7.3 In-band interference detection
7.3.2 Cooperative interference detection from sub-Nyquist samples
El proceso de desorden, descrito por el par´ametro p, introduce atajos en la red ordenada inicial. Estos atajos reducen la distancia media L de la red tal como se vi´o en la secci´on 3.2. De esto se puede deducir que los procesos de propagaci´on de informaci´on deber´ıan culminar en un tiempo menor cuando ocurren en escenarios de interacci´on con topolog´ıas correspondientes a redes aleatorias. Invitamos al lector a observar las figuras 5.10 y 5.11, en las cuales se muestran los resultados num´ericos de las simulaciones. Las curvas de I(t) para distintos valores de k ¿ N y para valores de la aleatoriedad p > psmallworld
muestran cualitativamente evoluciones temporales de tipo “log´ıstico”. Esto nos conduce a una descripci´on fenomenol´ogica de este r´egimen mediante la siguiente ecuaci´on, derivada de las propiedades din´amicas de la red totalmente conectada:
Iτ(t) =
N Iτ(0) exp (τt)
Iτ(0) exp (τt) + N − Iτ(0)
. (5.23)
El par´ametro τ es un tiempo caracter´ıstico que describe satisfactoriamente la evoluci´on temporal del proceso de propagaci´on de informaci´on en redes aleato- rias. Para demostrar esto realizamos el fiteo de las curvas resultantes de las simulaciones num´ericas utilizando la ecuaci´on 5.23 y calculamos el tiempo ca- racter´ıstico τ que mejor las describa. La calidad de este fiteo fue medida con el indicador Rsquare. 1 Los resultados se presentan en la figura 5.13. Para
τ = 1 se recupera el caso de la red totalmente conectada. Todos los valores
de Rsquare ≈ 0,99. Esta descripci´on fenomenol´ogica va perdiendo calidad con-
forme p va disminuyendo en direcci´on de psmallworld (ver figura 5.12).
1Si definimos y como el vector de datos con n componentes y ˆy como el vector resultante
del proceso de fiteo, entonces el indicador Rsquare queda precisado a trav´es de las siguientes
cantidades: SSE = n X i=1 (yi− ˆyi)2 (5.24) SST = n X i=1 (yi− ¯y)2 (5.25) Rsquare= 1 −SSE SST (5.26)
5.4. LA RED ALEATORIA 41
Figura 5.10: La evoluci´on temporal del n´umero de nodos informados I(t) para distintos valores de la conectividad k y p = 1 (N = 1000, 1000 realizaciones).
Figura 5.11: La evoluci´on temporal del n´umero de nodos informados I(t) para distintos valores de p > psmallworldy k = 5 (N = 1000, 1000 realizaciones).
42 CAP´ITULO 5. PROPIEDADES DIN ´AMICAS
Figura 5.12: La calidad de la descripci´on fenomenologica va disminuyendo con- forme p decrece en direcci´on de psmallworld.
Figura 5.13: El tiempo caracter´ıstico τ (p) en funci´on de la aleatoriedad p para distintos valores de la conectividad k (N = 1000, 1000 realizaciones).
5.5. LA RED SMALL WORLD DIRIGIDA 43
Figura 5.14: La red small world dirigida no permite ser descripta fenomenol´ogi- camente por la ecuaci´on 5.23.
5.5.
La red small world dirigida
Las propiedades din´amicas de la red small world dirigida no permiten ser descriptas por la ecuaci´on 5.23. Invitamos al lector a observar la figura 5.14 en la cual se compara un caso particular de una red de este tipo con el correspon- diente fiteo mediante la ecuaci´on 5.23. La red small world dirigida es m´as veloz al inicio de la evoluci´on temporal, pero es alcanzada por la correspondiente red aleatoria. Las dos redes concluyen el proceso de propagaci´on aproximadamente al mismo tiempo. Esta evidencia permite utilizar el tiempo caracter´ıstico τ co- mo un indicador global acerca de la velocidad de propagaci´on en redes small
world dirigidas. Esto quiere decir que τ no describe detalladamente la evoluci´on
temporal del n´umero de nodos informados I(t) pero s´ı es un indicador adecuado para caracterizar la velocidad “promedio” del proceso. Dicho esto nos permiti- mos extender el gr´afico de la figura 5.13 hasta valores de p en el coraz´on del intervalo small world (ver figura 5.15).
