A MATHEMATICAL MODEL OF THE TRACTION DRIVE OF DC

(1)

УДК 629.423.1.001.57

М. М. КЕДРЯ, И. В. ЧУМАК (ДИИТ)

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

ТЯГОВОГО ПРИВОДА ПОСТОЯННОГО ТОКА

НапідставівідомоїметодикипобудованаматематичнамодельтяговогоприводаелектровозаДЕ1. Наво

-дятьсярівняння, структурнасхемадвигунаякнелінійногооб’єктарегулювання, сталічасуланокструктури,

індуктивністьтаіншіхарактеристики.

На основе известной методики построена математическая модель тягового привода электровоза ДЭ1.

Приводятсяуравнения, структурнаясхема двигателякак нелинейногообъекта регулирования, постоянные временизвеньевструктуры, индуктивностьидругиехарактеристики.

A mathematical model of the traction drive of electric locomotive series DE1 has been built on the basis of a well-known methodology. The equations, the structural scheme of the motor as a non-linear regulation object, the time constants of structure units, the induction and other characteristics are provided.

Рассмотрим тяговый двигатель ЭД 141У1,

установленный на электровозе ДЭ1. Двигатель имеет последовательное возбуждение с ком

-пенсационной обмоткой и дополнительными полюсами. Представим двигатель в виде нели

-нейногообъекта [1] с двумявходнымииодной выходной координатой (рис. 1). Входными ко

-ординатами тягового двигателя являются на

-пряжение Uи степень регулирования возбуж

-дения β, авыходной – ток

i

.

ί

U

β

Рис. 1. Эквивалентнаяструктурнаясхема тяговогодвигателя

Примоделированиииспользуемзависимость U c

i

R

− υΦ

= , (1)

где R – активное сопротивление обмотокдви

-гателя; C – постоянный коэффициент; υ –

скоростьдвижения.

Уравнение (1) – неявнаяфункциятока i, так как магнитный поток Φ зависит от i и β.

Ее можно определить путем апроксимации за

-висимости cΦ

( )

i_B зависимостью

i c

A i B

β Φ =

β + , (2)

где А, В – коэффициенты, подбираемые по магнитной характеристике двигателя методом выравнивания в сочетании с методом наи

-меньших квадратов. Для двигателя ЭД 141У1 0,02036

A= об/В⋅мин; B=8,0554 об/Ом⋅мин, [3].

Подставивуравнение (2) в (1), получим

(

)

U i

i

R A i B R

β υ

= −

β + . (3)

Решив уравнение (3) относительно тока i при заданной скорости υ, получим статиче

-скуюхарактеристикудвигателя i U

(

,β

)

(

,

)

(

)

2

AU BR

i U

AR

β − υ −

β = +

β

(

)

2

4 2

BR UA ABR U

AR

⎡ + β υ − ⎤ + β

⎣ ⎦

+

β . (4)

При пусковом регулировании до необходи

-мой скорости V поддерживают β =1 и изме

-няют U. Далее принеобходимости увеличения скорости движения на заданном соединении тяговыхдвигателей, сохраняютпостоянным U иизменяют β [2].

Приисследованиипроцессоврегулирования надо учитывать нелинейность динамических характеристик, которые определяются зависи

-мостьюиндуктивностидвигателя от тока L i

( )

.

Линеаризованную модель тягового двигателя при стабилизации скорости регулятором на

-пряжения илитока возбуждения можно преоб

-разовать в систему с нелинейными зависимо

-стями. Для составления уравнений используем упрощенную схему замещения двигателя

(рис. 2) с эквивалентным контуром вихревых

(2)

Рис. 2. Схемазамещениятяговогодвигателя Зависимость тока якоря от напряжения

припереходныхпроцессахимеетвид [1]

( )

d i

iR U c

dt

ψ

+ = − Φυ, (5)

где ψ

( )

i =iL i

( )

– потокосцеплениевдвигателе;

B B ДП КО

R R= +R β +R +R .

Подставив в выражение (5) индуктивность

( )

L i , получим

( )

idL i

( )

di

L i iR U c

dt di

⎡ ⎤

+ + = − Φυ

⎢ ⎥

⎣ ⎦ , (6)

где

( )

_ДП

( )

_B

( )

_Я

( )

lim

x

L i L i L i L i

→∞

= + + – индук

-тивностьобмотокдвигателя.

Уравнение для контура вихревых токов имеетвид

( )

BL ₀

BX BX

d i

i R dt

ψ

− = , (7)

где R_BX – сопротивление контура вихревых то

-ков. ДлядвигателяЭД 141У1 R_BX =0,054 Ом [3];

BX

i – ток контура вихревых токов; i_BL – ток обмоткивозбуждения

i_BL =i_B−i_BX. (8)

Таккак ( )ψ =i iL i( ), тоуравнение (7) можно

преобразоватьквиду

( )

B

( )

B B BL 0

BL

BL BX BX

BL

dL i di

L i i i R

dt di

⎡ ⎤

+ − =

⎢ ⎥

⎣ ⎦ . (9)

Учитывая, что выражение в скобках пред

-ставляет собой эквивалентную индуктивность BЭ

L нелинейнойсхемызамещения:

( )

B

( )

BL

ВЭ BL B BL BL BL

dL i

L i L i i

di

= + , (10)

тосучетомвыражения (8) получим

( )

BL

ВЭ BL BL BX B BX

di

L i i R i R

dt + = .

