El estudio del coeficiente de equivalencia se podría también haber incluido en el capítulo de materiales. Sin embargo, se ha preferido incluirlo en este capítulo por su importancia en el cálculo de las secciones de hormigón a tensiones normales.
El concepto del coeficiente de equivalencia surge a principios del siglo XX, como así se refleja en la publicación de Mörsch de 1902 [16, 1902], con la intención explícita de tratar las secciones heterogéneas, formadas por dos materiales diferentes, hormigón y acero, como si fuesen
6.2
homogéneas, de un solo material: hormigón. En España también se recogía en las publicaciones de la misma época de Zafra, Ribera, Peña Boeuf, etc. Como es inmediato deducir al imponer la condición de compatibilidad de deformaciones, el coeficiente de equivalencia es el cociente entre el módulo de deformación longitudinal del acero y el del hormigón.
El módulo de deformación del acero no ha cambiado físicamente con el tiempo, pero, curiosamente, se adoptan valores ligeramente diferentes en el ámbito de las estructuras metálicas o mixtas y las de hormigón. Así, en estructuras metálicas se considera un valor del módulo de deformación del acero 210 GPa y en estructuras de hormigón, se considera un valor del módulo de deformación de las barras de acero de 200 GPa. Aunque se ha investigado sobre las discrepancias de estos valores, no se ha encontrado una causa explícita que justifique esta diferencia que parece achacable a la costumbre arraigada entre los ingenieros de las estructuras metálicas de pasar del valor clásico de 2,1×106 kp/cm2 al que se deduce al pasar a MPa, dividiendo por 10, mientras que en
el mundo del hormigón estructural el redondeo se practicó a la baja. La diferencia de valores se evidencia también, p.e. en los Eurocódigos estructurales.
En cuanto a los valores del coeficiente de equivalencia, a principios del siglo XX, los autores proponen un valor comprendido entre 8 para los buenos hormigones y 15, para los de menor calidad. Se recogen en la tabla 6.1 los valores de los coeficientes de equivalencia planteados por Mörsch en 1902 [16,1902]. Así, para hormigones elaborados a partir de gravilla el coeficiente de equivalencia oscilaba entre 7,9 y 9,2, y para hormigones elaborados a partir de gravas el coeficiente de equivalencia oscilaba entre 9,7 y 11,7. La razón de la diferencia está en la mayor o menor presencia de mortero y pasta en la masa del hormigón, a igualdad prácticamente de resistencia. Las probetas empleadas eran cilíndricas de 25 cm de diámetro, con una altura de 1 m. La edad de las mismas a la hora de ser ensayadas oscilaba entre los 80 y 90 días [16, 1902].
Tabla 6.1. Módulos de deformación típicos para cada tipo de hormigón y coeficiente de equivalencia [16, 1902]
Dosificación de cemento (kg/m3)
Resistencia típica del
hormigón (MPa) Ec (MPa) (Eg – EG) n (Eg) n (EG)
300 12 22.925 – 17.931 9,2 11,7
350 16 24.850 – 19.945 8,5 10,5
400 20 26.450 – 21.661 7,9 9,7
Donde:
EG: Módulo de deformación del hormigón con grava. Eg: Módulo de deformación del hormigón con gravilla. n: Coeficiente de equivalencia del hormigón.
La Orden Circular francesa de 1906 [38, 1963], también incluía el valor del coeficiente de equivalencia. Adoptaba para n un valor de 10 para cargas inferiores a 6,0 MPa, y aumentaba su valor con las cargas, reconociendo implícitamente el carácter no lineal del hormigón. En general, también admitía valores comprendidos entre 8 y 15.
La Norma americana de 1910 [18,1910], la Circular alemana de 1932 y otras normas más modernas consideran n=15. En efecto, 15 era el valor del coeficiente de equivalencia que se encuentra en la mayor parte de los cálculos y documentos de la época, también en España. Según se presentó en el Congreso de Lieja de 1930, en Suiza se adoptaba un valor de n igual a 10 (M. Ros [28, 1930]).
6.3
Peña Boeuf, en sus publicaciones de 1930 y 1940 [23, 1940] incluye la relación existente entre el coeficiente de equivalencia y la resistencia a rotura del hormigón a compresión, que se obtiene de forma experimental. Se trata de las fórmulas de Dutron y Ritter: Ec=864 fc (en kg/cm2).
Donde:
E: Módulo de deformación del hormigón.
fc: Resistencia a rotura a compresión del hormigón.
Como ejemplo, para un hormigón habitual en aquel entonces de 16 MPa, se obtendría un valor del módulo de deformación de 13.824 MPa ( 14.000 MPa), valor habitual del módulo de deformación del hormigón empleado en la época de la Teoría Clásica. Este valor es menor que los reflejados en la tabla 6.1, probablemente por el tiempo de mantenimiento de la carga aplicada y porque tal y como se explicaba en párrafos anteriores para la Orden Circular francesa, hacían depender el módulo de deformación de la carga. Dado que el coeficiente de equivalencia es la relación entre el módulo de deformación del acero y el módulo de deformación del hormigón, se tendrá:
c c c s f 2.315 864f 2.000.000 E E n Donde:
fc: Resistencia del hormigón a compresión 28 días en probeta cúbica. Es: Módulo de deformación del acero.
Ec: Módulo de deformación del hormigón. n: Coeficiente de equivalencia.
La Instrucción española de 1939 [60, 1939 – 42] perfeccionó esta relación discriminando entre la forma de las probetas, obteniéndose:
c,cil c,cub f 2.000 f 2.315 n Donde:
fc,cub: Resistencia del hormigón a compresión 28 días en probeta cúbica. fc,cil: Resistencia del hormigón a compresión 28 días en probeta cilíndrica. n: Coeficiente de equivalencia.
En las tablas siguientes 6.2 y 6.3, se recoge el valor del coeficiente de equivalencia planteado por la Instrucción española de 1939 [60, 1939] y por su revisión de 1949 [43,1949], en función de la resistencia y forma de las probetas de hormigón. Como se puede observar, el coeficiente de equivalencia seguía manteniéndose en valores entre 8 y 15. Estos valores se mantienen en las instrucciones españolas de 1951 [43, 1951] y 1956 [130, 1956].
Tabla 6.2. Coeficiente de equivalencia en función de la forma de la probeta (Instrucción española 1939)[60, 1939-42]
Resistencia probeta cilíndrica a los 28 días Resistencia en probeta cúbica Coeficiente de equivalência
20,0 a 25,0 MPa 27,0 a 32,0 MPa 8
15,0 a 20,0 MPa 19,0 a 27,0 MPa 10
10,0 a 15,0 MPa 13,0 a 19,0 MPa 15
6.4
Tabla 6.3. Coeficiente de equivalencia en función de la forma de la probeta (Instrucción española 1949) [43, 1949]
Resistencia en probeta cilíndrica a los 28 días Resistencia en probeta cúbica Coeficiente de equivalencia
20,0 MPa 25,0 MPa 10
16,0 MPa 20,0 MPa 12
12,0 MPa 15,0 MPa 15
A medida que el módulo de deformación del hormigón fue evolucionando con los años, se fueron perfilando los valores del coeficiente de equivalencia hasta hoy. Para más información sobre la evolución de los valores del módulo de deformación del hormigón, se recomienda al lector consultar el capítulo 3 de esta tesis.