44 CAP´ITULO 5. PROPIEDADES DIN ´AMICAS
Figura 5.15: El tiempo caracter´ıstico τ (p) en funci´on de la aleatoriedad p para distintos valores de la conectividad k (N = 1000, 1000 realizaciones).
Cap´ıtulo 6
Mecanismos de detecci´on y
correcci´on de errores
Por lo general los canales de transmisi´on de informaci´on no son perfectos. Podemos pensar en el ruido electromagn´etico siempre presente en canales de transmisi´on de sistemas artificiales de comunicaci´on como, por ejemplo, la red telef´onica, as´ı como en la mala interpretaci´on de una de las partes en una conversaci´on verbal, ocasionada por una manera incorrecta de expresarse del correspondiente interlocutor. Estos son s´olo dos ejemplos dentro de una amplia gama de situaciones, en las cuales se comprueba que los canales de transmisi´on est´an sujetos a ruido. En este cap´ıtulo nos proponemos estudiar la influencia de canales ruidosos en la fracci´on de nodos err´oneamente informados, as´ı como en un mecanismo no supervisado de detecci´on y correcci´on de errores basado en un esquema que aprovecha el grado de clustering C de las redes estudiadas en este trabajo.
6.1.
Canales ruidosos
Para poder estudiar la influencia que tiene el ruido en el proceso de propa- gaci´on de informaci´on se implement´o un modelo sencillo basado en una proba- bilidad pE, la cual definimos como la probabilidad de que un nodo transmita de
manera err´onea. Para esto es necesario ampliar el espacio de estados posibles de los agentes interactuantes. Los estados posibles son tres: no informado, infor-
mado correctamente e informado incorrectamente. La din´amica de interacci´on,
que modela la propagaci´on de informaci´on es la misma explicada en la secci´on 2.2 con la excepci´on de que con probabilidad pE el nodo receptor de informa-
ci´on es informado de manera incorrecta. A su vez, este nodo mal informado, se convierte en una fuente de “desinformaci´on”. Es decir que el nodo en cuesti´on no es consciente de que se encuentra mal informado e intenta transmitir la in- formaci´on incorrecta que posee a sus nodos vecinos. Una vez que todos los N nodos fueron informados, correcta o incorrectamente, al menos una vez, el pro- ceso concluye. Nos interesa la fracci´on i− de nodos desinformados al culminar
46CAP´ITULO 6. MECANISMOS DE DETECCI ´ON Y CORRECCI ´ON DE ERRORES
Figura 6.1: La fracci´on de nodos desinformados i−en funci´on de la probabilidad
de informar err´oneamente pE para distintos valores de la aleatoriedad de la red
p, (N = 1000, k = 5, 2500 realizaciones).
la propagaci´on de informaci´on. En las figuras 6.1 y 6.2 se presentan algunos resultados num´ericos. Es evidente que cuando pE = 1 la mitad de los nodos se
encuentran desinformados. La topolog´ıa de la red no tiene influencia sobre este hecho, es decir:
i−(pE= 1) = 1
2 , ∀ N, k, p. (6.1) Dado un valor fijo de la conectividad k, tanto la fracci´on de nodos desinformados
i− como el grado de clustering C decrecen a medida que la red se desordena.
Las evidencias num´ericas demuestran que las redes con un elevado C son menos robustas contra ruido en los canales de transmisi´on. Esta desventaja se conver- tir´a en una ventaja cuando se introduzcan mecanismos de detecci´on y correcci´on de errores en la pr´oxima secci´on.
En las figuras 6.3 y 6.4 se aprecia la influencia de la conectividad de la red
k sobre la fracci´on de nodos desinformados i− para un valor fijo de pE y para
distintos valores de p. La red es m´as robusta a la difusi´on de errores a medida que el desorden p y la conectividad k aumentan.
