cómo.

Para responder estas interrogantes dejemos la cuestión del sistema formal y su aparato deductivo de lado por un momento, para explicar la noción fundamental de la lógica desde el punto de vista de la interpretación de nuestro lenguaje, es decir desde un punto de vista semántico.