Como es sabido, los primeros criterios utilizados para determinar la armadura necesaria en piezas sometidas a flexión simple partían de hipótesis erróneas, a veces a sabiendas, que llegaban a violar los principios del equilibrio. Tal era el caso del planteamiento de Könen [101, 2011], que suponía, para secciones rectangulares, que la fibra neutra se situaba a la mitad del canto de la pieza, idea que provendría inicialmente de la costumbre adquirida con las estructuras metálicas y los planteamientos con materiales isótropos e iso-resistentes de la Resistencia de Materiales clásica. Como se pone de manifiesto en la tesis de Eduardo Díaz-Pavón (Investigación sobre las causas que pudieron originar el hundimiento de la cubierta del tercer depósito del Canal de Isabel II en 1905, ETSICCP-UPM, 2015)[210, 2015], hay que decir que los errores cometidos al plantear esa hipótesis, que se veía acompañada de otras parecidas en secciones T al situar la fibra neutra en una cierta fracción del canto, no son grandes, lo que explicaría, aunque no se ha tenido constancia documental de ello, que se abordó algo parecido a un estudio de sensibilidad para demostrar lo razonablemente válido de esas hipótesis. El mismo Ribera, en su sistema, que sigue al de Hennebique, incurre en errores parecidos al suponer que el momento solicitante es resistido, arbitrariamente, por el hormigón comprimido en un 50% y por la armadura en la otra mitad; la primera hipótesis servía, al tomar momentos del bloque triangular comprimido respecto de la fibra neutra e igualarlo a la mitad del momento solicitante, para deducir la profundidad de la fibra neutra, mientras que la otra mitad del momento, con la fibra neutra ya conocida, servía para igualarla a la aportación de la armadura. Si había armadura comprimida, se incluía en la deducción de la fibra neutra.
La ausencia de modos de cálculo manual suficientemente rápidos dio lugar a la proliferación de tablas o gráficos adimensionales de armado que permitían al proyectista elegir la configuración de armado que diera lugar a un momento resistente mayor o igual que el solicitante.
Como se mencionaba en los apartados anteriores, uno de los primeros trabajos en recoger la teoría del hormigón estructural fue la publicación de Mörsch de 1902. Los conceptos relativos a flexión simple incluidos en esta publicación, están basados en las teorías de Hanisch & Spitzer y de Von Bach [103, 2012].
El dimensionamiento era un proceso que comportaba, como ahora, la elección a priori de unas dimensiones adecuadas de las piezas. En ese sentido, relativamente pronto surgieron criterios, como los que hizo explícitos Zafra [24, 1914], que entendían que tales criterios debían basarse en la optimización del trabajo de los materiales, aun sabiendo que eso no representaba necesariamente el coste mínimo, puesto que hay más componentes, y que la racionalización de las dimensiones y las armaduras no hace posible, obviamente, satisfacer ese criterio.
6.34
La determinación geométrica de las secciones a flexión simple se basaba en el “Momento crítico”, concepto que permitía, como se ha dicho, el máximo aprovechamiento de los materiales, alcanzando las tensiones admisibles del acero y del hormigón de forma simultánea. Se entiende por momento crítico aquel que provoca que se alcance la tensión admisible del acero sometido a tracción y del hormigón sometido a compresión al mismo tiempo.
Figura 6.5.1. Representación del estado de tensiones y deformaciones para el estado crítico.
Como el momento crítico es una propiedad de la sección, la elección del canto se obtenía, para un ancho determinado, al igualar el momento solicitante al crítico, en la idea, acertada en principio, de que lo mejor era no contar con armadura comprimida.
Como aportación al conocimiento, se han comparado las cuantías de armadura que resultarían de calcular una misma sección según la teoría clásica y según la Instrucción actual a partir del momento límite:
Figura 6.5.2. Diagrama momento nominal adimensional – cuantía mecánica
Las líneas en negro representan las cuantías de armado a tracción (línea continua) y a compresión (línea discontinua) según criterios de la teoría clásica. La suma de ambas cuantías se ha representado con la línea continua gruesa de color negro. Las líneas en gris representan las cuantías de armado a tracción (línea continua) y a compresión (línea discontinua) según la instrucción EHE. La suma de las cuantías de tracción y compresión se ha representado con la línea gris gruesa.
6.35
El momento crítico de la sección corresponde al punto desde donde arranca el armado a compresión en abscisas.
En el gráfico se observa, que para el mismo momento, las cuantías obtenidas según la EHE son superiores a las obtenidas según la teoría clásica. Esto es motivado porque los esfuerzos solicitantes se mayoran según la EHE y no según la teoría clásica para los mismos materiales. Si se compararan las cuantías con los mismos esfuerzos solicitantes, el gráfico resultante es el siguiente:
Figura 6.5.3. Diagrama momento nominal adimensional – cuantía mecánica
En el gráfico se observa que las cuantías de tracción resultantes de la EHE y de la teoría clásica son bastante similares. Sin embargo, las cuantías de compresión resultantes son mayores en la teoría clásica que en la EHE. Esto provoca que la cuantía de armado total en le teoría clásica sea mayor que la cuantía de armado total de la EHE, salvo para la zona comprendida entre el momento nulo y el momento crítico de la sección donde son prácticamente iguales. Por tanto, aunque el reparto del armado fuera diferente al que se hace hoy, la suma de la cuantía total es coincidente.
