Temporal characteristics

valores para las variables: p: T, q: , r: T, s: , t: T i) (r (s t))  p ii) q  (p  (p  p)) iii) (p  r)  ((r  s) (t q)) iv) (p r)  (s  t) v) ((p  (q s))  (r  s))  (t  (s t)) Tablas de verdad

Lo que hemos estado haciendo al definir las funciones veritativas es equivalente a hacer uso del mecanismo conocido como tablas de verdad. Las tablas de verdad son un método que tiene múltiples aplicaciones en la lógica proposicional. La primera de ellas es la que acabamos de utilizar: definir las funciones veritativas. Más adelante explicaremos otras aplicaciones de las tablas que son en general un método de análisis veritativo funcional. En una tabla de verdad se enumeran con exhaustividad todas las combinaciones posibles de valores de verdad para un número n de variables proposicionales. La fórmula que se utiliza para calcular el número de combinaciones posibles es la siguiente:

Combinaciones posibles= 2n, para n variables proposicionales

Esto es importante, pues como acabamos de hacerlo, al definir una función veritativa para n argumentos es necesario saber cuáles son todas las combinaciones posibles de valores de verdad, pues a cada combinación distinta debe corresponderle un valor. Si tenemos el enunciado „Pedro ama al futbol y a sus hijos, pero también ama a su prójimo‟ debemos saber qué valor de verdad asignará nuestra función conjunción cuando, por ejemplo, el primer elemento es falso y los otros dos son verdaderos.

En este caso si tenemos tres proposiciones, el cálculo da como resultado ocho posibles combinaciones. Para ser exhaustivos y desplegar con facilidad todas estas combinaciones se utiliza la técnica que se mostrará en la siguiente tabla de verdad:

# p: „Pedro ama al

futbol‟

q: ´Pedro ama a sus

hijos‟ r: „Pedro ama a su prójimo‟ 1 T T T 2 T T  3 T  T 4 T   5  T T 6  T  7   T 8   

Es claro que si estuvieran involucradas cuatro letras proposicionales y por lo tanto dieciséis combinaciones posibles de valores de verdad para ellas, la tabla tendría que comenzar distribuyendo ocho renglones consecutivos con valor verdadero, seguidos de ocho renglones con valor falso. A continuación se repetiría el mismo patrón que se observa arriba: en la siguiente columna se distribuyen la mitad de valores „T‟ y „‟ respecto a la columna anterior, y así sucesivamente. De esta manera se agotan todas las posibilidades dadas para un número cualquiera de variables proposicionales.

De este modo cada renglón nos proporciona una interpretación posible para un complejo veritativo funcional dado. Detengámonos en este punto volviendo a nuestro ejemplo. Decíamos que teníamos el siguiente enunciado: „Pedro ama al futbol y a sus hijos, pero también ama a su prójimo‟. Haciendo uso de la agrupación adecuada y de la correcta interpretación de los giros lingüísticos involucrados („pero también‟); la simbolización adecuada del enunciado es „(p 

q)  r‟. Supongamos ahora que Pedro en realidad detesta todos los deportes, entre ellos el futbol, que ama a sus hijos aunque odia a sus vecinos. Sabemos que bajo estos supuestos nuestro enunciado es falso pues tanto „p‟ como „r‟ son proposiciones falsas. Imaginemos ahora un mundo, quizás diferente al real, en el que Pedro ama a su prójimo y a sus hijos, aunque sigue detestando los deportes. Bajo esta otra interpretación nuestro enunciado sigue siendo falso aunque es claro que es una interpretación diferente.

En lógica proposicional hablamos de interpretación en dos sentidos, hasta el momento. Por un lado, podemos interpretar un esquema veritativo funcional como „(p  q)  r‟ asignándole una proposición concreta a cada variable proposicional. Otro sentido de interpretar es cuando asignamos los valores T o

 a una variable proposicional dada. En realidad los dos son equivalentes en tanto que una proposición concreta es verdadera o falsa en la realidad. Ello por supuesto puede envolvernos en complicadas polémicas que no abordaremos por ahora, pues ¿en qué sentido „Pedro ama a sus hijos‟ es verdadera o falsa realmente? Al menos mientras no digamos explícitamente a quién nos referimos, pues hay muchos sujetos que responden al nombre „Pedro‟. Por

ahora no nos ocuparemos de estas dificultades pero las mencionamos de pasada por no constituir problemas triviales.

De este modo una tabla de verdad puede leerse como una descripción exhaustiva de los “mundos posibles” implicados en el contexto que demanda la evaluación de un esquema veritativo funcional complejo. Así, en nuestro ejemplo, el renglón número 8 describe “el mundo posible” en el que Pedro no ama al futbol ni a sus hijos ni al prójimo en general.

A continuación y para lo que resta del libro utilizaremos una notación especial para las tablas de verdad. En lugar de simbolizar el valor verdadero con T y el falso con , de ahora en adelante utilizaremos el „1‟ para decir „verdadero‟ y el „0‟ para decir „falso‟ en las tablas de verdad. Al desplegar todas las posibles combinaciones de valores de verdad para las variables de un esquema proposicional una tabla de verdad nos proporciona el medio para evaluar cualquier esquema. Veamos algunos ejemplos.

1) ¿En qué casos es falso el esquema siguiente: „(q  (r  (p  q)))‟? Si ponemos a la izquierda las tres columnas que les corresponden a cada variable y a la derecha escribimos nuestro esquema podemos ir evaluando cada renglón de acuerdo a las definiciones que se dieron anteriormente de las funciones de verdad o conectivos „‟, „‟ y el operador „‟. Por supuesto, hay que atender a todas las precauciones que ya se explicaron en los ejemplos del apartado anterior. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 p q r (p  ( r  (p   q))) 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0

Pudiera parece exagerada la minuciosidad de la tabla, por supuesto que no se recomienda al estudiante que realice el “llenado” completo de la tabla cada vez que quiera realizar el análisis de un esquema veritativo funcional. En esta

excepcional ocasión se hizo para no dejar lugar a dudas de lo que se estaba haciendo. Hacer este llenado exhaustivo puede resultar incluso perjudicial dado que visualmente es difícil de observar los detalles relevantes. Obviamente es redundante el llenado de las columnas 4, 7, 9 y 12. No lo es tanto el llenado de las columnas 6 y 11 que son la negación de variables, aunque con la práctica seguramente se convertirá, a la larga, en un paso igualmente “trivial”. El sombreado en las columnas 5, 8 y 10 está puesto con la intención de resaltar las columnas “más relevantes”. “Más relevantes” pues en realidad al igual que 6 y 11 son las que corresponden a alguna función veritativa, aunque, en este caso, de dos variables. Sin embargo 5 sí tiene un estatus especial, pues en la columna 5 encontramos la función veritativa que domina todo el esquema. Es decir, aunque en el esquema encontramos varias negaciones, conjunciones y una disyunción; la conjunción que se encuentra en la columna 5 es la que constituye la forma de todo el esquema. El esquema es una conjunción; por supuesto, donde el primer componente es una variable simple, y el segundo es una disyunción, disyunción donde el primer componente es una negación y el segundo una conjunción nuevamente. De este modo, y respondiendo a la pregunta inicial, el esquema „(q  (r  (p  q)))‟ es falso cuando todas las variables son verdaderas y también es falso siempre que la „p‟ sea falsa.

Según el esquema que nos sea propuesto debemos buscar cuál es la función veritativa principal, o como suele decirse, cuál es el conectivo principal.