Hypothesis generation and testing
3.4 Testing predictions
Para verificar la confiabilidad de los software utilizados para el desarrollo de la presente investigación con respecto al método de encamisado en concreto armado, del cual resulto un manual del uso de estos programas, se hace necesaria la comparación de los resultados obtenidos; razón por la cual se elaboraron los cálculos manuales de los mismos elementos estructurales evaluados, los cuales se presentan a continuación: Se realiza el cálculo y evaluación de la viga modelada mediante el software SAP2000, con el fin de comparar los resultados, esta viga tiene las siguientes características:
Figura 8.Esquema viga sin encamisado de 25x40 cm Fuente: Propia
Datos conocidos de la viga: 𝛷 = 0,9 fy = 420 MPa f’c = 21 MPa d = 0,34 m b = 0,25 m
𝛾
𝐶𝑅 = 24 kN/m3Adicionalmente se conoce que la carga que debe soportar esta viga aparte de su peso propio es una carga distribuida rectangularmente de 20 kN/m.
Aplicando la teoría de diseño del método unificado de diseño, tenemos: 𝑀𝑢 = Φ𝑀𝑛
𝑀𝑢 = 𝛷 ∗ 𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦∗ (𝑑 − 0,59 ∗𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦 𝑓𝑐∗ 𝑏 )
Como la viga se encuentra simplemente apoyada en ambos extremos el máximo momento está definido por la siguiente ecuación:
𝑀𝑢 =𝑞𝑢 ∗ 𝑙2 8
Donde, 𝑞𝑢 = 𝑞𝑙 ∗ 1,6 + 𝑞𝑑 ∗ 1,2 𝑞𝑢 = 20 𝑘𝑁/𝑚 ∗ 1,6 + 2,4 𝑘𝑁/𝑚 ∗ 1,2
𝑞𝑢 = 34,88 𝑘𝑁/𝑚
Nota: 𝑞𝑑 = peso propio = 𝛾𝐶𝑅∗ 𝑏 ∗ ℎ = 24𝑘𝑁 /𝑚3∗ 0,25 𝑚 ∗ 0,40 𝑚 = 2,40 𝑘𝑁/𝑚
Entonces;
𝑀𝑢 =34,88 ∗ 5
2
8 [𝑘𝑁 ∗ 𝑚]
𝑀𝑢 = 109 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
Continuando con la ecuación general con el fin de calcular el acero requerido, despejamos As:
(0,59 ∗ 𝑓𝑦
𝑓𝑐∗ 𝑏 ) ∗ 𝐴𝑠2− 𝑑 ∗ 𝐴𝑠 + 𝑀𝑢 𝛷 ∗ 𝑓𝑦= 0
Esta es una ecuación cuadrática que se puede solucionar con la fórmula: 𝑋 = −𝑏 ± √𝑏2− 4𝑎𝑐
2𝑎 En este sentido para conocer el valor de As se tiene:
𝐴𝑠 =
𝑑 ± √𝑑2− 4 ∗ (0,59 ∗ 𝑓𝑦
𝑓𝑐∗ 𝑏 ) ∗ (𝛷 ∗ 𝑓𝑀𝑢𝑦) 2 ∗ (0,59 ∗ 𝑓𝑓 𝑦
𝑐∗ 𝑏 )
Remplazando los valores y colocando los factores de conversión para trabajar en las mismas unidades se obtiene:
𝐴𝑠 = 0,34 ± √0,34
2− 4 ∗ (0,59 ∗ 420 ∗ 103
21 ∗ 103∗ 0,25 ) ∗ (0,90 ∗ 420 ∗ 10109 3)
2 ∗ (0,59 ∗ 420 ∗ 1021 ∗ 103∗ 0,25 )3
𝐴𝑠+= 6,22 ∗ 10−3 𝑚2 ~ 62,21 𝑐𝑚2 Este resultado se descarta, toda vez que entre
los dos resultados este no es el más óptimo para el diseño. 𝐴𝑠−= 9,82 ∗ 10−4 𝑚2 ~ 𝟗, 𝟖𝟐 𝒄𝒎𝟐
El área de acero requerida es de 9,82 cm2
Se realiza revisión del acero mínimo y máximo de acuerdo con los requerimientos del Reglamento NSR-10 título C:
Acero mínimo: Este está definido con las siguientes ecuaciones 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 =0,25 √𝑓𝑐 𝑓𝑦 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑, Pero no menor a 1,4 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑 𝑓⁄ 𝑦 Entonces, 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 =0,25 √21 420 ∗ 25 ∗ 34 ó 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 1,4 ∗ 25 ∗ 34 420⁄ 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 2,32 cm2 ó 𝐴𝑠 𝑚𝑖𝑛 = 𝟐, 𝟖𝟑 𝐜𝐦𝟐
En este sentido el área de refuerzo mínima debe ser de 2,83 cm2
Acero máximo: es el que requiere la viga para soportar cargas a flexión, si el acero requerido es mayor a este se debe diseñar como una viga doblemente reforzada, este acero está condicionado a la siguiente fórmula:
𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥= 0,85 ∗𝑓
′ 𝑐
𝑓𝑦 ∗ 𝑏 ∗ 𝛽1 ∗ (0,375 ∗ 𝑑)
Donde,
β1, corresponde al factor que relaciona la profundidad del bloque rectangular equivalente de esfuerzos de compresión con la profundidad del eje neutro, este factor se encuentra en función de la resistencia del concreto de la siguiente manera: 𝛽1 = 0,85 𝑠𝑖 21 𝑀𝑃𝑎 ≤ 𝑓′ 𝑐 ≤ 28 𝑀𝑃𝑎 𝛽1 = 0,85 − 0,05 ∗ (𝑓 ′ 𝑐− 28 7 ) 𝑠𝑖 𝑓′𝑐≥ 28 𝑀𝑃𝑎
Entonces para el caso usaremos β1=0,85, toda vez que nuestra resistencia de concreto equivale a 21 MPa.
