CES Function, Generalized Mean and Human Poverty Index: Exploring Some Links

Munich Personal RePEc Archive

CES Function, Generalized Mean and

Human Poverty Index: Exploring Some

Links

Pillai N, Vijayamohanan

Centre for Development Studies, Prasath Nagar, Ulloor,

Trivandrum, Kerala, India

1 February 2008

Online at

https://mpra.ub.uni-muenchen.de/6951/

! " # $%

& '

( )

* + ,-. /00

1

! "

# $ % &'( ) * +

$ ' ,- .,,/// 01 2

5-.

&2

$ " 6

7 4 % # ! 8

9 + 4 09 +2 $ # ! 7 α :

6 6 6

4

$ # ! 7 α : 0 ;2

7 0<;2

+ 7 6 7 7 = = 6

= 7 7 =

7 $

> 7 <; 0?;2

09;2 7 ; " >

= 7 6 "

7 0+ ;2 < <;

6 6 6 $

4 7 7 =

<; 6 7 4

<; < 7 6 6 + ; 9 7 ;

+ ;

4

3 ( ,5@ +5.

5

0%

7 A

3 7 < " 7 6

6 $

6 A

6 6 6

7 =

0" '''2 + 7

6 7 7 7

7 7

+ 7 0 2 6 6

@ 7

6 $

A 6

+ 6

7 6 $

=

< B C

0# ! ''- (2 9 ! D

''-4 >

9 ! + 4 09!+2

,

C 0 2 $ 9 +

9!+ %

= 7 !

6

4 7 = 7

! =

$7 9 + 9 +

6 E ! 9 + .

; !

< 6 9 + 7

$ 6 6

" 7 5)

0 2 5 F .F 5F 5) $ 6

6 2 5)

5)

6 6 .2

! 5) ')

6 5)

52 1 6 7 4

B9 7 7 4 7 5)

7 A

') +

6 G 6 3 9 + 7 6

A 7 6 A

C 0# ! ''- .)2 $

H 6

7

D B6 6 4 7

(

$ # ! 7 α :

6 6 6 0# !

''- - . 2 4

# ! 7 0 ;2 5

6 $ # ! 0 ''- - . 2

0<;2 0?;2 D 6 <;

6

A %

+ =

" ?; 6 4

6 7 0 7

4 2 $

09;2 7 6

7 0 2 A 6 4

7 A

$ 7 α .

. 5 6 0α2 F

α α α

α I

5 5 .

. J

K + +

7 + _. + ₅ = α 6 6 4 L $

A 7 αF αF .

α F − $ # ! 0 2 7 α : 7

+ 7 6 7 7 = =

6 = 7

7 = 7 $

> = 7 α

.

&

: 0 ;2

6 = 7

" 6 0 "2 $

, = 7 ; 0<;2

0?;2 09;2 7 5 7

7 " 0 ;2 " 0+ ;2 7

0+ ;2 + 7 6 7 0 2

0_{− ∞} M _∞2 6 7 7

6 + 7 "

6 6

> 7 7 4 4 7

7 <; ?; 9; 7

; " > = 7 6

" 7 0+ ;2 4 7

= 6

+ 7 7 7

7 0 .2 6 6

4

5% *# 6

! " #

6 $ 7

7 = 7 66 ! 0 !2 " 6

0 "2 > !

0?;2 "

-? 7 6 0 2 . !

. − ) N N $ = F F ) ( 7

0?;2 7 0 .2 I. " 7

" 6 ρ ρ Iρ

.

. 2

0 − − −

+ M . F $ = F

7 7 7 "

0 ;2 0ρ2 F ρ ρ Iρ

.

