The DetermineStrategy function

Para el estudio de este tipo de máquinas hay varias ecuaciones e incluso teorías principales que serán aplicables según el caso. La ecuación principal de la turbomaquinaria es la ecuación de Euler para las mismas, la cual nos permite conocer el intercambio de energía en estas máquinas. También se podrá aplicar en muchas geometrías la teoría de persiana de alabes ó la teoría alar, cuando la separación entre alabes sea pequeña y se formen canales entre ellos, el modelo a seguir será de persiana de alabes; si por el contrario los alabes están separados se rige por la teoría alar. Ambas teorías permiten conocer la dinámica de los alabes, mientras que la ecuación de Euler nos acerca el estudio cinemático. Por otra parte se tienen las leyes de semejanza para turbomáquinas, en este documento nos centraremos en las leyes para turbomáquinas hidráulicas motoras. Estas leyes nos permiten comparar modelos reales y prototipos con características geométricas similares.

Cuestiones preliminares de la ecuación de Euler

Para realizar la demostración de la ecuación de euler, se debe tener en cuenta unos casos particulares que añaden sentido a la teoría de turbomaquinaria. Primero consideramos el caso de estudio del alabe fijo. Supongamos un chorro que incide tangencialmente en al álabe fijo de la

imagen 6. Si prescindimos del rozamiento del flujo con el álabe, la velocidad de salida es la

misma que la de entrada. Cambia, sin embargo, su dirección y, por tanto, su cantidad de

movimiento, lo que origina una fuerza sobre el álabe. Esta fuerza, aplicando el teorema de conservación de la cantidad de movimiento, en el que es despreciable el peso del fluido queda.

6. Figura: Alabe fijo

Pudiendo ser en este caso.

Las presiones relativas y son nulas, ya que son iguales a .

Consideremos ahora que este alabe pudiera desplazarse con libertad, es decir que fuera un alabe

móvil. Se considera que el álabe se mueve a la velocidad . El volumen de control se movería con

él, por lo que el flujo no entra en el mismo a la velocidad absoluta sino a la velocidad relativa

Que componen el triángulo de velocidades de entrada, aunque en este caso tienen igual dirección. En la imagen 7 se puede apreciar con mayor detalle esta composición de velocidades.

7. Figura: Alabe móvil

El caudal entrante en dicho volumen de control, que con era: (ó ), es

ahora . La diferencia entre el caudal que sale de la tobera fija y el que entra en

el volumen de control móvil se utilizaría en alargar el chorro a la velocidad (en

realidad esto tiene poco sentido práctico).

Con relación al álabe, la velocidad de salida , es igual, prescindiendo del rozamiento del flujo, a

la de entrada. Como el álabe se mueve a la velocidad , un espectador fijo ve salir el flujo a la

velocidad absoluta .

Formando así el triangulo de velocidades de salida.

La fuerza sobre el álabe, provocada por el caudal que circula por el volumen de

control al cambiar su dirección de a , valdría ahora:

Al igual que antes las presiones relativas son nulas: Es decir, que en el álabe

fijo intervienen las velocidades absolutas y en el álabe móvil las velocidades relativas .

La componente de la fuerza , al desplazarse a la velocidad , desarrollaría la potencia:

Es en este punto donde se puede comprobar que el flujo cede energía sobre el sistema del alabe. La acción de un flujo sobre el álabe móvil, anterior, no tiene sentido práctico, ya que el álabe se alejaría indefinidamente de la tobera y pronto el chorro dejaría de incidir sobre él. Pero, si alrededor de una rueda libre colocamos una serie de álabes simétricos, siempre habrá uno que

sustituya al que se aleja; en tal caso, el conjunto de álabes formarán un todo, llamado rodete, que se el volumen de control a considerar. El caudal másico de entrada en dicho volumen de control

no es ahora a pesar de que los álabes están en movimiento, sino pues no hay

alargamiento del chorro. Entra por tanto a la velocidad y sale a la velocidad , originando

sobre el álabe la siguiente fuerza, en la imagen 8 se puede apreciar las diferentes magnitudes:

8. Figura: Rodete

Las presiones relativas y son nulas, ya que son iguales a .

El caso práctico que se asemeja a esta situación es el rodete de una turbina Pelton. Con esta serie de casos se puede determinar la ecuación fundamental de la turbomaquinaria.