Воператорнойформе записисучетом того,

что L_BL

( )

i_BL определяетброскитокавначальный моментпереходногопроцессапри L_ВЭ =const

(

L p RВЭ + BX

) ( )

iBL p =iB

( )

p RBX . (11) Передаточная функция, связывающая i_B c i_BL, имеетвид

( )

_{( )}

( )

1 1 BL B B B i p W p

i p T p

= =

+ , (12)

где _B ВЭ BX

L T

r

= – постояннаявремениконтура.

Приняв за L_ВЭ среднеезначение индуктив

-ностиизграфика L i

( )

(рис. 3), получим

3 8,5 10 0,2 0,054 B T − ⋅

= ≅ с.

Тогда

( )

1

0,2 1 B W p p = + .

Учитывая, что зависимости

F

(

i

)

и

F

(

υ

)

при больших отклонениях можно считать ли

-нейными, то:

( )

2

( ) ( )

K

F p =W p i p , (13)

( )

p W p F p3′

( ) ( )

W p W3′′

( ) ( )

B p ,

υ = − (14)

(3)

Рис. 3. Индуктивностьдвигателя Сучетомуравнения

B

i = βi (15)

получим следующую систему нелинейных уравнений:

( )

0 , , , , , , 1 . BL

B KO ДП B

BL

ВЭ BL BX B BX

B F д BL dL i di

L i i iR U c i

dt di

R R R R R

di

L i R i R

dt i i F i K i

nF i d

dt mg

c f i

⎧ ⎡ ⎤ ⎫

+ + = − Φ υ

⎪ ⎢ ⎥ ⎪

⎪ ⎣ ⎦ ⎪

⎪ ₌ ₊ ₊ ₊ _β ⎪

⎪ ⎪

+ =

⎪ ⎪

⎪ _{= β} ⎪

⎨ ⎬

⎪ ₌ ⎪

⎪ ⎪

⎪ _υ _ξ _⎡ _⎤ ⎪

⎪ ₌ _⎢ _{− ω − ω} _⎥ ⎪

⎪ _{+ γ ⎣} _⎦ ⎪

⎪ ⎪ Φ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ (16)

Физическийсмыслизначение ξ, γ, n, mg,

0

ω и ω_i приведеныв [1]. Воператорнойформе записиуравнения (16) можнозаписатьввиде:

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 3 8 9 2

3 3 8

, , , , , , H H B H BL Я ДП КО BL B

pi p W p W p i p

R p i p U p

W p p i p

R p R p R p

R p W p p

i p W p i p

F p W p i p

p W p F p W p W p

i p p i p

⎧ ⎡_⎣ + ⎤_⎦+ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪+ = − ⎪ ⎪ ⎪ − υ ⎪ ⎪ ⎪ ₌ ₊ ₊ ⎪ ⎪ ⎪

⎪₊ ₊ _β ⎪

⎨ ⎬

⎪ ₌ ⎪

⎪ ⎪

⎪ ₌ ⎪

⎪ ⎪

⎪υ = ′ − ′′ ⎪

⎪ ⎪

= β

⎪ ⎪

⎩ ⎭

(17)

где W_H₁

( )

p W, _H₂

( )

p W, _H₃

( )

p – нелинейные передаточные функции зависимостей L i

( )

,

( )

,

dL i

dt cФ

( )

iB ; W p8

( )

=K8 =RB =0,0269 (для

двигателяЭД 141У1).

Графикизависимостей L i

( )

, dL i

( )

,

dt cФ

( )

iB длядвигателяЭД 141У1 приведенынарис. 3–5.

Рис. 4. Производнаяотиндуктивности

Рис. 5. Магнитнаяхарактеристика

На основаниисистемы уравнений (17) мож

-нопостроитьструктурную схему тяговогодви

(4)

Рис

. 6.

Стр

уктур

ная

сх

ем

а

тяго

во

го

дв

(5)

В структурную схему введены сравниваю

-щие элементыСЭ1-5, блоки умножения БУ1-5

и элемент f−1, с помощью которого вычисля

-етсяфункция, обратнаявходной L idL dt

+ .

Таккак длительностьпереходногопроцесса при переходе с одной характеристики на дру

-гую превышает 0,5 с, то действием вихревых токов на процессы можно пренебречь, считая,

чтоW p₉

( )

=1.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙСПИСОК

1. Автоматизация электрического подвижного состава / Под ред. Д. Д. Захарченко. – М.:

Транспорт, 1978.

2. Безрученко В. М. Тягові електричні машини електрорухомого складу / В. М. Безрученко,

В. К. Варченко, В. В. Чумак. – Д.: Вид-во Дніпропетр. нац. ун-тузалізн. трансп., 2003. – 252 с. 3. Электродвигатель постоянного тока тяговый

типаЭД141У1, ЭД141АУ1: Руководствопоэкс

-плуатацииБИЛТ.652341.002РЭ, 1995.