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El método de diferencias finitas es el método más antiguo de discretización para la solución numérica de ecuaciones diferenciales y fue descrito en 1768 por Euler. El método se basa en la aproximación de los derivados en las ecuaciones que rigen por la relación de dos diferencias (Nicolaϊ et al., 2001).

Según Ozisik (1993), la idea de la representación de la diferencia finita de una derivada puede ser introducida recordando la definición de la derivada de la función F(x, y) en x

= xo, y = yo con respecto a x:

߲ܨ

߲ݔ ൌ Ž‹ο௫՜଴

ܨሺݔ௢൅ οݔǡ ݕ௢ሻ െ ܨሺݔ௢ǡ ݕ௢ሻ

οݔ (2.2)

Claramente, si la función F(x, y) es continua, el lado derecho de ecuación (x) puede ser una aproximación razonable a డி

డ௫ durante un periodo suficientemente pequeño pero con οݔ finita. Consideramos que el desarrollo en serie de Taylor de las funciones f (x + h) y f (x - h) alrededor del punto x, está dada por:

݂ሺݔ ൅ ݄ሻ ൌ ݂ሺݔሻ ൅ ݄݂ᇱሺݔሻ ൅݄ ଶ ʹǨ݂ ᇱᇱ_{ሺݔሻ ൅}݄ ଷ ͵Ǩ݂ ᇱᇱᇱ_ሺݔሻ (2.2a) ݂ሺݔ െ ݄ሻ ൌ ݂ሺݔሻ ൅ ݄݂ᇱ_{ሺݔሻ ൅}݄ ଶ ʹǨ݂ ᇱᇱ_{ሺݔሻ ൅}݄ ଷ ͵Ǩ݂ ᇱᇱᇱ_{ሺݔሻ (2.2b)}

Donde los números primos denotan derivadas con respecto a x. La primera y segunda derivada, f '(x) y f "(x), pueden ser representados en forma de diferencias finitas de muchas maneras diferentes mediante la utilización de desarrollos en serie de Taylor.

La aproximación de las derivadas parciales de la ecuación de difusión de calor, se pueden realizar mediante el uso de diferencias finitas (Çengel, 2007). El método explícito o también llamado hacia adelante, es el método más simple de operar, en las diferencias finitas, debido a que utiliza las temperaturas actuales para simular la temperatura anterior, pero tiene la desventaja de imponer un límite sobre el intervalo de tiempo admisible para evitar inestabilidades en la solución (Ozisik, 1993).

Los problemas de conducción de calor en estado no estacionario, pueden resolverse numéricamente mediante la transformación de la ecuación diferencial parcial de la conducción de calor a las ecuaciones en diferencias finitas, en ambos dominios, tanto del espacio y tiempo (Ozisik, 1994).

Nicolaϊ et al. (2001), señalan que la primera derivada en el tiempo de alguna función డ்

డ௧ en

el tiempo ti se puede aproximar a la siguiente expresión:

߲ܶ ߲ݐ ؆ 

ܶሺݐ_௜ାଵሻ െ ܶሺݐ௜ሻ οݐ

(2.3)

La Ecuación (2.23) es llamada diferencia hacia adelante o explícita, ya que utiliza el valor futuro de la función.

Del mismo modo, las fórmulas de diferencias finitas se pueden establecer para los derivados de segundo orden, como se muestra en la Ecuación (2.4), donde la segunda derivada డమ்

డ௅మ en

el espacio denominado “L” se puede aproximar a la siguiente expresión:

߲ଶܶ ߲ܮଶ ൌ

ܶሺܮ௜ାଵሻ െ ʹܶሺܮ௜ሻ ൅ ܶሺܮ௜ିଵሻ οܮଶ

(2.4)

Si el sistema de coordenadas cartesianas, comprende las tres dimensiones para la transferencia de calor, el término, denominado “L” en la Ecuación (2.4), puede ser representado por x,y,z; obteniendo tres expresiones con coordenadas i,j,k.

En la literatura existen numerosos trabajos sobre la aplicación del método de diferencias finitas para simular la transferencia de calor, partiendo de la investigación por Teixeira et al. (1969) quienes desarrollan el método de diferencias finitas explícitas para simular la transferencia de calor de alimentos enlatados y posteriormente investigaciones incluyendo el efecto de la variación de la temperatura de la retorta (Durance et al., 1997; Kim y Teixeira, 1997; Almonacid-Merino et al., 1993; Fastag et al., 1996; Teixeira et al., 1975). En una reciente investigación, Mohamed (2003), desarrolló el método de diferencias finitas implícitas en cilindros finitos con el mismo objetivo de simular la transferencia de calor en alimentos enlatados, validando el método utilizando datos de procesamiento térmico publicados, encontrando que la aplicación computacional desarrollada en FORTRAN, es capaz de determinar la temperatura en cualquier parte de la lata y es capaz de soportar cambios en la conductividad térmica del producto así como las variaciones de las temperaturas de retorta.