Remplazando en la ecuación del acero máximo se obtiene: 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥= 0,85 ∗ 21
𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥= 𝟏𝟏, 𝟓𝟏 𝒄𝒎𝟐
Con los cálculos anteriores se puede definir que la viga es simplemente reforzada, y el acero requerido para soportar las deformaciones a flexión de la carga evaluada es de 9.82 cm2, teniendo en cuenta que:
𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥> 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜> 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 11,51 𝑐𝑚2> 𝟗, 𝟖𝟐 𝒄𝒎𝟐> 2,83 𝑐𝑚2
De conformidad con el diagrama de momentos de la viga en estudio se realiza el despiece del área de refuerzo calculada en el paso anterior:
Figura 9, Diagrama de momentos de la viga Fuente: FrameDesign
Para cualquier punto del anterior diagrama es posible encontrar el momento con la siguiente ecuación:
𝑀(𝑥) = 𝑞𝑢∗ 𝑥 ∗(𝐿 − 𝑥) 2
Con el fin de evaluar los mismos puntos que el software SAP2000, y así poder comparar los resultados que este nos arroja se realiza el cálculo del acero requerido en los puntos x1=1m y x2=4m: 𝑀(𝑥) = 𝑀𝑢 = Φ𝑀𝑛 𝑞𝑢∗ 𝑥 ∗(𝐿 − 𝑥) 2 = 𝛷 ∗ 𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦∗ (𝑑 − 0,59 ∗ 𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦 𝑓𝑐∗ 𝑏 ) Remplazando los valores conocidos se tiene:
34,88 ∗ 1 ∗(5 − 1) 2 = 0,9 ∗ 𝐴𝑠 ∗ 420 ∗ 10−1∗ (0,34 − 0,59 ∗ 𝐴𝑠 ∗ 420 ∗ 10−4 21 ∗ 0,25 ) 𝐴𝑠 = 𝟓, 𝟗𝟏𝟑 𝒄𝒎𝟐 Para x = 4 m 34,88 ∗ 4 ∗(5 − 4) 2 = 0,9 ∗ 𝐴𝑠 ∗ 420 ∗ 10−1∗ (0,34 − 0,59 ∗ 𝐴𝑠 ∗ 420 ∗ 10−4 21 ∗ 0,25 ) 𝐴𝑠 = 𝟓, 𝟗𝟏𝟑 𝒄𝒎𝟐
Resumen de Áreas de acero calculadas:
Figura 10. Resultado de acero requerido viga sin encamisado calculada manualmente. Fuente: Propia
Figura 11. Resultado de acero requerido viga sin encamisado calculada mediante SAP2000. Fuente: Propia
CÁLCULO Y DISEÑO DE VIGA CON ENCAMISADO ESTRUCTURAL
Se realiza el cálculo y evaluación de la viga con encamisado de sección estructural modelada mediante el software SAP2000, la cual tiene las siguientes dimensiones:
Figura 12. Esquema viga con encamisado de 41x48 cm Fuente: Propia
Datos conocidos de la viga recrecida: 𝛷 = 0,9 fy = 420 MPa f’c = 21 MPa d = 0,42 m b = 0,41 m γ CR = 24 kN/m3
Adicionalmente conocemos que la carga que debe soportar esta viga aparte de su peso propio es una carga distribuida rectangularmente de 40 kN/m.
