(
' ' ' ' ' ')
(
' ' ')
E k =1 u u +v v +w w =1 u2+v2+w2 2 2 (2.13)Otra forma habitual de expresar las ecuaciones dinámicas RANS es la siguiente:
(
)
1
´ ´
i i j i ij i j i i ju
u
p
u
g
u u
t
x
ρ
x
x
τ
∂
∂
∂
∂
+
=
−
+
−
∂
∂
∂
∂
(2.14) donde j i ij j iu
u
x
x
τ
=μ⎛⎜⎜∂
+∂
⎞⎟⎟
∂
∂
⎝
⎠
(2.15) Las tensiones de Reynolds son 6 nuevas incógnitas que se deben calcular para resolver lasecuaciones RANS. Dado que el número de ecuaciones no ha incrementado (4) y sí el número de incógnitas (3 velocidades + 1 presión + 6 tensiones de Reynolds), es necesario encontrar 6 nuevas ecuaciones para cerrar la resolución del problema de flujo. Esta situación se conoce en la literatura como el Turbulence Closure Problem (el problema de cierre) y representa la idea clave a la que se ha asociado todo el desarrollo de los modelos de turbulencia para las ecuaciones RANS.
2.1.3.
Otras formas reducidas de las ecuaciones de Navier-Stokes
Como ya se ha comentado, sólo existen soluciones analíticas de las ecuaciones de N-S para situaciones donde el flujo es laminar. Para buscar soluciones a las ecuaciones completas de Navier-Stokes en flujos turbulentos hay que recurrir a la hidráulica computacional, conocida comúnmente como Computer Fluid Dynamics (CFD).
La solución más directa consiste en resolver las ecuaciones instantáneas de Navier-Stokes. Esta técnica conocida como DNS (Direct Numerical Simulation) cuenta con el inconveniente de que debe resolver todas las escalas espaciales y temporales que posee el flujo. Para que esto ocurra, es necesario que la malla espacial tenga una resolución inferior a la de la menor escala de longitudes del flujo, y que el paso de tiempo sea lo suficientemente pequeño para resolver los movimientos de mayor frecuencia. Hay que tener en cuenta que las menores escalas de movimiento (las microescalas de Kolgomorov10) suelen ser varios órdenes de magnitud inferiores a las escalas de movimiento del flujo, especialmente para valores elevados del número de Reynolds. Además, como la resolución directa se realiza siempre en mallas tridimensionales, el tamaño de la misma crece enormemente. Cea (2005) señala que para modelizar un flujo convencional mediante DNS en un escenario común de ingeniería hidráulica la malla del modelo podría tener del orden de 1012 a 1016 puntos.
Por este motivo es habitual trabajar con formas reducidas de las ecuaciones de Navier-Stokes. La estrategia empleada para obtener estas ecuaciones consiste en trabajar con versiones promediadas de las mismas, ya sea trabajando con promedios espaciales, temporales o ambos. Reynolds Averaged Navier-Stokes (RANS) Large Eddy Simulation (LES) Direct Numerical Simulation (DNS)
promediado de las escalas espaciales más pequeñas. sin promediado temporal.
promediado temporal ( e ns e mb le a v e r a g e ) sin promediado espacial.
promediado temporal en todas las escalas del flujo.
promediado espacial (superficial
o volumétrico) en un dominio paralelo al lecho
Double Averaged Navier-Stokes (DANS)
ecuaciones de NS 2DH (DANS/RANS)
promediado espacial a lo largo del ancho del flujo promediado espacial en la vertical. ecuaciones de NS 2DV (DANS/RANS) ecuaciones de NS 1D (DANS/RANS) promediado espacial en toda la sección ECUACIONES NAVIER-STOKES
Figura 2.2. Formas reducidas de las ecuaciones de N-S obtenidas a partir del promediado de las variables en el tiempo o en el espacio (adaptado de Nikora, 2008b).