Fasina y Fleming (2001), desarrollaron el método de diferencias finitas para la forma de cilindros finitos de pepinos, con la finalidad de simular la transferencia de calor durante el escaldado de los mismos, determinando experimentalmente los valores de conductividad térmica, calor específico y densidad de los pepinos para incorporarlos en la ecuación diferencial de difusión del calor. Encontrando un aceptable ajuste de los valores reales con los simulados por diferencias finitas, con un error inferior de 4.5 ° C.

finitas explícitas y el método implícito de Crank-Nicolson, encontrando que el método explícito ajusta mejor los resultados para los cubos de 2x2x2 cm y 3x3x3 cm, alegando que es muy difícil mantener la posición central de la termocupla, durante el tratamiento.

Palazoğlu (2006), desarrolló el método de diferencias finitas en partículas cúbicas en 3D empleando el concepto de resistencia térmica programado en el lenguaje Visual Basic® 6, validando la solución numérica obtenida con la solución analítica en tres dimensiones, utilizando cubos de papas de 0.127 cm por lado, adquiriendo las propiedades térmicas de la literatura, encontrando que se requiere un total de 10 nodos por cada eje y un diferencial de tiempo de 0.025 segundos para converger la solución numérica con la solución analítica. Similar estudio es la investigación realizada por Palazoğlu y Sandeep (2002), quienes validan la solución numérica con la solución analítica de transferencia de calor de un alimento de forma esférica, encontrando que el uso de 10 nodos en dirección radial, con un incremento de 0.025 segundos fue suficiente para obtener respuestas similares entre la simulación analítica y la simulación numérica.

Delgado y Sun (2003), utilizan la solución en una dimensión (1D) de la ecuación de Fourier, para simular la transferencia de calor y de masa durante el descongelamiento del jamón, implementó un programa de ordenador con el esquema de diferencias finitas explícitas programado en el lenguaje Visual Basic® 5. El procedimiento desarrollado por los autores, se utilizó para examinar la influencia de varias condiciones de almacenamiento y propiedades térmicas y físicas sobre el tiempo de descongelación, encontrando que el efecto de la incertidumbre de las propiedades termofísicas en la predicción del tiempo descongelación es importante. Los resultados de la simulación se compararon con las mediciones experimentales, y se encontraron los valores predictivos ajustan correctamente a los valores experimentales.

Scheerlinck et al. (2004), mencionan que el buen ajuste entre los valores simulados y experimentales, en la simulación de transferencia de calor, se debe especialmente si se tiene en cuenta un cierto nivel de incertidumbre en: (i) la forma del alimento, (ii) la posición exacta de registro de temperatura, (iii) la asertividad de los valor de las propiedades térmicas y físicas, y (iv) el valor real del coeficiente de transferencia de calor de superficie.

El método de diferencias finitas también se viene utilizando para determinar algunas propiedades de los alimentos, durante los procesos de transferencia de calor, como por ejemplo el trabajo realizado por Betta et al., (2009) quienes desarrollan el método de

diferencias finitas centrales y explícitas para simular la transferencia de calor en cilindros de dos dimensiones (2D), con el fin de obtener un método rápido para determinar el valor de difusividad térmica (α) de alimentos enlatados, mediante la optimización del mínimo valor de la suma de cuadrados del error encontrado entre la curva de calentamiento real y la curva de calentamiento simulada. El método planteado fue comparado con otras técnicas para determinar difusividad térmica (α), encontrando valores muy cercanos a los obtenidos mediante las diferentes técnicas.

Mariani et al. (2008), presentaron un nuevo enfoque para la estimación de la difusividad térmica aparente de alimentos a diferentes temperaturas de secado. La ecuación 1D de Fourier fue desarrollada por el método de diferencias finitas acoplado a una técnica de optimización utilizado en el método inverso. El modelo matemático, propuesto por los autores, considera los efectos de la contracción y la transferencia de calor por convección en la superficie de la fruta. Incluyendo estos dos parámetros en la simulación, proporcionan un mejor ajuste de mínimos cuadrados entre las temperaturas experimentales y predichas. Este estudio demuestra que un pequeño cambio en la temperatura y el contenido de humedad de plátano puede causar un cambio brusco en la difusividad térmica aparente, que disminuyen con la disminución de la humedad. El análisis estadístico muestra el excelente acuerdo entre las curvas notificadas y estimación

Otro trabajo que utiliza el método de diferencias finitas para determinar propiedades térmicas de los alimentos es el de Schmolka et al. (1997), quienes determinan simultáneamente el calor específico (cp) y conductividad térmica (k) de yerba mate (Ilex

paraguariensis Saint Hilaire), utilizando el método de diferencias finitas, encontrando que

ambas propiedades se pueden determinar con un error promedio de 9.87%.

2.5 CONDICIONES INICIALES Y DE FRONTERA EN LA ECUACIÓN DE