Una vez se tienen estos datos podemos aplicar la misma teoría de diseño (método unificado de diseño), que fue utilizado para la viga sin el encamisado:
Entonces se tiene
𝑀𝑢 = Φ𝑀𝑛
𝑀𝑢 = 𝛷 ∗ 𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦∗ (𝑑 − 0,59 ∗𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑓 𝑦
𝑐∗ 𝑏 )
Como la viga se encuentra simplemente apoyada en ambos extremos el máximo momento está definido por la siguiente ecuación:
𝑀𝑢 =𝑞𝑢 ∗ 𝑙2 8
Donde,
𝑞𝑢 = 𝑞𝑙 ∗ 1,6 + 𝑞𝑑 ∗ 1,2
𝑞𝑢 = 40 𝑘𝑁/𝑚 ∗ 1,6 + 4,72 𝑘𝑁/𝑚 ∗ 1,2 𝑞𝑢 = 69,67 𝑘𝑁/𝑚
Nota: 𝑞𝑑 = peso propio = 𝛾𝐶𝑅∗ 𝑏 ∗ ℎ = 24𝑘𝑁 /𝑚3∗ 0,41 𝑚 ∗ 0,48 𝑚 = 4,72 𝑘𝑁/𝑚
Entonces;
𝑀𝑢 =69,67 ∗ 5
2
8 [𝑘𝑁 ∗ 𝑚]
𝑀𝑢 = 217,71 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
De la ecuación general de diseño podemos calcular el acero requerido, para conocer el valor de As se tiene: 𝐴𝑠 = 𝑑 ± √𝑑2− 4 ∗ (0,59 ∗ 𝑓𝑦 𝑓𝑐∗ 𝑏 ) ∗ ( 𝑀𝑢 𝛷 ∗ 𝑓𝑦) 2 ∗ (0,59 ∗ 𝑓𝑓 𝑦 𝑐∗ 𝑏 )
Remplazando los valores y colocando los factores de conversión para trabajar en las mismas unidades se obtiene:
𝐴𝑠 = 0,42 ± √0,42
2− 4 ∗ (0,59 ∗ 420 ∗ 103
21 ∗ 103∗ 0,41 ) ∗ (0,90 ∗ 420 ∗ 10217,71 3)
2 ∗ (0,59 ∗ 420 ∗ 1021 ∗ 103∗ 0,41 )3
𝐴𝑠+= 1,30 ∗ 10−2 𝑚2 ~ 130,80 𝑐𝑚2 Este resultado se descarta, toda vez que entre
los dos resultados este no es el más óptimo para el diseño. 𝐴𝑠−= 1,53 ∗ 10−3 𝑚2 ~ 𝟏𝟓, 𝟑𝟐 𝒄𝒎𝟐
El área de acero requerida es de 15,32 cm2
Se realiza revisión del acero mínimo y máximo de acuerdo con los requerimientos del Reglamento NSR-10 título C:
Acero mínimo: Este está definido con las siguientes ecuaciones 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 =0,25 √𝑓𝑐
Entonces,
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 =0,25 √21
420 ∗ 41 ∗ 42 ó 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 1,4 ∗ 41 ∗ 42 420⁄
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 4,70 cm2 ó 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 𝟓, 𝟕𝟒 𝐜𝐦𝟐
En este sentido el área de refuerzo mínima debe ser de 5,74 cm2 Acero máximo: 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥= 0,85 ∗𝑓 ′ 𝑐 𝑓𝑦 ∗ 𝑏 ∗ 𝛽1 ∗ (0,375 ∗ 𝑑) Donde,
β1=0,85, toda vez que nuestra resistencia de concreto equivale a 21 MPa. Remplazando en la ecuación del acero máximo obtenemos:
𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥= 0,85 ∗ 21
420∗ 41 ∗ 0,85 ∗ (0,375 ∗ 42) 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥= 𝟐𝟑, 𝟐𝟓 𝒄𝒎𝟐
Con los cálculos anteriores se puede definir que la viga es simplemente reforzada, y el acero requerido para soportar las deformaciones a flexión de la carga evaluada es de 15,32 cm2, teniendo en cuenta que:
𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥> 𝐴𝑠𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜> 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛
23,25 𝑐𝑚2> 𝟏𝟓, 𝟑𝟐 𝒄𝒎𝟐> 5,74 𝑐𝑚2
De conformidad con el diagrama de momentos de la viga en estudio se realiza el despiece del área de refuerzo calculada en el paso anterior:
Figura 13, Diagrama de momentos de la viga Fuente: FrameDesign
Para cualquier punto del anterior diagrama es posible encontrar el momento con la siguiente ecuación:
𝑀(𝑥) = 𝑞𝑢∗ 𝑥 ∗(𝐿 − 𝑥) 2
Con el fin de evaluar los mismos puntos que el software SAP2000, y así poder comparar los resultados que este nos arroja se realiza el cálculo del acero requerido en los puntos x1=1m y x2=4m: 𝑀(𝑥) = 𝑀𝑢 = Φ𝑀𝑛 𝑞𝑢∗ 𝑥 ∗ (𝐿 − 𝑥) 2 = 𝛷 ∗ 𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦∗ (𝑑 − 0,59 ∗ 𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦 𝑓𝑐∗ 𝑏 )
Remplazando los valores conocidos se tiene: Para x = 1 m 69,67 ∗ 1 ∗(5 − 1) 2 = 0,9 ∗ 𝐴𝑠 ∗ 420 ∗ 10−1∗ (0,42 − 0,59 ∗ 𝐴𝑠 ∗ 420 ∗ 10−4 21 ∗ 0,41 ) 𝐴𝑠 = 𝟗, 𝟑𝟕𝟗 𝒄𝒎𝟐 Para x = 4 m 69,67 ∗ 4 ∗(5 − 4) 2 = 0,9 ∗ 𝐴𝑠 ∗ 420 ∗ 10−1∗ (0,42 − 0,59 ∗ 𝐴𝑠 ∗ 420 ∗ 10−4 21 ∗ 0,41 ) 𝐴𝑠 = 𝟗, 𝟑𝟕𝟗 𝒄𝒎𝟐
Resumen de Áreas de acero calculadas:
Figura 14.Resultado de acero requerido viga con encamisado calculada manualmente. Fuente: Propia
Figura 15. Resultado de acero requerido viga con encamisado calculada mediante SAP2000. Fuente: Programa SAP2000
Con los anteriores resultados se comparan los cálculos del diseño de vigas. Para el caso particular del estudio del método de reforzamiento estructural utilizando encamisados en concreto armado, se debe considerar la modelación inicial de una viga con sección y cargas conocidas, posterior a la modelación de está, se debe considerar la teoría existente frente a espesores de concreto para empezar a modelar en el software haciendo uso del manual resultado de este proyecto de grado, toda vez que se conocen las cargas futuras que va a soportar la estructura, y se asumen espesores de concreto para modelar este elemento y verificar cual es el área de acero que se requiere para que esta viga completa soporte las cargas futuras, una vez se conozca el acero total de la viga con encamisado y la viga original, se realiza la resta del área de acero requerido, y este resultado será el acero que se requiere para la estructura del reforzamiento estructural, en algunos casos este resultado se mayora con un factor de seguridad, en función del coeficiente de importancia de la edificación.
