A link to tensor-based processing

Figura 3.6: La distancia media L es una variable aleatoria. Valor medio y dis- persi´on de L en funci´on de la aleatoriedad p para N = 100, k = 3 y 10000 realizaciones.

3.3.

El grado de clustering C

Mientras que la distancia media L es una caracterizaci´on global de la red, el grado de clustering C es una magnitud que describe una propiedad local. ´Esta se encuentra inspirada en redes sociales y describe la estructura promedio del “vecindario” de cada v´ertice. En las redes sociales, en lo referente por ejemplo a las amistades, se da el caso que si el individuo A es amigo de los individuos B y D, entonces existe una probabilidad grande que por su lado B y D tambi´en cuenten con lazos de amistad que los unan (figura 3.9). La cantidad de relaciones triangulares de este tipo en una red son las que definen C. Una clase importante de propiedades emergentes de sistemas complejos particulares est´an fuertemente influenciadas por el grado de clustering C, por ejemplo aquellas que caracterizan robustez a influencias externas. En el cap´ıtulo 6 veremos que esta propiedad geom´etrica cumple un papel fundamental en la detecci´on y correcci´on de errores en procesos de propagaci´on de informaci´on a trav´es de canales ruidosos.

Se pueden encontrar en la literatura varias definiciones de grado de clus-

tering para redes no dirigidas [6]. En este trabajo utilizamos una basada en el

conteo de las relaciones triangulares. Antes de abocarnos a la explicaci´on de ella recordemos que las redes small world contempladas en este trabajo son dirigi- das. Es por eso que es necesario simetrizar la matriz de adyacencia M antes de aplicar esta definici´on.1

20 CAP´ITULO 3. PROPIEDADES GEOM ´ETRICAS DE LA RED

Figura 3.7: Distribuci´on de probabilidades P ( L(p) = j ) de la distancia media

L en funci´on de la aleatoriedad p para N = 100, k = 3 y 10000 realizaciones.

N´otese la influencia de p en la dispersi´on de la distribuci´on. (Continua en la figura 3.8)

3.3. EL GRADO DE CLUSTERING C 21

Figura 3.8: Distribuci´on de probabilidades P ( L(p) = j ) de la distancia media

L en funci´on de la aleatoriedad p para N = 100, k = 3 y 10000 realizaciones.

N´otese la influencia de p en la dispersi´on de la distribuci´on. (Viene de la figura 3.7)

22 CAP´ITULO 3. PROPIEDADES GEOM ´ETRICAS DE LA RED

A

B D

Figura 3.9: Si el individuo A es amigo de los individuos B y D, entonces existe una probabilidad grande que por su lado B y D tambi´en sean amigos.

Calculemos el grado de clustering Ci del nodo i. Para esto definimos el

conjunto de v´ertices V (i) = {v1, v2, . . . , vj} que contiene los j vecinos del no-

do i. Asimismo precisamos la magnitud KV(i) como el n´umero de conexiones

presentes entre los nodos vecinos de i. Este n´umero representa el n´umero de tri´angulos que conectan el nodo i con dos de sus vecinos (figura 3.10). El n´umero m´aximo de posibles tri´angulos de este tipo es el combinatorio

µ

j

2 ¶

= j(j−1)₂ . Si relacionamos esto con el n´umero de tri´angulos presentes llegamos finalmente al grado de clustering Ci del nodo i:

Ci = 2 KV(i)

j(j − 1) (3.11)

El grado de clustering C de la red es el valor medio de los Cipromediados sobre

los N nodos: C = 1 N N X i=1 Ci, C ∈ [0, 1]. (3.12)

Los resultados num´ericos del c´alculo del grado de clustering C se presentan en las figuras 3.11 y 3.12. Las redes ordenadas (p = 0) son altamente clusteri-

zadas, mientras que las redes aleatorias p = 1) no lo son.

Como vimos en la secci´on 3.2 las redes small world dirigidas, despu´es que sus respectivas matrices de adyacencia M han sido simetrizadas, coinciden con las redes small world propuestas por Watts y Strogatz [14]. Se puede demostrar que el grado de clustering C de las redes ordenadas, es decir para p = 0, es constante:

Cordenada(p = 0) ∝

3

4. (3.13)

small world dirigidas, el grado de clustering C basado en el conteo de las relaciones triangulares

3.3. EL GRADO DE CLUSTERING C 23

i

V1

V2

V3

Vj

V4

...

Figura 3.10: El grado de clustering C se basa en el conteo de las relaciones triangulares.

Figura 3.11: El valor medio del grado de clustering C en funci´on de la aleato- riedad de la red p para distintos valores de la conectividad k (N = 100, 5000 realizaciones).

24 CAP´ITULO 3. PROPIEDADES GEOM ´ETRICAS DE LA RED

Figura 3.12: El valor medio del grado de clustering relativo C(p)_C(0) en funci´on de la aleatoriedad de la red p para distintos valores de la conectividad k (N = 100, 5000 realizaciones).

Para las redes aleatorias, es decir para p = 1, la dependencia funcional de C con

N y k es:

Caleatoria(p = 1) ∝ 2k

ln N. (3.14)

Ambas expresiones 3.13 y 3.14 son v´alidas en el r´egimen

N À k À ln N À 1. (3.15) descrito en la secci´on 3.2.

Cap´ıtulo 4

Clasificaci´on de las redes

En esta secci´on nos proponemos clasificar las redes que resultan del algo- ritmo de construcci´on descrito en el cap´ıtulo 2 en funci´on de los par´ametros geom´etricos distancia media L y grado de clustering C.

4.1.

La red totalmente conectada

Veamos el caso l´ımite de una red totalmente conectada (figura 4.1), es de- cir una red donde la totalidad de las posibles conexiones entre los N nodos se encuentran presentes (“todos conectados con todos”). Esta red se describe mediante la siguiente expresi´on:

ktc=N

2, (N par). (4.1)

Es evidente que en este caso la aleatoriedad de la red p no tiene ning´un efecto en el algoritmo de construcci´on. Si nos imaginamos que la presencia de una conexi´on entre nodos requiere de cierta energ´ıa o costo, entonces concluimos que las redes totalmente conectadas son en ese sentido del todo derrochadoras. El n´umero total de conexiones en estas redes crece como el cuadrado del n´umero de nodos N . Es por eso que esta topolog´ıa es poco frecuente en sistemas naturales y artificiales. A pesar de estos argumentos, las redes totalmente conectadas son de utilidad como medio de validaci´on del correcto funcionamiento de los algoritmos computacionales implementados en este trabajo debido al tratamiento anal´ıtico sencillo que permiten. Asimismo veremos que juegan un papel fundamental en la descripci´on fenomenol´ogica de los procesos de propagaci´on de informaci´on que ser´an estudiados en el cap´ıtulo 5. Las redes totalmente conectadas tienen la distancia media m´ınima posible Ltc= 1 y el grado de clustering m´aximo posible

Ctc= 1.