6.1. CANALES RUIDOSOS 47
Figura 6.2: La fracci´on de nodos desinformados i− en funci´on de la probabilidad
de informar err´oneamente pE para distintos valores de la aleatoriedad de la red
p, (N = 1000, k = 10, 1000 realizaciones).
Figura 6.3: La fracci´on de nodos desinformados i−en funci´on de la conectividad
k para distintos valores de p y para una probabilidad de error fija pE = 10−2
48CAP´ITULO 6. MECANISMOS DE DETECCI ´ON Y CORRECCI ´ON DE ERRORES
Figura 6.4: La fracci´on de nodos desinformados i−en funci´on de la conectividad
k para distintos valores de p y para una probabilidad de error fija pE = 10−3
(N = 1000, 7000 realizaciones).
6.2.
Detecci´on y correcci´on de errores
Dado que la presencia de ruido en los canales de transmisi´on es una propiedad inherente a todo proceso de propagaci´on de informaci´on, tanto los sistemas ar- tificiales como los que han evolucionado de manera natural cuentan con mecan- ismos que les permiten detectar y corregir errores. Por lo tanto un estudio de difusi´on de informaci´on, como el presente trabajo, tiene necesariamente que abo- carse al an´alisis de la influencia que poseen estos procesos en la divulgaci´on de errores. Este mecanismo particular se basa en una interacci´on adicional senci- lla, la cual describimos a continuaci´on: cada agente, antes de informar, consulta el estado actual de sus 2k vecinos entrantes. 1 Estas consultas se realizan a
trav´es de canales libres de ruido. El nodo en cuesti´on, a trav´es del criterio de la mayor´ıa, corrige su estado. Este proceso se realiza con una probabilidad pC
antes de cada intento de informar. El uso de estos canales libres de ruido lo debemos asociar con un costo o una energ´ıa elevada. De no ser as´ı, el sistema podr´ıa utilizar siempre estos canales perfectos y no habr´ıa lugar a propagaci´on de errores. Por lo tanto un valor realista de la probabilidad pC deber´ıa ser un
valor peque˜no. Nos interesa la influencia de la probabilidad pC sobre la frac-
ci´on de nodos desinformados i−. Los resultados de las simulaciones se presentan
en las figuras 6.5 y 6.6. La introducci´on de este mecanismo favorece levemente a las redes con mayor grado de clustering. Esto se puede observar, al margen
1Recordemos que el algoritmo de desorden implica que el n´umero de entradas de cada nodo
6.2. DETECCI ´ON Y CORRECCI ´ON DE ERRORES 49
Figura 6.5: La fracci´on de nodos desinformados i− en funci´on de la probabilidad
de correcci´on pCpara un valor fijo de pE= 10−2, un valor fijo de la conectividad
k = 5 para distintos valores de la aleatoriedad de la red p (N = 1000, 5000
realizaciones).
de las fluctuaciones estad´ısticas, cuando se grafica la fracci´on relativa de nodos desinformadosi−(pC)
i−(0) en funci´on de la probabilidad de correcci´on pC(ver figuras
6.8 y 6.7). Las redes con mayor grado de clustering C consiguen reducir m´as la propagaci´on de errores. Asimismo una red menos desordenada puede reducir estos errores m´as que una red desordenada cuando los agentes tienen la posi- bilidad de corregirlos. Esta cualidad constituye un ejemplo de una propiedad emergente: la red adquiere mayor robustez contra el ruido de los canales de transmisi´on, propiedad a la cual no puede aspirar un agente interactuante aisla- do. Una vez m´as se comprueba que estos atributos macrosc´opicos son atribuibles a las interacciones microsc´opicas y que dependen fuertemente del escenario de interacci´on representado por la topolog´ıa de la red compleja.
50CAP´ITULO 6. MECANISMOS DE DETECCI ´ON Y CORRECCI ´ON DE ERRORES
Figura 6.6: La fracci´on de nodos desinformados i−en funci´on de la probabilidad
de correcci´on pCpara un valor fijo de pE= 10−3, un valor fijo de la conectividad
k = 5 para distintos valores de la aleatoriedad de la red p (N = 1000, 10000
realizaciones).