. 2

0 − − −

+ M . F + 6 7

α : 0 ;2 07 ρ F −α2 0 α + _{. .}α2 Iα

> 0<; 0 _{+ . .}2 7 ρ F ₋ 2

09; 0)( − )( _.− 2−

+ 7 ρ F 2 <

6 $%& O 7 F .F ) ( ρF ) ?;

;5

" "

# 7 ₌ I

∑

7 ; <;

7 ρF ?; 7 ρF . 0 4 2 9; 7 ρF 5 0 $ 6 2

7 ρ: 0ρ2 6 = P " 8 0 ;2 7

P " 8 0+ ;2 γ 7 ρ F Iγ@ 0 Iγ2 F

(

)

γ

γ

γ − −

−

+ . _. I

I

γ: 0 ) NρN 2 P 7 8

0+ ;2 β 7 ρF₋ Iβ@ 0₋ Iβ2 F

(

Iβ _{+ . .}Iβ

)

β β: 0

− NρN )2 ) N γN 7 ; 07 ρ: 2

) N βN 7 7 07 α: 2 $ 7

= " 0 " 2

5

$ @ 7 7 6 6

/

ρ ; <; + ; ?; + ; 9; ;

7 03 2 7 7 6

" _{− ∞} M_∞ 0 $ 6 2

$ '

$ 6 6 4

4 6 = $ 7 7

7 6 7 . ; + ; + ; ;

+ 7 7 ρ

% _∞ M _∞ $ 0

6 6 2

; 4 Q R_≥ ;_≥<;_≥+ ;_≥?;_≥+ ;_≥9;_≥ ;_≥ Q R

. + 7 6

; 0 6 <; L 2

$

− ∞ − ) ∞

; 4 <; ?; 9; ;

; + ; + ; ;

3 ! 6 "

'

5 ? 6 7 <;

; + ;

+ 7 - "

6 ; ; =

7 4 6 ;

6 6 ?; 7 6

0 ;2 L

> 7 0$ 6 .2

< H 7 4 6

0 2 L $ 6

4 7

7 7 $ " "

7 7

L " < 6

L 6

@ 7 7 6 4

( ,<

0 2

7 7

A

,

3 4 7 7 . 7 7

)

. < > $ <; ?; 9;

7 + 7 6 ?;

7 <;@

?; <; " =

9; 7 6 7

4 9;

?; $ " "

7 7 7 $ 7

7 6

4 6 1

4 7 ; 0+ ;2

6

6 H

7 6

$

7 $ α:

; β : + ; 9 7 6 7

7 α : ; 0αF <;2 ) NαN 0 A

β: 2 + ;(

5 " 0 2 + 7

7 $

6 < 7

, 0 2 > 6

(

7 6 I 4 +

0 2

0 2 6 0 42 <;

< 7

4 ; @ P 7 8 7 =

+ 6 + ; 6 6

β: @ ) N βN 7 ; 07

α : 2 7 4 $

0P 82 ; 0 α : 2 # ! 0 ''- . 52

6 4 6 4 7

@ B$ A K 4J 7

K J C 0 2 + 7

6 4 4 6 P 8@

7 6

9

( 0+ ; ?; + ; 9; ;2 6

4 9 7 P 8 7 6

= 6 + ;

7 7 ; 0 <;2

( E 9 < 0 2

6

3 4 6 )

6 ) $ 6

7

& " 6 $ 6 0 6 σ2

7 6 6 7 . 0α2 = 5

.

.

50# ! ''- . 2 3 ; α

6 σF I0α ₋ 2 $ 6 0σ2 6 7 7

0 2 <; 07 α F 2 + 6 6

7 <;

0 7

2 9 7

7 6

$ 7 $

α: ; 9 7 α

6 ;

L L 6 6 4

4

7 4@ 6

9 6 9 6 # ! αF 5 7

7 6 σ F I. 7

7 3 ! ?;

9; 3 " 6 7

L ρ + "

7

+ = + =

ρ γ

γ

σ " γ

3

+ ; 7 β : ρ N 7

ρ β

β σ

− = −

5

$ 4 6

; L @ 9; @ + ; @ ?; @

+ ; @ <; @ ; L

7 α F 5 # ! 8 ; 6

$ 6 ρF 5 "

I, " 5I, γ F 5 +

+ ; βF 5 6 (

- + ; + 7 α &

4 7 . 6

.2 I

0 α− _{3 7 αF}

7 6 1

α 0 ;2

6 6 4 3

?; 7 6 7 9; 6

A + + ; 7 6

6 7

+ ; $

4 ; < 4 7

-E F () . F .( 07 5F ,) 6 =

2 + ; α

7 . 6 .α− 3 <;