Calculo del área de acero, manual vs uso del programa SAP2000
Tabla 2 Comparación de resultados de área de acero, manual y del programa SAP2000
Viga Sin Encamisado
1 m 2,5 m 4 m
SAP2000 5,912 9,814 5,912 Manual 5,913 9,82 5,913 Diferencia 0,0010 0,0060 0,0010
% E 0,017% 0,061% 0,017% 0,032%
Viga Con Encamisado
1 m 2,5 m 4 m
SAP2000 9,377 15,316 9,377 Manual 9,379 15,322 9,379 Diferencia 0,0020 0,0060 0,0020
CÁLCULO Y DISEÑO DE COLUMNAS
Se realiza el cálculo y evaluación de la columna modelada mediante el software spColumn, de la cual se conocen los siguientes datos:
Columna con sección rectangular de 30x30 cm r = 6 cm
f’c = 21 MPa fy = 420 MPa
Aplicando la teoría de diseño estructural referente a la revisión del diseño se realiza el cálculo del acero máximo, y el acero mínimo con el fin de asumir un acero y verificar que la columna actual está resistiendo la carga.
𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥= 0,04 𝐴𝑔 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛= 0,01 𝐴𝑔
Donde, 𝐴𝑔 = 𝑏 ∗ ℎ
Entonces para el ejemplo seria:
𝐴𝑔 = 30 ∗ 30 𝐴𝑔 = 900 𝑐𝑚2
Remplazando:
𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥= 0,04 ∗ 900 = 𝟑𝟔 𝒄𝒎𝟐
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0,01 ∗ 900 = 𝟗 𝒄𝒎𝟐
Tal como se describió anteriormente se asume un acero con el que se realizara la revisión, para el caso se asumen 4 barras No. 6.
𝐴𝑠𝑃= 4#6 𝐴𝑠𝑡 = 4 ∗ 𝜋 ( 6 8 ∗ 2,54) 2 4 = 𝟏𝟏, 𝟒𝟎 𝒄𝒎𝟐
El área de acero asumido esta entre los límites de acero en función de la sección de la columna por lo cual este cumple y podemos continuar con el análisis.
Con el fin de revisar la capacidad de soporte de la columna se realiza el diagrama de interacción, el cual nos ayuda a la comprensión de las cargas y momentos que actúan en la columna.
Se inicia con el cálculo de las cargas máximas que resiste la columna cuando esta trabaja bajo compresión axial, para lo cual la teoría nos proporciona las siguientes ecuaciones:
𝑃𝑛= 0,85 ∗ 𝑓′𝑐(𝐴𝑔 − 𝐴𝑠
𝑡) + 𝐴𝑠𝑡∗ 𝑓𝑦
Remplazando los valores conocidos se obtiene:
𝑃𝑛= 0,85 ∗ 21 ∗ (900 − 11,4) ∗ 10−1+ 11,40 ∗ 420 ∗ 10−1
𝑃𝑛= 2064,95 𝑘𝑁
Esta carga Pn se debe reducir por un factor de reducción (φ) equivalente a 0,65: Φ 𝑃𝑛= 0,65 ∗ 2064,95 = 1342,22 𝑘𝑁
El resultado φPn equivale al punto de compresión axial máximo del diagrama de interacción, este resultado se debe reducir por otro factor φ, que está en función del tipo de estribo o refuerzo transversal que se va a utilizar, para el caso se utiliza 0,8:
Φ máx 𝑃𝑛= 0,8 ∗ 1342,22 = 1073,8 𝑘𝑁
Este resultado equivale al punto de compresión admisible que delimita la zona de seguridad superior del diagrama de interacción.
Se continúa con el cálculo de las cargas máximas que resiste la columna cuando está trabajando bajo tensión axial, mediante la ecuación teórica:
𝑃𝑛 = 𝐴𝑠𝑡∗ 𝑓𝑦 Remplazando los valores conocidos se obtiene:
𝑃𝑛 = 11,40 ∗ 420 ∗ 10−1
𝑃𝑛 = 478,8 𝑘𝑁
Este resultado se debe reducir por un factor φ el cual es equivalente a 0,90: Φ 𝑃𝑛= 0,9 ∗ 478,8
Φ 𝑃𝑛= 430,92 𝑘𝑁
Este resultado equivale al punto de tensión máximo que delimita la zona de seguridad inferior del diagrama de interacción, como es un punto de tensión este es negativo en el diagrama por ende el valor de este para el diagrama es de ФPn = - 430,92 kN.