Ecuación de Euler para las turbomáquinas

Esta ecuación es imprescindible para el estudio de estas máquinas, tanto las de carácter hidráulico, como las de carácter térmico. Luego constituye la ecuación básica para la definición de bombas, turbinas, ventiladores, motores de reacción, etc. Esta ecuación indica la energía intercambiada entre el rodete de la máquina y el fluido que lo recorre. Para mostrar mejor el sentido de la ecuación de Euler tenemos que definir las vistas principales de una turbomáquina. Son dos las vistas principales de estudio, el corte meridional el cual nos permite identificar el eje de la máquina longitudinalmente, además de ubicar la parte anterior y posterior del rodete. También podemos conocer en esta vista las aristas de entrada y salida, que serán de vital importancia para posicionar las velocidades de la máquina según la geometría del alabe. El corte transversal aporta el estudio de las velocidades en un respectivo alabe, y se puede observar el mismo en verdadera magnitud. En esta vista se manifiestan las medidas de entrada y salida del rodete así como los ángulos característicos. En la imagen se pueden ver estas dos vistas, y la dirección de rotación y dirección del flujo.

9. Figura: Planos característicos turbomáquina

Las velocidades objeto de estudio en una turbomáquina son, la velocidad absoluta del fluido designada por esta será la propia del fluido desde un sistema de referencia externo a la máquina. La velocidad periférica ó tangencial designada por , es la velocidad propia del rodete observada desde un sistema de referencia externo a la máquina. La velocidad relativa designada por en una turbomáquina es la velocidad que posee el fluido con un sistema de referencia ubicado en el alabe. De estas velocidades principales surgen otras dos velocidades que son proyecciones de las mismas. La componente tangencial de la velocidad absoluta designada por

, esta velocidad es la proyección de la velocidad absoluta sobre la velocidad tangencial. La

componente meridional de la velocidad absoluta designada por , es la proyección de la

velocidad absoluta sobre la perpendicular de la velocidad tangencial. Todas las velocidades tratadas se les incorporan unos subíndices para designar tanto la posición de entrada , como la posición de salida . Además de estos subíndices, podrán presentarse otros numerales para definir la sección a la que hacen referencia. Entre las diferentes componentes se establecen ángulos característicos en la definición de la maquina y fundamentales para el trazado de los alabes. El ángulo es el que forman la velocidad absoluta y la velocidad tangencial . El ángulo es el que forman la velocidad relativa con el vector de la velocidad tangente negativo . Ambos ángulos siguen la designación según estén en la entrada o salida del alabe. Conocidos todos los parámetros característicos en la turbomáquina se pueden trazar los triángulos de velocidades, estos gráficos sirven para establecer todas las relaciones trigonométricas de las diferentes velocidades. Estos triángulos siguen la notación internacional antes descrita, se realizan dos tipos uno de entrada y otro de salida.

Conocidas las diferentes componentes cinéticas, establecemos la deducción de la ecuación de Euler considerando el sistema una bomba rotodinámica centrifuga, como en la imagen 9. Para una bomba tenemos que las velocidades de entrada de forma vectorial quedaran como sigue.

Esta relación indica que la dirección del vector , sigue la tangente del alabe a la entrada del

fluido en el rodete. Al se esta una velocidad relativa, y conociendo las velocidades absolutas desde el mismo sistema de referencia se establece la analogía. Para la salida del alabe la relación

Al tratar la ecuación de Euler el intercambio energético producido en un rodete, resulta lógico que su deducción se establezca a partir del teorema de la cantidad de movimiento. Considerando un hilo de corriente tenemos.

Dejando el teorema de la cantidad de movimiento respecto el momento desde el eje de la turbomáquina tenemos.

Según la imagen 9 se deduce que:

Considerando el volumen de control que encierra el rodete, tenemos finalmente la ecuación de Euler para las turbomáquinas.

Esta ecuación incluyendo la velocidad angular nos indica la potencia que puede generar la maquina.

Para alcanzar esta solución se han considerado varias hipótesis. Se ha considerado una bomba rotodinámica como objeto de estudio, esta máquina se considera que trabaja en régimen permanente, y que todas las partículas fluidas que entran en la misma lo hacen a la misma velocidad, y salen también con la misma velocidad en ese punto. La desviación de todas las partículas fluidas es la misma, por lo que se considera un numero de alabes infinito. Para finalizar la ecuación de Euler puede ser expresada según dos formas, esta representación define la altura hidráulica o altura de Euler. Esta altura también se puede expresar en forma de energía, y es la máxima transformada por la turbomáquina.

En relación con la altura de Euler, tenemos el grado de reacción de una turbomáquina, el cual indica la proporción de energía de presión transformada en la máquina respecto de la energía total.

Para valores mayores de 0 y hasta 1 la turbomáquina es de reacción, indicando la proporción de energía de presión transformada de toda la disponible. Cuando el valor resulte cero la turbomáquina es de acción, por lo que toda la energía aprovechada es de carácter cinético. Teoría de persiana de alabes

La ecuación de Euler define el rodete de la turbomáquina de forma global, de esta manera no se puede estudiar las reacciones que aparecen sobre el alabe y la relación que existe entre los mismos. Son entonces la teoría indicada y la teoría alar las que definen los alabes.