Las publicaciones posteriores mantienen la misma línea de dimensionamiento de las secciones, como es el caso de las publicaciones de Mörsch [16, 1902], Zafra [24, 1914] y de Peña Boeuf de 1933 [20, 1933] y de 1940 [23, 1940]. La publicación de Saliger de 1940 [172,1940] incluye una serie de ensayos a flexión simple. Los principales ensayos junto con sus resultados se han incluido en el Anejo de esta tesis.
En la publicación de 1943 [39, 1943] de Saliger, se hace mención al incremento de la tensión admisible de una sección de hormigón armado sometido a flexión a medida que se incrementan las cuantías de armadura , según la tabla 6.6.
Tabla 6.6. Resistencia de una sección rectangular de hormigón según las cuantías de acero [39, 1943]
(%) 0 ¼ 1/2 3/4 1 1 ¼ 1 ½
(kg/cm2) 30 40 75 110 145 175 205 Se consideran cuantías muy débiles cuando μ<1/5% y muy fuertes cuando μ>2%.
6.36
En la Instrucción de 1961 [35, 1961] y en las primeras Recomendaciones del CEB, se habla del momento tope al igual que en las Instrucciones posteriores hasta la década de los noventa y las secciones se calculan en agotamiento.
El cálculo en agotamiento se lleva a cabo según las siguientes hipótesis:
a) Las deformaciones de las distintas fibras de una sección se mantienen siempre proporcionales a la distancia de tales fibras al eje neutro.
b) Una vez establecido un diagrama apropiado tensión-deformación del hormigón, obtenido de forma experimental, puede deducirse la distribución y valor de las tensiones y fuerzas interiores que corresponden al agotamiento de una sección, sin más que definir el valor de la deformación de agotamiento del hormigón.
c) Tanto el armado de tracción como de compresión, la tensión del acero y la fuerza correspondiente pueden deducirse del diagrama tensión-deformación del acero utilizado. d) No se considera la resistencia a tracción del hormigón.
Entrando en el método simplificado del momento tope, se entiende como tal el momento producido con respecto a la armadura de tracción, por una tensión de compresión igual a 0,7fcd
aplicada uniformemente a toda la sección útil.
Es decir, Mtope= Nb’z, en sección rectangular: 0,35 2
2 7 , 0 f bhh f bh Mtope cd cd Donde:
fcd: Resistencia de cálculo del hormigón en compresión. b: Ancho de la sección.
h: Canto útil de la sección.
El método del momento tope, que gozó de gran popularidad en España se basa, realmente y de manera implícita, en un momento prácticamente igual al “límite” introducido en la Instrucción EHE de 1998. La ventaja de esta segunda es que el fenómeno físico que se quiere eludir, el de la poca ductilidad y las secciones antieconómicas que se obtendrían si se dimensionara sólo con armadura traccionada para momentos mayores a esa “frontera”, queda explícito, mientras era opaco en el momento tope. El coeficiente 0,35 del momento tope es 0,375 en el caso de la Instrucción EHE, apenas un 7% menor, del lado de la seguridad, en el momento tope que en el de la EHE.
Figura 6.5.4. Representación del momento tope en una sección cualquiera [77, 1968] La deformación de agotamiento del hormigón en compresión es de 0,0035.
6.37
El diagrama de reparto de tensiones en la zona de hormigón comprimido se asimila a un rectángulo de base igual a la resistencia de cálculo del hormigón σb’*, y cuya altura y, vale:
Cuando xh, y0,75x Cuando x≥h, h h x h x y · 3 2 4 3 Donde:
x: Profundidad de la fibra neutra de deformaciones. h: Canto útil de la sección.
Si el rectángulo de compresiones del hormigón, definido antes, proporcionase un momento respecto a la armadura de tracción superior al momento tope, se considerará que la base del rectángulo no es σb’*, sino otra menor, de valor tal que dicho momento respecto a la armadura de
tracción resulte igual al momento tope.
Figura 6.5.5. Representación del bloque de compresiones del hormigón [77,1968]
Se admite que, si la distancia d’ del centro de gravedad de la armadura de compresión a la fibra extrema más comprimida no es superior al 20% del canto útil, la tensión de dicha armadura al llegar al agotamiento, es igual en todos los casos a la resistencia de cálculo del acero. Para la resistencia del acero no deben adoptarse valores por encima de 400 MPa. Si la distancia d’ resulta mayor que el valor indicado, se determinará la tensión de la armadura por la ecuación de compatibilidad de deformaciones.
6.38
El cálculo a flexión simple con el momento tope, se mantuvo hasta la Instrucción española EH-91, inclusive.
6.5.1 Análisis de secciones rectangulares sometidas a flexión simple
Se plantean cinco casos posibles de momentos solicitantes: Caso I: Momento solicitante = momento de fisuración.
Caso II: Momento solicitante mayor que el momento de fisuración y menor que el momento crítico.
Caso III: Momento solicitante = Momento crítico.
Caso IV: Momento solicitante mayor que el momento crítico con armadura de compresión igual a cero.
Caso V: Momento solicitante mayor que el momento crítico con armadura de compresión distinta de cero.
Lo que se busca es determinar el recorrido potencial que tenían las estructuras hasta llegar a los estados que se aceptan hoy como ELU.