Figura 6.7: La fracci´on relativa de nodos desinformados i−(pC)
i−(0) en funci´on de
la probabilidad de correcci´on pC para un valor fijo de pE = 10−2, un valor fijo
de la conectividad k = 5 para distintos valores de la aleatoriedad de la red p (N = 1000, 5000 realizaciones).
6.2. DETECCI ´ON Y CORRECCI ´ON DE ERRORES 51
Figura 6.8: La fracci´on relativa de nodos desinformados i−(pC)
i−(0) en funci´on de
la probabilidad de correcci´on pC para un valor fijo de pE= 10−3, un valor fijo
de la conectividad k = 5 para distintos valores de la aleatoriedad de la red p (N = 1000, 10000 realizaciones).
Cap´ıtulo 7
Conclusiones
Pocas palabras son necesarias para dar por concluido este estudio acerca de los procesos de propagaci´on de informaci´on en redes complejas. Sin embargo, ser´a ´util volver atr´as sobre el camino recorrido para obtener una vista panor´ami- ca de los resultados obtenidos.
Los sistemas complejos son sistemas compuestos por una gran cantidad de agentes interactuantes. Las interacciones microsc´opicas dan lugar a propiedades colectivas emergentes, propiedades que no poseen los elementos constituyentes sino que s´olo pueden ser atribuidas al sistema en su totalidad. Estos sistemas permiten ser modelados mediante un escenario y una din´amica de interacci´on. Este escenario es representado por un grafo, cuya topolog´ıa modela la geometr´ıa de las relaciones entre agentes.
Mediante un algoritmo particular de construcci´on de redes dirigidas que nos permiti´o interpolar, a trav´es de un par´ametro p, entre redes ordenadas y redes aleatorias, definimos una clase de redes complejas. El estudio de sus propiedades geom´etricas nos llev´o a una clasificaci´on, que di´o como resultado cuatro tipos:
red ordenada, red aleatoria, red totalmente conectada y red small world dirigida.
Las propiedades geom´etricas se midieron a trav´es de tres cantidades elegidas cuidadosamente: el n´umero de salidas ZS, la distancia media L y el grado de
clustering C.
Una vez precisado el escenario nos abocamos a definir una din´amica mi- crosc´opica de interacci´on sencilla con la cual modelamos el proceso de propa- gaci´on de informaci´on. En ese contexto nos interesamos en la evoluci´on temporal del n´umero de nodos informados I(t), la cual fue estudiada en el marco de la clasificaci´on obtenida del an´alisis de las propiedades geom´etricas de las redes. Las evidencias num´ericas mostraron que las propiedades din´amicas son fuerte- mente influenciadas por la topolog´ıa de las redes subyacentes. La red totalmente conectada, derrochadora en lo referente al n´umero de conexiones presentes en- tre sus nodos, nos permiti´o validar nuestros algoritmos computacionales, ya que es la ´unica que concede un tratamiento anal´ıtico cerrado. Asimismo este tipo de red nos permiti´o una clasificaci´on fenomenol´ogica de las redes aleatorias y
small world dirigidas a trav´es del tiempo caracter´ıstico τ , magnitud que per-
54 CAP´ITULO 7. CONCLUSIONES
mite caracterizar la velocidad de estos dos tipos de redes. La red ordenada mostr´o dos reg´ımenes din´amicos: uno esencialmente lineal para k ¿ N y otro de tipo “log´ıstico” cuando k ≈ O[N ]. El r´egimen lineal fue descripto por una ecuaci´on integro diferencial que nos permiti´o modelar el proceso de propagaci´on como dos ondas “informativas” desplaz´andose a trav´es de la red en direcciones opuestas y con una velocidad constante vf proporcional a la conectividad de la
red k.
