Teacher trainees learning experiences and evaluation of the process

A lo largo de la exposición presentada en este texto hemos omitido totalmente manipulaciones matemáticas de cualquier índole. Cierto, hemos recurrido al lenguaje simbólico de las matemáticas para

expresar ciertos resultados, pero con ellos no hemos usado otras operaciones que las comprendidas en la aritmética elemental. Sólo en el uso del símbolo hemos recurrido al significado del concepto de integral como un proceso límite ejecutado sobre áreas cada vez mas pequeñas. Pero no hemos pasado de ahí y lo hemos dejado como tal, como un símbolo que representa una operación elemental bien definida. Pero la física, para utilizarse en la solución de problemas concretos no sólo recurre al lenguaje de las matemáticas para expresar conceptos a través de símbolos, sino que, además, usa de las operaciones dictadas por la propia matemática para llegar a resultados concretos. El propósito de esta sección es de llevar al lector, cuyos conocimientos de matemáticas estén al nivel de lo que se espera en un buen estudiante de preparatoria, esto es que sepa los rudimentos del cálculo diferencial e integral, por un camino sobre el cual aprenda la forma de emplear las leyes de la termostática.

Para ello hemos escogido a los sistemas ideales por ser los más simples de tratar a nivel operativo pero que, conceptualmente, ejemplifican sin restricción alguna los alcances y limitaciones de la termostática. Una vez que el lector más interesado por estas disciplinas capte la belleza y simplicidad de la teoría, seguramente se sentirá estimulado para proseguir con lecturas mas técnicas. Además tendrá la seguridad de que conceptualmente, el contenido físico de los problemas que estudie es similar, sino es que idéntico, al de los casos simples aquí presentados y que sólo difieren de ellos por las dificultades técnicas de las operaciones matemáticas involucradas.

Comencemos por definir el concepto de capacidad calorífica de una sustancia o material dado. Si tomamos una masa conocida de dicho material y en un proceso infinitesimal y reversible le suministramos una cantidad de calor para elevar su temperatura por una magnitud dT, al "cociente" /dT se le conoce como capacidad calorífica de dicho material y se denota por la letra C. Como además, por la primera ley de la termostática = dU - , ecuación (3)

(24)

La capacidad calorífica definida así es claramente dependiente del tipo de proceso que se utilice para suministrar el calor. Si pensamos en un fluido o un sólido de manera que, como ya mostramos con anterioridad, (el signo es debido a la convención de que es negativo si el sistema realiza trabajo y eso ocurre en una expansión en la cual dV > 0), la ecuación (24) se transforma en

(25)

Si durante el proceso de adición del calor, el volumen V se mantiene constante, dV = 0, entonces la capacidad calorífica que se obtiene es aquella a volumen constante Cv, donde

(26)

El índice V fuera del paréntesis circular denota que el proceso ocurrió a volumen constante.

Por otra parte, si usamos un proceso a presión constante para ceder el calor, y utilizamos la ecuación (22) notando que

dH = dU + pdV

si p = const., dp =0, obtendremos que la ecuación (25) se transforma en ese caso en

(27)

Las ecuaciones (26) y (27) son dos de las fórmulas mas importantes de la termostática pues Cv y Cp son cantidades relativamente fáciles de medir por métodos calorimétricos, especialmente la segunda. Nótese que Cv y Cp no son independientes entre sí, pues basta conocer una para determinar la otra. Imaginemos un gas para el cual Cp es medible y además resulta ser sólo una función de la temperatura, Cp = Cp(T). Entonces,

donde Ho es una constante. Conocida H, si conocemos también la ecuación de estado de gas esto es pV = f(T,V) donde f (T,V) es una función conocida de T y V, por la definición de H,

que por diferenciación respecto a T nos da el valor de Cv. Si el gas es monatómico e ideal, donde R es la constante universal de los gases. Como f(T,V) = vRT

U = ( RT - RT ) v +

H

= v RT + H0

(28)

esto es, la energía interna de un gas monatómico ideal es una función lineal de la temperatura y Cv = vR. Aquí, como antes, v denota el número de moles del gas en cuestión. Véase entonces que

Cp - Cv

= vR

una relación muy útil y bien conocida en la termostática clásica de un gas ideal. Es muy importante señalar que en estos cálculos simples la energía interna U y la entalpía H han quedado indeterminadas hasta una constante aditiva H0 cuyo valor no es obtenible de las leyes termostáticas mismas. Este hecho lo expresamos con todo cuidado desde la definición de U, ecuación (5), lo único que conocemos o podemos medir es ∆U.

Si ahora queremos conocer la entropía de un gas monoatómico usamos la definición de Clausius, esto es, la ecuación (10) en forma diferencial, esto es, .

Pero

= dU +pdV

y por consiguiente

Pero de la ecuación (28), dU = v _{RdT y de la ecuación de estado,}

por lo tanto,

dS = vR

+ vR

(31)

la cual por integración directa13nos conduce al resultado

S(T,V) = v RlnT

+ vRlnV + S

(32)

donde So es la suma de las dos constantes que aparecen cada una en las respectivas integraciones logarítmicas. La ecuación (32) representa la entropía de v moles de un gas monoatómico e ideal escrita como función de los dos grados de libertad independientes, escogidos aquí para ser representados por las variables T y V. Sin

embargo de la ecuación de estado y