Aunque la creencia extendida de que la no linealidad del hormigón es un concepto que no se modelizó hasta mediados del siglo XX, la bibliografía muestra que no es así: Ya en 1899, Ritter planteó una ecuación no lineal deducida de numerosos ensayos que se llevaban a efecto con notable exactitud. Destacan, escritas con la notación de hoy, las expresiones de Ritter
) e - ·(1 f =
σ c -1000 εc , y de Von Bach (1895) [113, 2007] ca·cmen la que a y m son parámetros que dependen de las propiedades del hormigón considerado, función fundamentalmente, en aquella época, de las dosificaciones y del tipo de árido. Mörsch, personaje riguroso e influyente, utilizó esa misma ecuación, deduciendo sus propios valores de a y m. Esta última expresión se denomina “Ley de Hooke Modificada”.
Se muestran en la figura 3.1.4 los diagramas tensión-deformación planteados por Ritter y Mörsch en comparación con el que resultaría según la Instrucción actual para un hormigón fc = 18 MPa. El
diagrama de la Instrucción actual corresponde al diagrama hiperbólico propuesto en 1970 por Sargin, que fue recogido en las sucesivas Instrucciones españolas, incluida la vigente EHE, además del EC2 y el MC-2010, siguiendo la estela del MC-90 y del MC-78.
0 5 10 15 20 0.0000 0.0004 0.0008 0.0012 0.0016 0.0020 0.0024 0.0028 0.0032 0.0036 0.0040 Deformación Te n sió n ( M P a) EHE (2008) RITTER (1899) MÖRSCH (1902)
Detalle en la figura siguiente
Figura 3.1.4. Diagramas tensión – deformación según Ritter, Mörsch y EHE–08 para hormigón fc = 18 MPa.
Eran perfectamente conscientes de que el diagrama tensión-deformación del hormigón era no lineal, y también de que no podían controlar el comportamiento estructural del hormigón una vez
superada la fase elástica, porque no disponían de las herramientas ni del conocimiento necesario para trabajar en esta zona.
Por ello, la forma que tenían de controlar en todo momento las tensiones y deformaciones del hormigón era obligándolo a permanecer en una zona elástica. En esta zona podían aplicar los criterios de Resistencia de Materiales, de los que eran buenos conocedores.
La figura 3.1.5 muestra, ampliada, la zona inicial encerrada en un rectángulo en la figura 3.1.4, en la que se ha tratado de mostrar la forma que tenían de operar. Todo apunta a que planteaban un control de las deformaciones (lo que es físicamente mensurable de manera más fácil). En efecto, como se puede apreciar, para una deformación del 0,02%, la tensión de rotura es 5 MPa para los diagramas de Mörsch y EHE, siendo la gráfica de Ritter más conservadora, arrojando tensiones menores a igualdad de deformación. Mörsch planteó que la tensión que correspondía a una deformación de 0,0002 era el 28% de la tensión de rotura, lo que suponía un coeficiente de seguridad igual a 3,57 (1/28=3,57) para el hormigón. Esta apreciación no se hace de forme explícita en ninguna de las publicaciones de la época (hasta donde se ha podido saber), pero ha podido ser deducida mediante el estudio llevado a cabo en esta Tesis.
En el Capítulo 4 de esta tesis, se verá la evolución de los coeficientes de seguridad en el tiempo.
0 1 2 3 4 5 6 7 0.0000 0.0001 0.0002 0.0003 Deformación Te n sió n ( M P a) EHE (2008) RITTER (1899) MÖRSCH (1902)
Figura 3.1.5. Detalle ampliado figura anterior, que muestra el rango lineal de trabajo utilizado
El esquema de ecuación plateado por Ritter y Von Bach, fue también utilizado con posterioridad por Stanton, y por M. Dutron, quien lo presentó en el Congreso de Lieja en 1930 [28, 1930].
A partir de esos años, y especialmente en las dos décadas siguientes, se suscitó el debate acerca de los criterios que había que adoptar para aprovechar más eficientemente las prestaciones resistentes de los materiales, en particular del hormigón. Ese debate, extraordinariamente rico en conceptos porque se dan cita la necesidad de conocer mejor las propiedades mecánicas de los materiales, un análisis estructural más profundo y el uso de formatos de seguridad más ajustados, entre otras facetas del saber, acabó dando pie al salto de los formatos de la teoría clásica a los planteamientos en rotura y, por extensión, de los estados límite que hoy imperan.
Uno de los promotores de este salto fue Eduardo Torroja, y uno de los detractores de este planteamiento fue Carlos Fernández Casado, que defendía, no sin razón, la necesidad de mantener
la coherencia entre las hipótesis del cálculo estructural, fundadas en el análisis elástico y lineal, y la adopción consiguiente de materiales que se comportasen en el rango elástico y lineal. Poco a poco se fueron abriendo paso los estudios del hormigón en plasticidad que alcanzaron un hito significativo en 1957 [34, 1986], en la reunión anual del Comité Europeo de Hormigón, con el surgimiento del primer diagrama tensión-deformación del hormigón en rotura, al que se denominó “parábola de Madrid” (figura 3.1.6), parábola de 2º grado de eje vertical IB y vértice en el punto I, que relacionaba las tensiones con las deformaciones. I es el punto de la tensión máxima. La deformación OB se identifica, tras resultados experimentales de M. Chambaud, con ε=0,0035. El punto C es aquel a partir del cual se emplea el módulo de deformación secante del hormigón que no necesariamente coincide con la proyección del punto medio de IB.
Figura 3.1.6. Parábola de Madrid. Diagrama tensión – deformación. Hormigón estructural, Alfredo Páez [34, 1986] En 1964 [37, 1964], Jiménez Montoya expone que, para cargas moderadas, el diagrama tensión- deformación del hormigón puede ser triangular. Para cargas mayores, Rüsch dedujo un diagrama parábola-rectángulo que fue recogido en las publicaciones del CEB [37, 1964]. A esta misma conclusión llega Hognestad. Este planteamiento pone en evidencia la necesidad de contemplar, por una parte, el comportamiento en servicio de las piezas, situación bien resuelta por la Teoría Clásica, y, por otra, el comportamiento en agotamiento, a partir de los argumentos que aporta la Plasticidad, aún no consolidados, pero resueltos de manera poco clara, aunque la experiencia demostró suficiente, con un análisis lineal hasta rotura y un dimensionamiento o comprobación en agotamiento.
Figura 3.1.8. Diagrama parabólico-rectangular (parábola de 2º grado y un segmento rectilíneo). En el punto de acuerdo de ambas líneas puede suponerse una deformación unitaria de 0,002. Hormigón estructural, Jiménez Montoya [37, 1964] El diagrama tensión-deformación según la Instrucción de 1968 [77, 1968], es el siguiente (en el que se incorpora el coeficiente de cansancio del hormigón de valor 0,80):
Figura 3.1.9. Diagrama parábola-rectángulo (parábola de 2º grado) [77, 1968]
En la Instrucción de 1973 [134, 1973], plantea el diagrama tensión-deformación con un coeficiente de cansancio de valor 0,85:
Figura 3.1.10. Diagrama tensión-deformación del hormigón parábola-rectángulo [134, 1973]
La norma DIN 1045, recoge una simplificación birrectilínea del diagrama parábola-rectángulo llevada a cabo por Rüsch [153, 1975]. Este diagrama tenía la cualidad de servir de transición sencilla e ingenieril entre las dos situaciones planteadas más arriba: la necesidad de contar con un diagrama
que permitiera representar suficientemente el comportamiento del hormigón en servicio (primer tramo) y en agotamiento (tramo plástico).
Figura 3.1.11. Diagramas de tensión-deformación propuestos por la norma DIN 1045 para la zona situada encima de la carga en uso [153, 1975]
Se recoge en la tabla 3.9 el resumen de la evolución del coeficiente de cansancio considerado para el diagrama tensión-deformación del hormigón en cada normativa/publicación, así como la evolución del coeficiente que multiplicaría la profundidad de la fibra neutra para dar una sección rectangular equivalente a la parabólica correspondiente. El origen del coeficiente de cansancio se debe a los ensayos realizados en la década de 1950 – 1960 [193, 1962] en Europa y América que demostraron que la capacidad resistente del hormigón armado en soportes podía obtenerse a partir de la resistencia cilíndrica afectada por un coeficiente de reducción para considerar el efecto de cansancio debido a las cargas lentas.
Figura 3.1.12. Parámetros diagrama tensión-deformación del hormigón Donde:
c: Tensión del hormigón (=fc). c: Deformación del hormigón. x: Profundidad de la fibra neutra.
y: Profundidad de la fibra neutra para sección rectangular equivalente de tensiones.
Tabla 3.9. Evolución de los parámetros de los diagramas tensión-deformación del hormigón
c0 cu (=fc) (y=x) Chambaud - 0,0035 1 1 CEB 57 0,002 0,0035 0,82 1 HA-61 0,002 0,0035 0,82 1 CEB 64 0,002 0,0035 0,82 1 EH – 68 0,002 0,0035 0,80 0,75 EH-73 0,002 0,0035 0,85 0,8
Como se puede observar, los valores de la deformación en el punto de unión de la zona parabólica con la zona recta se han mantenido estables con un valor igual a 0,002, así como los valores de la deformación última del hormigón, que se han mantenido estables con un valor igual a 0,0035. Los valores del coeficiente de cansancio del hormigón han oscilado entre 0,80 y 1,00, y los valores de , han oscilado entre 0,75 y 1,00.