&

7 6 7

$ 6 6 6 F . = 7

0 A 7 2

,

?; . 9; , + ; .0β−2Iβ_{@ + ; .}0γ+ 2Iγ _{@ ; .}ρ+ _{3 6}

5 0 6 # ! α2 ; ,@ + ;

) &-@ + ; 55@ ; &

7% * 8

$ 7 4

6 6 6 7

/

3 4 ; D 6 <;

7 ;

6 <;

6 " ?; 6

4 6 7

< 7 9; 7

; + ; 7 7 7 9 7

6 @ 7 <;

6 6

6

+ ; A > <;

+ ; ; $ 4 7

6 <; 7 =

<; 6 7 4

<; 6 6 6 < 7 6

6 + ;

/

$ 4 7 BE = 9 +

7 = % E = C

(

? + ; 7 ; 6 6

<; 7 7

< 7 ; 7

6 6 4

> . ; 6 0 2 + ; .

7 <; + 6

6 ; + ; <;

@ 6 . 6 =

<; 7 6 $ + ; 7

; 4 H 7

P 8 + ;

4 $ 7 ;

+ ; 4

+ $ 6 5 7 - =

= 7

-/ # ! 0 ''-2 < . =

; + ; + ; ; =

α 7 =

$ 6 5 # ! 0 ''-2 $

6 7 # ! D 7 6

=

> 6 ; ;

<; + ; ; 9; + ; ;

$ = 6 <; A .) 6 ; ./

6 + ; 6 = A

7 0 2 ; 7 <; .)@ 7 + ; ,@ 7 ?; )@ 7 + ; ' 7 9; (@

&

7 ; (@ 0 2 ?; 7 + ; .'@ 7 + ; 5,@ 0 2 9; 7 + ; 5.@ 7

; .5

$ 4 + ; <; 7 ; <;

7 A 6 7 = 6 ;

6 <; (.) 7 6 <; 6 + ; // $

0 2 + ;%?; // (@ 0 2 ?;%+ ; (&@ 0 2 + ;%9;

)@ 0 2 9;% ; ..- ( + 7

< 4 ( 0 ; % <;2 : 0<; % + ;2 F 0+ ; % ?;2 : 0?; %

-$ 6 $ " ? 0 "2 ;

ρ ρ ρ

I

2 0

− −

    

  

=

_∑

2 0ρ ρ→∞

F Q R F . S

. 0ρ2 F " ; ρ:

5 0 2 F 9 ; 0ρF 2

, 0 Iγ2 F + " ; γ: 0) NρN 2

( 0 2

)

ρ ρ→

F ? ;

& 0₋ Iβ2 F + 7 ; β: 0₋ NρN )2

- 0₋ 2 F < ; 0ρF₋ 2

/ 0₋α2 F 7 ; α: 0ρN₋ 2

' 0ρ2

ρ→−∞

F 4 Q R F . S

> > Σ

) 0 2 F < ;

0.2 F ? ;

. 052_≈9 ;

/

$ 6 . ;

!

"

" _≠ # $ % & ! '

(" # $ & ) * ' +,

" # # $ & ' + * ' +,

+

$"

α- '

≠ " . / .

$ . &

−

α

.2

I

0 α−

!$"

β- '

≠ " . / .

$ &

− β

β 0β 2Iβ

.2

I

0 −

$"

ρ- '

# " . / $ &

+

ρ

.2

I

0 ρ+

! "

γ- '

# " . / $ &

+ γ

γ 0γ 2Iγ

.2

I

'

$ 6 5 ! < ! $ D = -/

''-0 1 & 2 / 3

$

$" " !$" (" ! " " $" $" " !$" (" ! " " $"

4 5

4

637 +3' 8 8399 836 8389 83+7 83'+ 83 + +3:7 ' ' ' ' ' ' '