10. Figura: Persiana de alabes

Para la maquina tratada en este documento la teoría alar tiene la aplicación implícita en la teoría de persiana de alabes, en primera instancia por tratarse de una maquina de fluido incompresible, y por que la solidez entre alabes es elevada. Para considerar la teoría de persiana de alabes de forma simplificada nos centraremos en el caso de una turbomáquina axial como la desarrollada en el diseño. Tomando una sección cilíndrica del rodete, coaxial, de radio R, desarrollada sobre un plano , como la indicada en la imagen 10, de forma que sobre el mismo se encuentren las trayectorias relativas al fluido y las secciones de los alabes formando lo que se conoce como persiana, parrilla o enrejado de álabes, de paso y cuerda , se puede obtener una solución aproximada del problema considerando un movimiento plano y permanente a través de dicha persiana. El contorno se puede suponer formado por dos líneas de corriente y deducidas la una de la otra mediante la traslación t igual al paso tangencial de la persiana. Los caudales que atraviesan esta sección cilíndrica desarrollada sobre el plano, son:

- A través de y , nulos.

- A través de y tienen que ser iguales, por la ecuación de continuidad; esto queda de la forma siguiente.

La circulación es igual a la suma algebraica de las intensidades de todos los torbellinos que existan en la región interior a la curva cerrada ; la circulación a lo largo de , o lo que es lo mismo, la circulación alrededor de un álabe, al ser la misma a lo largo de y queda en la forma siguiente.

Esta circulación permite definir todas las reacciones que acontecen un alabe, siendo fundamentales para los cálculos estructurales de la maquina. Además con la teoría de persiana de alabes se puede determinar el numero finito de alabes que componen la turbina, ya que la ecuación de Euler solo expresa la forma continua.

Leyes de semejanza en turbomáquinas hidráulicas motoras

Este conjunto de leyes parten de la necesidad de experimentación de las turbomáquinas. Cuando se desea construir una turbomáquina, que por sus dimensiones, supone un gasto excesivo ó la imposibilidad de realización del ensayo. El análisis adimensional otorga las herramientas para realizar un modelo a escala y llevarlo a ensayo. Son las leyes de semejanza la relación directa adimensional para este grupo de maquinas, la preponderancia de la viscosidad en el conjunto de maquinas hidráulicas establece la relación. Esta relación viene dada por el numero de Reynolds, ya que dos maquinas semejantes trabajaran con idéntico numero de Reynolds. Ahora bien, en un ensayo se presenta la dificultad de igualar las velocidades entre modelo y prototipo, lo que haría muy costoso el ensayo. Esto mismo sucede con la altura de salto, de esta forma se establece la hipótesis de que la semejanza geométrica implica la semejanza mecánica. Esto equivale a decir que los rendimientos son equivalentes y se desprecia la acción de las fuerzas de la viscosidad. El objeto de la utilización de las leyes de semejanza, es para predecir el comportamiento de una maquina de distinto tamaño pero geométricamente equivalente a otra. Pero también su utilización se destina a conocer el funcionamiento de una misma maquina, bajo condiciones distintas de velocidad, caudal, etc. Son seis las leyes de semejanza, las tres primeras se refieren a la variación de las características de una misma o de varias turbomáquinas hidráulicas motoras iguales cuando varía la altura neta. Las tres últimas leyes tienen aplicación ante la variación de las características de dos turbomáquinas hidráulicas motoras geométricamente semejantes si se mantiene la altura neta. Las seis leyes son por tanto.

-Primera ley: Los números de revoluciones son directamente proporcionales a la raíz cuadrada de las alturas netas.

-Segunda ley: Los caudales son directamente proporcionales a las raíces cuadradas de las alturas netas.

-Tercera Ley: Las potencias útiles o potencias en el eje son directamente proporcionales a las

alturas netas elevadas a .

-Cuarta Ley: Los números de revoluciones son inversamente proporcionales a los diámetros.

-Quinta Ley: Los caudales son directamente proporcionales a los cuadrados de los diámetros.

-Sexta Ley: Las potencias útiles ó potencias en el eje son directamente proporcionales a los cuadrados de los diámetros.

Estas leyes de semejanza no solo se utilizan para comparar modelos, también nos permiten trazar las curvas características de estas maquinas y definir el concepto de maquina unitaria para comparar sus rendimientos. También se deduce de estas leyes, el número especifico de revoluciones que define numéricamente la mayor cantidad de parámetros que hacen característica a la turbomáquina y semejante a otras. Este numero nos permite determinar otros parámetros del diseño, desde el estudio de los alabes hasta el estudio de la cavitación. También es utilizado para seleccionar el tipo de turbomáquina ante las características determinadas de los aprovechamientos hidráulicos.

Sabiendo que:

El número específico de revoluciones no es adimensional, y sus unidades dependerán del sistema utilizado. Aunque no responde a unidades del sistema internacional, se sigue utilizando por convención las antiguas unidades del sistema técnico.