Se continúa con el cálculo de los puntos de control del diagrama, con el fin de comparar los resultados con los modelados en el software spColumn.
Punto de control de Falla balanceada:
Se utilizan los siguientes datos y premisas para el cálculo del punto de falla balanceada:
- Para este punto de control se debe igual la deformación del área de acero (εs2) que está resistiendo las fuerzas de tensión con la deformación del acero (εy=0,0021),
- Para que sea una condición balanceada el concreto debe estar en el límite de su deformación máxima del concreto antes de la falla la cual equivale a (εu=0,003).
- La distancia de la fibra más comprimida al acero se debe considerar al centro de la barra de acero por lo cual el recubrimiento real de concreto se determina con la siguiente ecuación:
𝑟𝑟 = 𝑟 +𝑑𝑏
2
Donde, 𝑑𝑏es el diámetro de la barra en cm. Entonces:
𝑟𝑟 = 6 + 1,905
2 = 6,9525 𝑐𝑚
Por relación de triángulos se puede encontrar el valor desconocido Cb: 𝜀𝑢 𝐶𝑏 = 𝜀𝑠 𝑏 − 𝑟𝑟− 𝐶𝑏 0,003 𝐶𝑏 = 0,0021 23,0475 − 𝐶𝑏 0,003 ∗ 23,0475 = 0.0021𝐶𝑏 + 0,003 𝐶𝑏 𝐶𝑏 =0,0691 0,0051= 13,56 𝑐𝑚 Figura 16, Diagrama de fuerzas internas
de la columna P.F.B. Fuente: Propia
El valor de 𝑎 está definido como 𝑎 = 0,85 ∗ 𝐶𝑏 , entonces: 𝑎 = 0,85 ∗ 13,56
𝑎 = 11,52 𝑐𝑚
Una vez conocido el valor de Cb, se puede encontrar el valor de la deformación del acero (εs1) que actúa en la zona de compresión de la columna, utilizando nuevamente relaciones de triángulos: 𝜀𝑠1 𝐶𝑏 − 𝑟𝑟 = 𝜀𝑢 𝐶𝑏 Despejando εs1, se obtiene: 𝜀𝑠1 = 0,003 ∗ (13,56 − 6,9525) 13,56 𝜀𝑠1 = 0,0015
A continuación se presenta una tabla en la cual se realizan los cálculos de izquierda a derecha, con el fin de encontrar las fuerzas internas actuantes de compresión y tensión:
Tabla 3. Calculo de fuerzas internas columna 30x30 P.F.B. 𝒇 = 𝜺𝒔 ∗ 𝑬𝒔 𝑪 ó 𝑻 = #𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂𝒔 ∗ 𝑨𝒔𝒕
# 𝑩𝒕 ∗ 𝒇
𝜀𝑠1= 0,0015 292,31 2 ∗ 2,85 ∗ 292,31 ∗ 10−1 𝐶 = 166,62 𝑘𝑁
𝜀𝑠2= 0,0021 420 2 ∗ 2,85 ∗ 420 ∗ 10−1 𝑇 = 239,4 𝑘𝑁
Nota: Se recuerda que el módulo de elasticidad del acero equivale a (Es=200.000 MPa). El número de barras corresponde a la cantidad de barras que trabajan a la compresión o a la tensión.
Se continúa con el cálculo de la fuerza del bloque de compresión a, el cual se determina mediante la siguiente ecuación:
𝐶𝐶 = 0,85 ∗ 𝑓′𝑐 ∗ [(𝑎 ∗ 𝑏) − 𝐴𝑠𝑡]
Remplazando los valores conocidos se obtiene:
𝐶𝐶 = 0,85 ∗ 21 ∗ [(11,52 ∗ 30) − (2 ∗ 2,85)] ∗ 10−1
𝐶𝐶 = 606,72 𝑘𝑁
Realizando la sumatoria de fuerzas del diagrama de la Figura 16, se determina la fuerza Pn:
𝛴𝐹 = 0; 𝑃𝑛 = 𝐶𝐶+ 𝐶1− 𝑇2 Remplazando los valores conocidos:
𝑃𝑛= 606,72 + 266,62 − 239,4
El valor calculado debe ser reducido por el factor de reducción que está en función de la deformación máxima del acero, la cual está determinada por la siguiente gráfica:
Figura 17. Grafico que relaciona el factor de reducción vs la deformación del acero. Fuente: Propia
De acuerdo con el anterior gráfico y conociendo que la deformación máxima del acero de este punto de control es εs=0,0021, el factor de reducción equivale a Ф = 0,65, entonces:
Φ 𝑃𝑛= 0,65 ∗ 533,94 𝑘𝑁 𝚽 𝑷𝒏= 𝟑𝟒, 𝟎𝟔 𝒌𝑵
Realizando la sumatoria de momentos en el punto medio de la columna que se muestra en el diagrama de la Figura 16, se determina el Momento Mn:
𝛴𝑀 = 0; 𝑀𝑛= 𝐶𝐶 ( 𝑏 2− 𝑎 2) + 𝐶1( 𝑏 2− 𝑟𝑟) + 𝑇2( 𝑏 2− 𝑟𝑟) Se remplazan los datos conocidos:
𝑀𝑛= 606,72 (0,15 − 0,0576) + 166,62 (0,15 − 0,069525) + 239,4 (0,15 − 0,069525) 𝑀𝑛= 88,74 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
Este momento se reduce por el factor Ф, correspondiente para este punto de control, ya determinado en un paso anterior:
Φ M𝑛= 0,65 ∗ 88,74 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
Punto de control de sección controlada por la tracción:
Se utilizan los siguientes datos y premisas para el cálculo del Punto de sección controlada por la tracción:
- Para este punto de control se debe igualar la deformación del área de acero (εs2) que está resistiendo las fuerzas de tensión con la deformación del acero (εy=0,005),
- La deformación máxima del concreto antes de la falla la cual equivale a (εu=0,003). - El recubrimiento real del acero
𝑟𝑟 = 6,9525 cm
De la misma manera que se realizó el cálculo en el punto de control de falla balanceada por medio de relación de triángulos se calcula Cb:
0,003 𝐶𝑏 = 0,005 30 − 6,9525 − 𝐶𝑏 𝐶𝑏 =(30 − 6,9525)0,003 0,008 = 8,64 𝑐𝑚
El valor de 𝑎 está definido como 𝑎 = 0,85 ∗ 𝐶𝑏 , entonces: 𝑎 = 0,85 ∗ 8,64 = 7,35 𝑐𝑚
Por relación de triángulos se calcula 𝜀𝑠1: 0,003 𝐶𝑏 = 𝜀𝑠1 𝐶𝑏 − 6,9525 0,003 13,56= 𝜀𝑠1 13,56 − 6,9525 𝜀𝑠1= 0,0006 Figura 18, Diagrama de fuerzas internas
de la columna P.S.C.T. Fuente: Propia
Tabla 4. Calculo de fuerzas internas columna 30x30 P.S.C.T. 𝒇 = 𝜺𝒔 ∗ 𝑬𝒔 𝑪 ó 𝑻 = #𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂𝒔 ∗ 𝑨𝒔𝒕
# 𝑩𝒕 ∗ 𝒇
𝑠1= 0,0006 117,19 2 ∗ 2,85 ∗ 117,19 ∗ 10−1 𝐶 = 66,8 𝑘𝑁
𝑆2= 0,005 420 2 ∗ 2,85 ∗ 420 ∗ 10−1 𝑇 = 239,4 𝑘𝑁
Nota: se recuerda que el módulo de elasticidad del acero equivale a (Es=200.000 MPa). El número de barras corresponde a la cantidad de barras que trabajan a la compresión o a la tensión.
Se continúa con el cálculo de la fuerza del bloque de compresión a, mediante la fórmula presentada en el punto de control de falla balanceada:
𝐶𝐶 = 0,85 ∗ 21 ∗ 10−1[(7,35 ∗ 30) − (2 ∗ 2,85)]
𝐶𝐶 = 383,42 𝑘𝑁
Realizando la sumatoria de fuerzas del diagrama de la Figura 18, se determina la fuerza Pn:
𝛴𝐹 = 0; 𝑃𝑛 = 𝐶𝐶+ 𝐶1− 𝑇2 Remplazando los valores conocidos:
𝑃𝑛= 606,72 − 72,78383,42 + 66,8 − 239,4 𝑃𝑛= 210,82 𝑘𝑁
El valor anterior se debe reducir por el factor Ф, de acuerdo con la gráfica presentada en la Figura 17, y el valor máximo de la deformación del acero en este punto el cual equivale a εs2=0,005, entonces Ф=0,90:
Φ 𝑃𝑛= 0,9 ∗ 210,82 𝑘𝑁 𝚽 𝑷𝒏= 𝟏𝟖𝟗, 𝟕𝟒 𝒌𝑵
Realizando la sumatoria de Momentos en el punto medio de la columna del diagrama de la Figura 18, se determina el momento Mn:
𝑀𝑛= 383,42 (15 −7,35
2 ) + 66,8 (15 − 6,9525) + 239,4 (15 − 6,9525) 𝑀𝑛= 68,12 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
Este valor de Mn se reduce por el factor Ф, del punto anterior, entonces: Φ M𝑛 = 0,9 ∗ 68,12 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
Tabla 5, Resumen cálculos para comparación columna sin encamisado.
Carga axial (kN) Momento (kN . m)
Compresión máxima 1342,22 -
Compresión admisible 1073,80 -
Punto Falla Balanceada 347,06 57,68
Punto Sección controlada por la
tensión 189,74 61,30
Tensión máxima -430,92 -
Figura 19. Imagen extraída del reporte de spColumn columna sin encamisado. Fuente: Programa spColumn
CÁLCULO Y DISEÑO DE COLUMNA CON ENCAMISADO ESTRUCTURAL
Se realiza el cálculo y evaluación de la columna con el encamisado estructural modelada mediante el software spColumn, de la cual conocemos los siguientes datos:
Columna con sección rectangular de 46x46 cm r = 6 cm
f’c = 21 MPa fy = 420 MPa
Aplicando la teoría de diseño estructural referente a la revisión del diseño así como en el anterior ejemplo se realiza el cálculo del acero máximo, y el acero mínimo con el fin de asumir un acero y verificar que la columna con encamisado resistirá la carga futura.
𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥= 0,04 𝐴𝑔
𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛= 0,01 𝐴𝑔 Donde, 𝐴𝑔 = 𝑏 ∗ ℎ
Entonces para el ejemplo seria: 𝐴𝑔 = 46 ∗ 46 𝐴𝑔 = 2116 𝑐𝑚2 Remplazando: 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥= 0,04 ∗ 2116 = 𝟖𝟒, 𝟔𝟒 𝒄𝒎𝟐 𝐴𝑠𝑚𝑖𝑛 = 0,01 ∗ 2116 = 𝟐𝟏, 𝟏𝟔 𝒄𝒎𝟐
Tal como se describió anteriormente se asume un acero con el que se realizará la revisión, para el caso se asumen 8 barras No. 6.
𝐴𝑠𝑃= 8#6 𝐴𝑠𝑡= 8 ∗ 𝜋 ( 6 8 ∗ 2,54) 2 4 = 𝟐𝟐, 𝟖𝟎 𝒄𝒎𝟐
El área de acero asumido esta entre los límites de acero en función de la sección de la columna por lo cual este cumple y se puede continuar con el análisis.
Con el fin de revisar la capacidad de soporte de la columna se realiza el diagrama de interacción.
Se inicia con el cálculo de las cargas máximas que resiste la columna cuando esta trabaja bajo compresión axial, con las ecuaciones utilizadas anteriormente:
𝑃𝑛= 0,85 ∗ 𝑓′𝑐(𝐴𝑔 − 𝐴𝑠
𝑡) + 𝐴𝑠𝑡∗ 𝑓𝑦
Remplazando los valores conocidos se obtiene:
𝑃𝑛= 0,85 ∗ 21 ∗ (2116 − 22,8) ∗ 10−1+ 22,8 ∗ 420 ∗ 10−1
𝑃𝑛= 4693,96 𝑘𝑁
Esta carga Pn se debe reducir por un factor de reducción (φ) equivalente a 0,65: Φ 𝑃𝑛= 0,65 ∗ 4693,96 = 3051,08 𝑘𝑁
El resultado ФPnequivale al punto de compresión axial del diagrama de interacción; este resultado se debe reducir por otro factor φ, que está en función del tipo de estribo o refuerzo transversal que se va a utilizar, para el caso se utiliza 0,8:
Φ máx 𝑃𝑛= 0,8 ∗ 3051,08 = 2440,86 𝑘𝑁
Este resultado equivale al punto de compresión admisible que delimita la zona de seguridad superior del diagrama de interacción.
Se continúa con el cálculo de las cargas máximas que resiste la columna cuando está trabajando bajo tensión axial, mediante la ecuación teórica:
𝑃𝑛 = 𝐴𝑠𝑡∗ 𝑓𝑦 Remplazando los valores conocidos obtenemos:
𝑃𝑛 = 22,80 ∗ 420 ∗ 10−1
𝑃𝑛 = 957,6 𝑘𝑁
Este resultado se debe reducir por un factor φ el cual es equivalente a 0,90: Φ 𝑃𝑛= 0,9 ∗ 957,6 𝑘𝑁
Φ 𝑃𝑛= 861,84 𝑘𝑁
Este resultado equivale al punto de tensión máximo que delimita la zona de seguridad inferior del diagrama de interacción, como es un punto de tensión este es negativo en el diagrama por ende el valor de este para el diagrama es de ФPn = - 861,84 kN.
Se continúa con el cálculo de los puntos de control del diagrama, con el fin de comparar los resultados con los modelados en el software spColumn.
Punto de control de Falla balanceada:
Se utilizan los siguientes datos y premisas para el cálculo del punto de falla balanceada:
- Para este punto de control se debe igual la deformación del área de acero (εs4) que está resistiendo las fuerzas de tensión con la deformación del acero (εy=0,0021),
- Para que sea una condición balanceada el concreto debe estar en el límite de su deformación máxima del concreto antes de la falla la cual equivale a (εu=0,003).