;3+ 73; 7 63 + 73<8 73:< 73:6 73:' 7399 739 + + + + + + 6 73; 6 ; 63+8 63+ 63': 63'9 63'6 63'7 63'' 8 8 8 8 7 6 ; 83+ < 6 ;3++ 6398 637: 63+7 63 + 73:' 7379 7 7 7 7 8 8 8 0 73' 638 < ;37: ;3'8 63<9 63: 63;6 636+ 63+: 6 6 6 6 6 9 9 ;38 :3< '7 ' 3+6 <398 <37: <3++ :3<: :39; :38; ; < ' '' '' '+ '+ = <3+ '736 6 ' 388 <369 <3'6 :397 :388 93<7 93+: 9 9 : < < ' '' ) 637 +3< '9 ' 378 :378 938: ;378 63;9 63 < 738: : ; ; ; ; 7 + $ ;3+ <36 '6 ' 3:; ' 3+8 <3<' <3; <3+< <3 :36 < '' '+ '+ '+ '8 '8 " . :38 ' 3: '8 ' 3:9 ' 39 ' 3;' ' 36+ ' 378 ' 387 ' 3'9 ' '7 '7 '7 '6 '; '9 4 :3< ;36 '; ''3++ ' 379 ' 3' <396 <37+ <3'8 :3;7 '' '8 '8 '8 '8 '7 '7 = 738 '63; '' ''38 ' 38 <3;< <3 7 :389 9397 ;39+ '+ '+ '' ' ' : < " ;3+ '93; ; ''38+ <3<8 <3+9 :3;: :3'< 93: 93+6 '8 ' < : : < ' ) 83; +'37 7 '+397 <3;9 :3 9 ;396 63:+ 63++ 73; '7 : 9 9 9 ; 7

<3< ' 37 + '73+' '8378 '83 ; '+39+ '+37' '+3'7 ''3;< '6 '6 '; '9 + +' +' " '; '93: '+ '637; '63+9 '63'9 '63 ; '73<; '73:6 '73;8 '; ': + ++ +7 +6 +: $ '+3: 63; +7 ';3 8 '73'8 '83 ; ''3<: ' 3<; ' 3 6 :3;< '9 '; '; '; '; '6 '6 <3' '<3' + ';3:' ';3 9 '63;8 '63'6 '73;6 '73'8 '83'; ': + ++ +8 ++ +8 +8 % / ':37 '638 ': '93+< '93+8 '93+' '93': '93'6 '93'+ '93 ; '< +8 +; +: 8 8+ 8+ &

=

';3+ +6 7 '9386 '63 9 '836' ''397 ' 3 :368 ;3;6 + '9 '9 '6 '7 '' :

0 ' 3+ ':36 ++ '93;' ';3< ';36 ';3 9 '63;8 '63'< '7388 +' ++ +7 +6 +6 +; +6 & 1 93< <3< +< ':3+9 '63; '73+< '83'7 '+3'< ''376 ' 37; ++ '< ': ': '9 '< +

.) 0 1

& 2 / 3 $

$" " !$" (" ! " " $" $" " !$" (" ! " " $"

! ! 0 ''39 8'37 '8 + 396 ':39 '939+ ';3:7 ';3 : '6377 '736+ +; +9 +9 +; +9 +9 +;

$ '837 ''39 8+ +'3'7 '<3 8 ':3 8 '93'+ ';388 '63;: '739+ +9 +: +: +9 +: +: +< ' 3: +: +' +'3'6 '<3<8 '<3+7 ':36+ '939: '93 6 '6397 +: 8' 8+ 8' 8' 8' 8' > / '63< 8'38 '' +'3+7 '<37 ':37< '93;+ ';3:7 ';3'6 '63 6 +< +< +< 8 +< +< 8 4 ' 36 873: 9 +'389 '9378 '6378 '83;: '+3+: ''3+7 <3<6 8 +7 +' + ': '9 '; > '<3; '936 +: ++3'9 +'39 +'379 +'3+; +'3 6 + 3:6 + 37< 8' 88 88 86 86 8; 8: ? # '+3' 9 89 ++3:7 ':39 ';36; '73;8 '83 9 ''3:: ' 38; 8+ +9 +6 +' +' + ':36

' 3; 7 3; '+ +63+ +'3 9 '<3 7 '93+< '63:: '73:8 '836 88 8+ 8 +< +; +7 +7 2 ++38 +8 8' +6397 +6378 +63+< +63'6 +63 ' +73:: +73;7 87 8: 8: 8: 8< 7 7' # '83; 8739 +6 +63<' +7378 +83;' ++399 +'3<' +'3 : '<369 86 86 8; 89 89 89 89 ''39 +<3' 87 +;39' +73<8 +83:8 ++3;+ +'386 + 3' '93<' 8; 8; 89 8; 8; 86 86 & +83< +<36 +: +93+7 +93'8 +93 : +93 8 +;3<9 +;3<+ +;3:' 89 8< 8< 7 7+ 7+ 77 ! @ '637 783+ '7 +93;< +73+ ++368 +'3 7 '<3: ':3:' '9376 8: 87 87 87 87 87 88 ++3' +;3' 8; +:3;9 +:3 9 +9399 +937< +93+' +;3<7 +;376 8< 7' 7' 7+ 78 78 7+ " +63; '938 7' +<3;7 +93<9 +93'+ +;3+: +637< +7397 +8377 7 7 7 8< 7 8< 7

';3; 7<36 ' 8 3;< +6389 ++3;8 + 3': ':3'9 ';3;8 '73;+ 7' 89 86 88 8+ 8 +9 +637 893< +: 8 3<' 8 378 8 3+ +<3<: +<399 +<369 +<3'< 7+ 7+ 77 77 76 76 76 $ # /

(

+:3; +:3: 89 8'39' 8'379 8'386 8'3+7 8'3'8 8'3 + 8 3:+ 78 77 7; 7; 7; 79 6+

. 0 1

& 2 / 3 $

$" " !$" (" ! " " $" $" " !$" (" ! " " $"

& $ B 0

8+39 773+ 7+ 8<3<6 8<3;8 8<379 8<38 8<3'8 8:3<6 8:3; 68 66 69 6: ; ;+ ;7

+63+ 663+ 86 7 377 8:379 8937: 8;36' 863; 87398 883++ 67 68 68 67 67 67 66 ) 8< 8:3< 76 7'3 9 7 3<9 7 3<+ 7 3:9 7 3:+ 7 39: 7 3;< 66 6: ;' ;+ ;; ;; 9 # 883: 7737 76 7'38< 7'3 9 7 3< 7 39+ 7 367 7 38; 8<3<: 6; 6< ; ;' ;7 ;6 ;9

0

8637 7+3: 7; 7'3;7 7'37 7'3+: 7'3'6 7'3 8 7 3< 7 3;7 69 ;' ;+ ;7 ;9 ;: ;<

# +'3' ; 89 7+37: 8<389 8939' 8;3 6 87377 8+3<7 8 38; 6: 67 66 6+ 6' 6' 79 ( C> 783+ 7;3' 7' 7837: 78378 7837' 7838: 7838; 78388 783+: 6< ;6 ;< 9 9 9' 98 $ 1 ++3; ;+3< 8; 783:8 7 36 8:39< 893'8 8636; 873'+ 8'39+ ; 69 6; 6; 68 6+ 68 B! +83' ; 3; 7 783<< 7'3+8 8<396 8:3+; 8;39< 8638: 8+3< ;' ; 6: 69 6: 6; 67 +638 ;93< +; 77376 8<398 8937< 8637: 8839; 8+38; 8 387 ;+ 6; 67 6 6 6 7; " 8'39 ;83' 8' 77368 7'3<8 7 39' 8<36: 8:36; 893;; 8;3++ ;8 ;+ 6< ; 6< 6< 6< > 883+ 6:3< 8: 7739: 78389 7+3;< 7+3 7 7'378 7 3:; 8<3:; ;7 ;7 ;; ;: ;: ;9 ;; +93' 663< 79 773<9 78388 7+37+ 7'376 7 376 8<377 8937< ;6 ;8 ;7 ;; ;8 ;8 ;+ " / 8:38 773+ 68 76369 763'9 773<9 77399 77369 7738: 773 ;; ;< 9' 9' 9+ 9+ 97 D +63; 6:3< 79 763<6 783:8 7+3;7 7'38: 7 3 < 8:3: 8;38: ;9 ;9 ;6 ;6 ;+ ;' ; > +;37 ;+39 7+ 7;3'; 7839 7+37' 7'3'+ 8<3:6 8:3;7 8;379 ;: ;; ;8 ;8 ;' ; ;' > 883: ;637 88 7;36: 773 9 7+3:: 7'39: 7 39< 8<3< 8:379 ;< ;: ;: ;9 ;6 ;7 ;8 ( 7'38 ;63+ 8 793:' 7636 77386 783+8 7+3'; 7'3'; 8<37 9 9 9 ;< ;< ;< ;6 " 8+3' 673+ 6; 7:3;; 79378 7;397 7;3 ' 763+6 77379 7+3< 9' 9+ 9+ 9+ 98 98 9' " A @ 783: ; 36 7+ 7<379 7:399 7:378 7:3' 7939< 7937< 7;3<7 9+ 98 96 96 96 96 96 8'3< ;6 6 6 3: 7:3<9 793<: 7;3<: 763<; 773<; 783 7 98 97 97 97 97 97 9+ " +:37 9 39 7< 6+38 7<389 7939: 7;3'; 7736; 783 7 3+ 97 96 98 98 9' 9 ;: > 1 E 8;3' :'38 +' 6+399 7;3'8 7+39+ 8<36 8;3;6 873+7 8 3;: 96 9' ;9 6< 69 68 6' 8639 ;636 6< 673<' 6837 6+36; 6'3;9 6 396 7<3:' 793<6 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; & 6+3' ;<39 6+ 6:368 693<8 693;6 69389 693' 6;3:6 6;389 99 99 99 9: 9: 9: 9: # 783+ :;3< 6 ;83 8 ; 3 8 6:3; 693+; 6;3 ' 673:< 6+3<< 9: 9: 9: 99 99 99 99

" $ # ! 0 ''-2

F @ ; F 7 ; .@ <; F < ; @ + ; F + 7 ; .@ ?; F ? ; @

..

9*# ( 2 ' # # :

& $) ; 0

9 7 " 0 ;2 6 ?; ρ →) 7 7

0 2 A 0 " 6 66 ! ρF )

07 6 2 6 $)& 8 2

; 7 7 A 7 0ρ2 F

ρ ρ ρ I . 2 ( ) ( )

0 − − −

+ $ $)& 8 0 2=)

→

) 2

0 ₌

→ 0 2

2 0 2 0 2 0 ′ ′ = → →

0 < '&- .'. % .'(2

$ = 0ρ2 6 7

0ρ2 F

2 0 2 0 2 ( ) ( ) 0 _. ρ ρ ρ ρ ρ = + − − −

ρ → _{) 7 0ρ2} → _{) 0ρ2} → _{) $ =}

2 0 ₌ ′ ρ ρ ρ ρ ρ ρ − − − − + + = ′ . . . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0

7 )( +)( _. ρ→) 9

. ( ) ( ) 2

0ρ _{= +}

.5

& $) ; 5

9 7 ;≥_<;≥_{+ ;}≥_?;≥_{+ ;}≥_9;≥ _;

E 6 7 6 ≠ _{> 7 0 ;2}

7 0+ ;2 " 0+ ;2 " 0 ;2

.

> <; F

.

+ _{?; F 9; F}

+ =         ₊ − − − _. . " F . I . . . I . . 2 0 . .  = +        ₊ − − −

+ " F

(

)

. . . I . I _, .  = ₊        ₊ − − − ; F . I . . .         ₊

+ ; F

. . I . I .         ₊

3 7 ; : <;

" ; : <; $

. I . . .         ₊ : . + 1 , . . . . . . . . _{+ +} =       + >         ₊

H D9" E9" 7

, . . . − + F . .      −

: ) " A A 7

. .      −

: ) ; : <;

.,

> 7 <; : + ;

. + : . . I . I .         ₊ 1 . + _: . . . I . I . .         + =         ₊ $ . + : , . + +

H D9" E9" 7

, . − + F . .         − : )

" A A 7

. .         ₋ : )

<; : + ;

5 > 7 + ; : ?;

" 7 + ; : ?; 7

. . I . I .         ₊ F . .         + : $ , . + +

− : ) 1

. . , .         ₋ = − + : )

" A A 7

.(

, 4 7 ?; : + ;

7 ?; : + ; 7 :

(

)

. . . I . I _, . ₊ =         ₊ − − − 1 , . > + + 7 ) . _> −

+ 1 0 − 2. >)

" A A 7

(

₋

)

.: )

?; : + ;

( 7 7 + ; : 9;

E + ; : 9; 7

(

)

. . . I . I _, .  = ₊        ₊ − − − : + =         ₊ − − − _. . 1

(

)

. . + > + 7 ) . > −

+ 1 0 − 2. >)

" A A 7

(

₋

)

.: )

+ ; : 9;

.&

" 7 9; : ; 7

+ =     

 

 ₊ −

−

− _.

. :

. I . . . I . .

2 0

.

.  = +

   

 

 ₊ −

− −

1

. .

. _{2 0 2}

0

. + > + 7

) .

. .

> −

+ 1 0 − 2. >)

" A A 7 0 ₋ 2. _>)

9; : ;

3 6 7 ; : <; : + ; : ?; : + ; : 9; : ;

+ A ; F <; F + ; F ?; F + ; F 9; F ;

$ 7 ;_≥<;_≥+ ;_≥?;_≥+ ;_≥9;_≥ ;

" 6 7 4

7 4 Q R ; Q R 7 ;

& $) ; 7

9 7 7 <; L

;

" <; L

? F S 7 <; ₌

∑

7

∑

0 −α2=) 7 α $

∑

₌ α $ α 6

.-. " ;

"

∑

0 − 2=

∑

− <) 7 $

<; 0 2 N " <; N ; 6 ;

5 " <; ;

E

∑

0 ₋ 2₌

∑

_{− >}) 7 $

<; 0 2 : " 7 <; : + ; 6 7 6

<; ;

& $) ; <%

E 6 7 6 ≠ _{> "}

0 ;2 " 0+ ;2 7 0 ;2 7 0+ ;2

.

> <; F

.

+

?; F 9; F

+ =         ₊ − − − _. . ; F . I . . . I . . 2 0 . .  = +        ₊ − − −

+ ; F

(

)

. . . I . I _, .  = ₊        ₊ − − − ; F . I . . .         ₊

+ ; F

. . I . I .         ₊

./

3 7 7 6 <; ;

+ ; $ 7 0 2 6 7

<; ?; 7 6 7 <; + ; <; % ?; F

.0<; % + ;2@ 0 2 6 7 A ; A ?;

7 6 7 A ; A <; ;. % ?;. F

.0 ;.% <;.2

2 $ 6 7 <; ?; 7 6 7 <;

+ ; <; % ?; F .0<; % + ;2

" <; % ?; F $

.

+ _{− F}

(

)

= −

= −

+

. .

. .

S0 2

< <; % + ; F* $

.

+ ₋

. . I . I

. 

   

 

 ₊

F .

+ ₋

, . + +

F _ =*

  

 

 − .

. S0.2

3 0 2 0.2 7 F .* $

<; % ?; F .0<; % + ;2 7

<; % + ; F + ; % ?; 7

<; % ?; F .0+ ; % ?;2

$ 6 + ; <; ?;

$ 7 <; : + ; : ?;

A T $ + ; F 0<; M ?;2I.@ + ;

<; ?;

2 7 7 6 7 A ; A ?;

7 6 7 A ; A <; ;.% ?;.F

.'

E ;.% ?;.F' $

' = − +

.

. .

1

(

−

)

='

.

.

S 052

< ;.% <;.F $ 7

=       + −

+ . .

.

.

. 7  =

  

 − .

. S 0,2

3 052 0,2 7 'F . $

;.% ?;.F .0 ;.% <;.2 7 ;.% <;.F <;.% ?;. 7 ;.% ?;.F .0<;.% ?;.2

$ 6 A <; A ;

A ?; $ 0 ; : <; : ?;2 A

A T $ 7 ; : <; :

+ ; : ?; 6 0 2 <; + ; ?; A

; <; + ;

< 6 <; F Q0 ;. M ?;.2I.R I. $ <; A

0 7 .2 ; ?;

& <92:

3 7 6 0 2 7 6

6 7

H 7

2 <; F ?;.I9;@

2 ; F ?;.I ;@

2 + ; F ?;.I+ ;

5)

2 ;I<; F 9;I ;@

2 <;I+ ; F + ;I9;@

2 ;I+ ; F + ;I ;@

2 ;I?; F ?;I ;@

2 <;I?; F ?;I9;@

2 + ;I?; F ?;I+ ;

$ ?; 2 ; ;@ 2 <;

9;@ 2 + ; + ;

. <; % ?;≥_{?; % 9;}

+

> <; % ?; F

(

)

. .

.

− = − +

?; % 9; F .

(

−

)

.

+ = + −

9 <; % ?; F 0?; % 9;2

. +

7 0 − 2.≥₎

. 2

0 ₊

≥

$ <; % ?;≥_{?; % 9;}

5 + ; % ?;≥_{?; % + ;}

> + ; % ?; F

. . I . I

. 

   

 

 ₊

− _F

.

. 

   

   −

?; % + ; F

(

)

(

)

. .

. 2 0

,

+ − =

5

$ + ; % ?; F 0?; % + ;2

(

)

,

.

+

7

(

)

,

.

+ _{≥ 0 0 2}.

− ≥₎ . 2 0 ₊ ≥ _@ , 2 0 ₊ ≥ _I.2

9 + ; % ?;≥_{?; % + ;}

, ?; % + ;≥_{+ ; % 9;}

> ?; % + ; F

(

)

(

)

. . . 2 0 , + − = + −

+ ; % 9; F

(

)

(

)

(

)

.

.

. _{0 2}

. . 2 0 , + − + = + − +

$ ?; % + ; F 0+ ; % 9;2

. +

" .

+ _≥

7 ?; % + ;≥_{+ ; % 9;}

( + ; % 9;≤_9;._{% ;}.

> + ; % 9; F

(

)

(

)

. . 2 0 . + − +

9;.% ;.F

. . . . . . . . . . . . . 2 0 2 0 . . 2 0 , + − + = + − +

7 7 6

5.

> 6 ;.% <;.F

. .      −

<; % + ; F

. .         −

" 0 − 2. ≥

(

−

)

. 7 6

- ;.% ?;.≥_?;._{% ;}.

> 0 2 6 ;.% ?;.F

. 2 0 ₋ .

?;.% ;.F

(

)

.

. . . . . . 2 0 2 0 . − + = + −

$ ;.% ?;.F 0?;.% ;.2

.

. .

+

" 0 ₋ 2. _≥) ⇒

.

. .

≥

+ _{7 ;}.

% ?;.≥_?;._{% ;}.

/ 3 ?;.% ;.≤_.0?;._{% 9;}.₂

3 6 7 ?;.% ;.F

(

)

.

.

. ₂

0 + −

?;.% 9;.F

. . . . . 2 0 2 0 2 0 , + − = + −

$ ?;.% ;.F 0?;.% 9;.2

. . . 2 0 + +

F 0?;.% 9;.2 _

     + + . . .

" 0 − 2. ≥) ⇒ .

.

. ≤

+

7 ?;.% ;.≤_.0?;._{% 9;}.₂

55

0 2 < 6 7

0 ;.% <;.2 F 0<;.% ?;.2≥_{0<; % + ;2 F 0+ ; % ?;2}≥_{0?; % + ;2}≥

≥_{0+ ; % 9;2}≤_09;._{% ;}.₂≤_0?;._{% 9;}.₂

3 7 7

0 ; % <;2≥_{0<; % + ;2 F 0+ ; % ?;2}≥_{0?; % + ;2}≥

≥_{0+ ; % 9;2}≤_{09; % ;2}

062 > ;.% ?;.≥_?;._{% ;}.

" 7 ; % ?;≥_{?; % ;}

3 7 7 6 7 .

2 <; + ; ?; A @

2 <; ; + ;@

2 ?; + ; + ;@

2 + ; ?; 9;@

2 9; ; + ;@

2 ?; ; ;

3 4 7

$ 6 F 5( F &)@ ρ "

" $" " !$" (" ! " " $"

ρ −+ −' − 36 36 ' +

? 7<3'+ 7936 7;3;;8 763:+; 763 7 773+'' 7+3966

5,

6 6 $

<6 7 L ; " + < 0 '&(2& ' " 7

U = !

. < $ ; 0 '&-2 + . 7 U = >

5 " <* 0 '''2, " 7 U = < < * +

, # ! 0 ''-2& , - .//0 14 1#