La presencia de ruido en toda transmisi´on de informaci´on motiv´o el estudio de un mecanismo no supervisado de detecci´on y correcci´on de errores basado en la estructura de clusters de las redes. Para esto se introdujo ruido en la transmisi´on a trav´es de la probabilidad pE, as´ı como un proceso de detecci´on y
correcci´on gobernado por la probabilidad pC. La probabilidad pE es la proba-
bilidad que el nodo receptor reciba de manera incorrecta la informaci´on y la probabilidad pC es la probabilidad que los nodos detecten y corrijan, a trav´es
de una interacci´on particular a primeros vecinos entrantes, sus estados antes de informar. La fracci´on de nodos desinformados i− fue la cantidad central estu-
diada en ese contexto. Las simulaciones num´ericas demostraron que las redes con alto grado de clustering se encuentran en desventaja cuando se introduce ruido en los canales de tranmision, pero que son m´as eficientes en detectar y corregir errores.
Despu´es de este resumen y antes de finalizar, quisi´eramos mencionar algunos aspectos y problemas dignos de ser estudiados con mayor tiempo y nivel de detalle.
El algoritmo utilizado para medir la distancia media L es muy elegante, pero al mismo tiempo muy costoso desde el punto de vista computacional. El car´acter probabil´ıstico de esta magnitud hace necesario su medici´on en un n´umero grande de realizaciones, es por eso que es importante implementar un algoritmo m´as eficiente que permita en un tiempo razonable llevar a cabo m´as experimentos num´ericos. Implementado esto se podr´ıa estudiar m´as detalladamente la dis- tribuci´on de probabilidades de L que mostr´o distribuciones con comportamien- tos no triviales. Este estudio deber´ıa realizarse para redes con un mayor n´umero de nodos N . Algoritmos que podr´ıan ayudar en ese sentido se encuentran en la referencia [10].
Antes de calcular tanto la distancia media L como el grado de clustering C de las redes, las correspondientes matrices de adyacencia M fueron simetrizadas. Es decir que no fueron contempladas las direcciones de las redes dirigidas. Ser´ıa de inter´es definir nuevas magnitudes que permitan caracterizar estas cantidades para redes dirigidas “puras”. Por ejemplo, en el caso del grado de clustering, po- dr´ıan contarse las relaciones triangulares contemplando el sentido de giro de los tri´angulos correspondientes.1. O en el caso de la distancia media L, se podr´ıan
encontrar condiciones anal´ıticas que cumplan los par´ametros de construcci´on N ,
k y p, de tal manera que la distancia media “dirigida” no diverja. Relacionado
con este ´ultimo punto existen conceptos interesantes, aplicados en ingenier´ıa hidr´aulica, que describen los posibles “flujos” en redes que transportan l´ıquidos. Si es posible encontrar un flujo que conecte el nodo j con el nodo i, entonces la
1“Si el nodo A puede informar al nodo B y al nodo C, entonces el nodo B puede informar
55
distancia media “dirigida” entre estos dos v´ertices no podr´ıa tender a infinito. De esta manera podr´ıa definirse un algoritmo de construcci´on de redes small
world dirigidas que garantice la conexi´on dirigida de todos sus v´ertices.
Las topolog´ıas de las redes complejas no son est´aticas. Pensemos en las redes neuronales, cuya topolog´ıa evoluciona a lo largo del tiempo. En este trabajo su- pusimos que las velocidades que caracterizan los procesos de propagaci´on de in- formaci´on eran ´ordenes de magnitud mayores que las velocidades que caracteri- zan la evoluci´on temporal de los cambios topol´ogicos en las redes subyacentes. Esta condici´on podr´ıa relajarse, permitiendo cambios topol´ogicos que ocurran de manera simult´anea al proceso de propagaci´on de informaci´on y estudiar su influencia tanto en el n´umero de nodos informados I(t) como en la fracci´on de nodos desinformados i−.
Queda pendiente la caracterizaci´on anal´ıtica de las propiedades din´amicas del proceso de propagaci´on para todo el espacio de los par´ametros constructivos
N , k y p. Conocida la distribuci´on de probabilidades del n´umero de salidas ZS
podr´ıa encararse este problema, tal vez utilizando las matrices de transici´on en el marco de la teor´ıa de las cadenas de Markov, con el fin de encontrar una ecuaci´on diferencial maestra. Esto elevar´ıa el entendimiento de la din´amica de propagaci´on en redes small world dirigidas.
Bibliograf´ıa
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