- La distancia de la fibra más comprimida al acero se debe considerar al centro de la barra de acero, debido a la manera de inserción de datos en el software el recubrimiento es:
𝑟𝑟= 8 𝑐𝑚 Figura 20, Diagrama de fuerzas internas
de la columna con recrecido P.F.B. Fuente: Propia
Por relación de triángulos podemos encontrar el valor desconocido Cb: 𝜀𝑢 𝐶𝑏 = 𝜀𝑠 𝑏 − 𝑟𝑟− 𝐶𝑏 0,003 𝐶𝑏 = 0,0021 38 − 𝐶𝑏 0,003 ∗ 38 = 0.0021𝐶𝑏 + 0,003 𝐶𝑏 𝐶𝑏 = 0,114 0,0051= 22,35 𝑐𝑚 El valor de 𝑎 está definido como 𝑎 = 0,85 ∗ 𝐶𝑏 , entonces:
𝑎 = 0,85 ∗ 22,35 𝑐𝑚 𝑎 = 19,00 𝑐𝑚
Una vez conocido el valor de Cb, podemos encontrar los valores de las deformaciones del acero (εs1) y (εs2) que actúa en la zona de compresión de la columna, y la deformación del acero (εs3) que actúa en la zona de tensión de la columna, utilizando nuevamente relaciones de triángulos: 𝜀𝑠1 𝐶𝑏 − 𝑟𝑟 = 𝜀𝑢 𝐶𝑏 Despejando εs1, se obtiene: 𝜀𝑠1 = 0,003 ∗ (22,35 − 8) 22,35 𝜀𝑠1 = 0,0019 𝜀𝑠2 = 0,003 ∗ (22,35 − 8 − 6) 22,35 𝜀𝑠2 = 0,0011 𝜀𝑠3 = 0,003 ∗ (46 − 22,35 − 8 − 6) 22,35 𝜀𝑠3 = 0,0013
A continuación se presenta una tabla en la cual se realizan los cálculos de izquierda a derecha, con el fin de encontrar las fuerzas internas actuantes de compresión y tensión:
Tabla 6. Calculo de fuerzas internas columna con encamisado 46x46 P.F.B. 𝒇 = 𝜺𝒔 ∗ 𝑬𝒔 𝑪 ó 𝑻 = #𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂𝒔 ∗ 𝑨𝒔𝒕 # 𝑩𝒕 ∗ 𝒇 𝜀𝑠1= 0,0019 385,23 2 ∗ 2,85 ∗ 385,23 ∗ 10−1 𝐶 = 216,60 𝑘𝑁 𝜀𝑠2= 0,0011 224,16 2 ∗ 2,85 ∗ 224,16 ∗ 10−1 𝐶 = 125,40 𝑘𝑁 𝜀𝑠3= 0,0013 259,06 2 ∗ 2,85 ∗ 259,06 ∗ 10−1 𝑇 = 148,20 𝑘𝑁 𝜀𝑠4= 0,0021 420 2 ∗ 2,85 ∗ 420 ∗ 10−1 𝑇 = 239,40 𝑘𝑁
Nota: Se recuerda que el módulo de elasticidad del acero equivale a (Es=200.000 MPa). El número de barras corresponde a la cantidad de barras que trabajan a la compresión o a la tensión.
Se continúa con el cálculo de la fuerza del bloque de compresión a, el cual se determina mediante la siguiente ecuación:
𝐶𝐶 = 0,85 ∗ 𝑓′𝑐 ∗ [(𝑎 ∗ 𝑏) − 𝐴𝑠 𝑡]
Remplazando los valores conocidos se obtiene:
𝐶𝐶 = 0,85 ∗ 21 ∗ [(19 ∗ 46) − (2 ∗ 2,85)] ∗ 10−1
𝐶𝐶 = 1549,92 𝑘𝑁
Realizando la sumatoria de fuerzas del diagrama de la Figura 20, se determina la fuerza Pn:
𝛴𝐹 = 0; 𝑃𝑛= 𝐶𝐶+ 𝐶1+ 𝐶2− 𝑇3− 𝑇4
Remplazando los valores conocidos:
𝑃𝑛= 1549,92 + 216,60 + 125,40 − 148,20 − 239,4 𝑃𝑛= 1504,32 𝑘𝑁
El valor anterior se debe reducir por el factor Ф, de acuerdo con la gráfica presentada en la Figura 17, y el valor máximo de la deformación del acero en este punto el cual equivale a εs4=0,0021, entonces Ф=0,65:
Φ 𝑃𝑛= 0,65 ∗ 1504,32 𝑘𝑁 𝚽 𝑷𝒏= 𝟗𝟕𝟕, 𝟖𝟏 𝒌𝑵
Realizando la sumatoria de momentos en el punto medio de la columna que se muestra en el diagrama de la Figura 20, se determina el Momento Mn:
𝛴𝑀 = 0; 𝑀𝑛= 𝐶𝐶 ( 𝑏 2− 𝑎 2) + 𝐶1( 𝑏 2− 𝑟𝑟) + 𝐶2( 𝑏 2− 𝑟𝑐− 𝑟𝑟) + 𝑇3( 𝑏 2− 𝑟𝑐− 𝑟𝑟) + 𝑇4( 𝑏 2− 𝑟𝑟)
Se remplazan los datos conocidos:
𝑀𝑛= 1504,32 (0,23 − 0,09) + 216,6 (0,23 − 0,08) + 125,4 (0,23 − 0,08 − 0,06)
+ 148,2 (0,23 − 0,08 − 0,06) + 239,4 (0,23 − 0,08) 𝑀𝑛= 302,26 𝑘𝑁 ∗ 𝑚
Este momento se reduce por el factor Ф, correspondiente para este punto de control, ya determinado en un paso anterior:
Φ M𝑛= 0,65 ∗ 302,26 𝑘𝑁 ∗ 𝑚 𝚽 𝐌𝒏= 𝟏𝟗𝟔, 𝟒𝟕 𝒌𝑵 ∗ 𝒎
Punto de control de sección controlada por la tracción: