A STUDY OF MATHEMATICAL METHODS FOR METROLOGICAL EVALUATION OF TECHNICALLY COMPLEX (KNOWLEDGE-BASED) TEST SYSTEM OF DESIGN

УДК

В

.

А

.

ФЕДОРОВ

(

ГП

ДОНСЕРТ

)

ИССЛЕДОВАНИЕ

МАТЕМАТИЧЕСКИХ

МЕТОДОВ

ДЛЯ

МЕТРОЛОГИЧЕСКОЙ

ОЦЕНКИ

ТЕХНИЧЕСКИ

СЛОЖНЫХ

(

НАУКОЕМКИХ

)

ИСПЫТАТЕЛЬНЫХ

СИСТЕМ

НА

СТАДИИ

ИХ

ПРОЕКТИРОВАНИЯ

Наведенорезультатидослідженняметодівметрологічноїоцінкискладнихтехнічнихвипробувальнихситем.

Представленырезультатыисследования методов метрологическойоценкисложных техническихиспы -тательныхсистем.

The results of research of methods of metrology estimation of the difficult technical tester systems are described in the article.

Под технически сложной (наукоемкой) ис -пытательной системой (СИС) в настоящей ра -боте понимается устройство, воспроизводящее нормированные воздействующие факторы и (или) нагрузки, при использовании которого значение этого воздействия есть величина U,

являющаясяфункцией

(

1, ,2 n

)

U = f x x …x , (1)

где x x₁, ,₂ …x_n – аргументы, от которых зави

-сит значение этого воздействия; n – число ар

-гументов (точечныхвоздействий).

Измеряя каким-либо способом значения

1, ,2 n

x x …x или задаваясь их значениями, мы

всегдадопускаемпогрешности ∆x x₁, ,₂ …x_n.

Тогда значение U, вычисленное по неточ

-ным значениям аргументов, будет иметь по -грешность

(

1 1

) (

, 2 2

)

,

U f x x x x

∆ = ⎡_⎣ + ∆ + ∆ …

(

xn xn

)

⎤ f x x

(

1, ,2 xn

)

… + ∆ _⎦− … . (2)

Придостаточномалыхзначениях ∆x x₁, ,₂ …x_n

можно приближенно заменить приращение полнымдифференциалом

1 2

1 2 n n

f f f

U x x x

x x x

∂ ∂ ∂

∆ ≈ ∆ + ∆ +…+ ∆

∂ ∂ ∂ . (3)

Поскольку значения частных производных, как и значения ∆ ∆ …∆x₁, x₂, x_n, могут быть как

положительными, так и отрицательными, то абсолютносправедливымявляетсявыражение

_{1 2}

1 2 n n

f f f

U x x x

x x x

∂ ∂ ∂

∆ ≈ ∆ + ∆ +…+ ∆

∂ ∂ ∂ . (4)

Если в (4) модули ∆x₁,∆x₂ ,… ∆x_n заме

-нить их максимальными (предельными) значе -ниями ∆∗x₁,∆∗x₂ ,… ∆∗x_n , которые являются

границами для абсолютных величин значений погрешности, то модуль предела абсолютной погрешностиопределяетсявыражением

1 2

1 2

f f

U x x

x x

∗ ∂ ∗ ∂ ∗

∆ ≈ ∆ + ∆ +…

∂ ∂

n n

f x x

∗

∂

…+ ∆

∂ . (5)

Задачей метрологической оценки метода испытаний с использованием СИС является не только установление значения ∆∗U , но и

установление предела относительной по -грешности δ

( )

U .

Изопределенияпонятия «относительнаяпо -грешность» следует

( )

₍

₎

1, ,2 3

U U

U

U f x x x

∗ ∗

∆ ∆

δ = =

… . (6)

Сучетом (5) запишем

( )

1 2

1

U x U x

U x

U U

∗

∂ ∂ ∂ ∂

δ = ∆ + ×

2 n n

U x

x x

U

∗ ∂ ∂ ∗

× ∆ +…+ ∆ . (7)

Поскольку отношение первой производной функциикэтой жефункции естьперваяпроиз -водная натурального логарифма этой функции, товыражение (7) приметвид:

( )

1

1 2

In In

U U x U

x x

∗

∂ ∂

δ = ∆ + ×

∂ ∂

2 ln n

n

x U x

x

∗ ∂ ∗

× ∆ +…+ ∆

∂ (8)

иликоротко

( )

U ∗lnU

δ = ∆ . (9)

Отсюдаследует, чтодляопределенияпредела относительной погрешности СИС необходимо последовательновыполнитьряддействий:

− определить и проанализировать но -менклатуру внешних воздействий факторов

1, ,2 n

x x …x ;

− проанализировать диапазоны (размахи значений) внешнихвоздействующихфакторов; − установить (настадиипроектирования – задать) максимальные (предельные) значения абсолютныхпогрешностей ∆ ∆ …∆x₁, x₂, x_n;

− разработать (если функция U аналитиче

-скинеопределена) аналитическоевыражениеU;

− определить lnU;

− найти частные производные функции lnU по аргументам внешних воздействующих

факторов;

− по (8) составитьвыражениедля δ

( )

U ;

− вычислитьзначение δ

( )

U ;

− провести анализ полученного значе -ния δ

( )

U .

Если в проекте технического задания на проектирование СИС приведен перечень нор -мированныхзначенийвнешнихвоздействий, их мксимальные и минимальные значения, то это позволяет, используя приведенную вышемето -дологию, определить значение δ

( )

U и срав

-нить с значением δ_н

( )

U , предварительно со

-гласованнымсзаказчиком.

Если δ

( )

U > δ_н

( )

U , то необходимо провес

-ти анализ диапазонов внешних воздействую -щихфакторов, принятыхвпроектеТЗ, сцелью уменьшенияихвлияниянавеличину δ

( )

U .

Если по техническим или экономическим причинам не удается добиться уменьшения

( )

U

δ дозначения δ

( )

U ≤ δ_н

( )

U , то необходи

-мосогласоватьсзаказчикомувеличение δ_н

( )

U

до величины, позволяющей воспроизвести вСИСпринятыйметодиспытаний.

Еслии этонеудается, то необходимоприме -нить (разработать) другойметод, аотразработки конструкторскойдокументацииотказаться.

В случае δ

( )

U < δ_н

( )

U , то, формально го

-воря, можно согласовывать и утверждать ТЗ и приступать к разработке конструкторской документации.

Однако, если δ

( )

U << δ_н

( )

U , то возникает

вопрос экономической целесообразности соз -дания и использования такой СИС, т. к. заказ -чик полностьюне реализует еевозможности, а разработчикиизготовительбудутиметьувели -ченныерасходы.

Помнениюавторов, соотношение

( )

( )

н

0,8

U

U

δ ≥

δ (10)

может быть оптимальным и экономически це -лесообразным.

Еслиже

( )

( )

н

0,8

U U

δ <

δ ,

то возникает необходимость в пересмотре зна -чений ∆∗x₁,∆∗x₂ ,… ∆∗x_n в сторону их «за

-грубления» до таких величин, чтобы соблюда -лосьсоотношение (10).

Это позволит, при полном удовлетворении требованийзаказчика, снизитьвобщемслучае: − расходы на создание СИС (проектиро -вание, испытания опытно-промышленного об -разца, закупкакомплектующих);

− расходынаизготовлениеиприемку; − стоимостьготовогоизделия;

− эксплуатационные расходы у потреби -теля (монтаж, наладка, эксплуатация).

Приведенные выше рассуждения проком -ментируем на примере исследования метода определения удельного электрического сопро -тивленияконтактногопровода.

Удельное электрическое сопротивление контактного провода электрического (троллей -ного) транспорта является важным показате -лем, связанным с проблемами энергосбереже -ния. Ввиду этого, каждаяпартия такогопрово -дадолжна сопровождаться документом о каче -стве, содержащем данные об этом параметре. Так как напрактике плавка может делиться на несколько партий, то в документе о качестве может указываться значение удельного сопро -тивленияметаллаисходнойплавки.

Притехнологии прямого (непрерывного) по -лучения исходной катанки из рафинированного модифицированного жидкого металла испыта -ниям подвергается каждая партия. В настоящее

времядействуетГОСТ 7229-76 «Кабели, провода и шнуры. Метод определения электрического сопротивления токопроводящих жил и провод -ников». Воснову этогостандарта положенклас -сический метод измерения мостами Уитстона и Томсона (одинарный, двойной или одинарно -двойноймостпостоянногонапряжения).

Поэтомуметодукрайнесложнообеспечить предел относительной инструментальной по -грешности менее 0,2%, который и нормирован этим стандартом. Предел относительной по -грешности метода ГОСТ 7229-76 не нормиру -ется. Подсчитаем его значение для медного проводапритемпературе 20 °С.

Из курса физики известно, что сопротивле -ние проводника R, удельное сопротивление ρ, сечение проводника S и его длина l связаны

выражением:

l R

S

= ρ (11)

или

RS l

ρ = . (12)

Используя (8) и (12), имеем (промежуточ -ныевыкладкиординарныивнастоящей статье неприводятся)

( )

R S l

R S l

∗ ∗ ∗

∆ ∆ ∆

∆ρ

δ ρ = = + +

ρ , (13)

где δ

( )

U – пределотносительнойпогрешности

метода

( ) ( )

U

δ = δ ρ ;

1

x ∗

∆ – предел относительной инструмен -тальной погрешности, приведенной к темпера -туре 20 °С (по ГОСТ 7229-76 это значение со -ставляет 0,2 %)

20 1

20

R R

x

R R

∗ ∗

∗ ∆ ∆

∆ = = ;

2

x ∗

∆ – подсчитанное значение по данным табл. 4 ГОСТ 2584-86 составляетпорядка 0,8 %

2

S x

S ∗

∗ ∆

∆ = ;

3

x ∗

∆ – пределотносительнойпогрешности при измерении длины испытуемого образца нормировано ГОСТ 7229-76 исоставляет 0,2 % (дляобразцадлиной 1 м)

3 l x

l ∗

∗ ∆

∆ = .

Подсчитанный по (13) предел относитель -нойпогрешностисоставляет 1,2 %, что, учиты -вая растущие цены на медные сплавы и элек -троэнергию, не может вдолжной мере удовле -творятьпотребителей-эксплуатационников.

Современные методы измерения электриче -ских параметров (в Украине не стандартизова -ны) используют принцип ток-напряжение по 4-х проводной схеме (Кельвина), компенси -рующей сопротивление токопроводящих про -водников и переходное сопротивление контак -тов (рисунок).

Рис. Принципиальнаясхемаизмерения:

б

l – базовоерасстояниемеждуконтактами; l0 – общаядлинаобразца Этот метод начали использовать на пред

-приятиях цветной металлургии СНГ как аль -тернативу ГОСТ 7229-96 для определения удельногоэлектрического сопротивления про -водниковсечением 30…300 мм2_.

Одна из установок для воспроизведения этогометодасодержит:

− миллиомметр RESISTOMAT 2304-V001 (Германия) классаточности 0,01 %;

− зажимной механизм с ванной, заполнен -ныйдистиллированнойдеионизированнойводой; − температурный датчик типа 23992 (или 2391), погруженный в воду для измерения ее температуры;

− весы типа ARC-120, класс точности 3 (ГОСТ 24104-88);

− метр металлический№К-13 (по ГОСТ 8.222-76);

− слесарныйинструмент (ножовка – дляоб -резанияконцовзаготовкииспытательногообраз -ца, напильник – дляторцовкииснятиязаусениц, резиноваякиянка – длярихтовкиобразца).

При определении ρ выполняются три ста -дииработ:

− подготовкакизмерению; − проведениеизмерений;

− обработкарезультатовизмерений. Подготовкакизмерениювключаетвсебя: − контроль формы (остроты) контактов, измерение базового расстояния между контак -тами (l_б=1 000 мм, ∆ =l_б 0,5 мм);

− изготовление испытуемого образца

(l₀=1300 мм, ∆ =l₀ 0,5 мм);

− взвешиваниеобразцадлиной 1 300 ммс точностьюдо 0,01 г (∆ =m 0,01г);

− настройкумиллиомметра;

− установкуобразцавизмерительнуюсхему. Приизмерении сопротивления многократно (в автоматическом режиме) меняется поляр -ность – до получения стабильного значения изменяемогопараметра.

Определим δ

( )

U , перепишем (12) ввиде

20

б0 R m U

l l q

= ρ = , (14)

где m – масса образца длиной l₀; l₀ – рас

-стояние между контактами; l_б – базовое рас

-стояниемежду контактами; q – плотность ма

-териалаобразца.

Применительнок (14)

( )

₂₀ б 0

20 б 0

m l l q

R U

R m l l q

∗ ∗ ∗ ∗

∆ ∆ ∆ ∆

∆

δ = + + + + .(15)

Исходныеданныедлярасчета δ:

20

20

max R 0,01

R ∗

∆

= %

(паспортные данные миллиомметра Resistomat 2304-V001);

б

б

0,5

max 0,0005 0,05

1 000

l l

∗

∆

= = = %;

0

0

0,5

max 0,0004 0,04

1300

l l

∗

∆

= = = ;

0,005

max 0,0006 0,06

8,89

q q ∗

∆

= = = %.

Подставивв (15) исходныеданные, имеем

( )

U 0,01100 0,16 1 0,16

m m

δ = + = + , (16)

гдеmвграммах.

Установка позволяет испытывать образцы провода, катанки, прутковыхматериаловсечени -ем 30…300 мм2_{, поэтому для оценки точности}

метода, формально говоря, можно задать теку -щее значение m в граммах и построить кривую пределаотносительнойпогрешности δ

( )

U , %.

Однаконеобходимостив этомнет, т.к. мак -симальное значение δ

( )

U имеет при мини

-мальноймассеобразца (длиной 1 300 мм). Образец диаметром 6,2 мм длиной 1 300 мм имеет минимальную массу 330 г, поэтому влия -ние m на общий результат (δ

( )

U =0,163 %)

можнонеучитыватьипринять

( ) ( )

U 0,16

δ = δ ρ = %.

Сравнивая этот результат с результатом, вычисленным по (13), видим, чтоточность ме -тодабольшев 1,2 : 0,16 7,5= раз.

«Истинное» значениеρнаходитсявпределах • пометодусогласноГОСТ 7229-76

max 1,2 :100 1,012

ρ = ρ + ρ = ρ,

min 1, 2 :100 0,988

ρ = ρ + ρ = ρ;

• по описанному нами нестандартизован -номуметоду

max 0,16 :100 1,0016

ρ = ρ + ρ = ρ,

min 0,16 :100 0,9984

ρ = ρ + ρ = ρ.

Доляинструментальнойпогрешностивобщей (предельной) погрешностиметодасоставляет:

• пометодусогласноГОСТ 7229-76

0,2 :1,2 100 17⋅ ≈ %;

• по описанному нами нестандартизован -номуметоду

0,01: 0,163 100 0,16⋅ ≈ %.

Если принять δ ρ =_н

( )

1,2 %, то согласно (10) δ

( )

U должнобытьпорядка 1,02.

Здесьмыимеемслучай δ

( )

U << δ_н

( )

U .

Налицо возникла необходимость в пере -смотре∆∗l_б , ∆∗l₀ , ∆∗q и, конечноже, ∆∗R .

Чтокасается ∆∗R , то этавеличина опреде

-лена паспортным значением предела относи

-тельнойпогрешностимиллиомметра R

R ∗

∆

для

любого текущего значения R и тоже может

бытьпересмотрена.

Есливместоприбора Resistomat 2304 класса 0,01 %, стоимостью более 13,5 тыс. EUR, заку -пить прибор Resistomat 2319 класса 0,2 %, стоимостью немногимболее 1500 EUR, то рас -ходыуменьшатсявдевятьраз.

Определенная экономия будет и если «за -грубить» точность: ∆∗l_б и ∆∗l₀ – 0,5…1,0 мм;

q ∗

∆ – 0,005…0,05 г/см3.

Значение δ ρ

( )

, посчитанное по «загрублен -ным» даннымбудетсоставлять:

( )

1 0,98

m

δ ρ = + .

Поскольку 1 0,0 03

( )

m= , т. е. меньше 0,005,

то с полным основанием можно принять

( )

0,98

δ ρ = %, что более, чем в 1,2 : 0,98 1,2= разаточнееметодапоГОСТ 7229-76.

Выводы

1. Грамотно проведенная экспертиза про -екта СИС на стадии ТЗ позволяет в несколько разснизитьрасходынасозданиеСИСприпол -ном удовлетворении заказчика, что особенно важнопризакупкахимпортныхприборов.

2. Если насудовлетворяетметод (иимеет -ся достаточный запас по его точности), то ра -боты по первичной аттестации изготовленной СИС сведутся к скрупулезной проверке соот -ветствия конструкторской документации тре -бованиям ТЗ, а изготовленногоисмонтирован -ного испытательного оборудования – требова -ниямконструкторскойдокументации.

Поступилавредколлегию 25.04.2006.