En la Figura 2.2 se presenta un esquema con las formas reducidas de las ecuaciones fundamentales. La característica común de estas aproximaciones es que en vez de abordar el problema completo, obteniendo la solución por tanto de todas las escalas temporales y espaciales, éste se resuelve de alguna manera introduciendo algún tipo de simplificación. La primera alternativa a la resolución completa de las ecuaciones de N-S consiste en resolver las fluctuaciones del flujo de mayor escala y modelizar la influencia de las menores escalas a través de algún modelo de turbulencia. Esta aproximación se conoce como Large Eddy Simulation (LES) o simulación de grandes vórtices.
En la simulación LES se promedian las ecuaciones de N-S en el volumen de cada elemento de la malla. Las escalas de flujo inferiores a este volumen (denominadas subgrid scales, SGS) se modelizan. Como en el caso de las DNS, las simulaciones LES son tridimensionales y en condiciones de flujo no permanente, pero cuentan con la ventaja de reducir el coste computacional frente a la resolución directa.
Computacionalmente, el problema de la LES está en la región del flujo cercana a las paredes del contorno (wall region), ya que las estructuras se hacen más pequeñas y es necesario refinar la malla para resolverlas. Una solución común consiste en resolver las ecuaciones
RANS cerca de los contornos (en las regiones internas del flujo) y lejos de los mismos emplear la solución LES. Esta aproximación se conoce como Detached Eddy Simulations (DES).
La segunda alternativa, ya esbozada en el apartado 2.1.2, consiste en promediar las ecuaciones de Navier-Stokes empleando la descomposición de Reynolds. Las ecuaciones RANS son sin lugar a dudas las más empleadas en la simulación de flujos en el campo de la Ingeniería Hidráulica y Ambiental aplicada. Aunque poseen ciertas limitaciones en los flujos en los que existen fenómenos de separación o transición, permiten obtener un buen nivel de compromiso entre precisión y tiempo de cálculo.
En el campo de los CFD, el principal inconveniente de esta aproximación consiste en el modelo de turbulencia que se debe emplear para poder resolver las ecuaciones RANS. Existen numerosos modelos de turbulencia, algunos semiempíricos o desarrollados para condiciones de flujo muy específicas. Sin embargo, ninguno es universalmente aceptado como válido. El estudio y descripción de estos modelos se escapa del ámbito de esta tesis. Una revisión de los modelos más empleados en el campo de la hidráulica se recoge por ejemplo en Rodi (1980), Davison (2003) o en Cea (2005).
Una forma de mejorar el ámbito de aplicación de los modelos RANS a flujos con separación consiste en simular las fluctuaciones de mayor escala y sus interacciones no-lineales. Este tipo de modelos, conocidos como Unsteady RANS (URANS), permiten obtener soluciones para flujos no permanentes incluso con condiciones de contorno fijas. Este tipo de esquema está a medio camino entre las ecuaciones RANS y los modelos LES. Sin embargo, en la actualidad, la comunidad científica no comprende completamente el significado de los resultados arrojados por estos esquemas de resolución, lo que hace las aproximaciones DES/LES sean más comunes (Cea, 2005).
En la Figura 2.3 se presenta una comparación de las diferentes aproximaciones de resolución de las ecuaciones de N-S mencionadas anteriormente para el problema del flujo que pasa a través de un cilindro.
RANS LES/DES (malla gruesa)
URANS LES/DES (malla fina)
Figura 2.3. Simulación del flujo a través de un cilindro con varias aproximaciones. En la figura se representan las vorticidades (Spalart, 2004).
En la figura anterior se puede apreciar como la aplicación del esquema RANS no permite analizar la frecuencia de la formación de vórtices que conforman la calle de Kármán11,12.
Antes de continuar con el análisis de más formas promediadas de las ecuaciones de N-S se presenta en la Tabla 2.1 un resumen comparativo de las diferentes estrategias computacionales presentadas en este texto13, el orden de magnitud de las mallas y los pasos de tiempo necesarios para resolver un problema tipo que Spalart (2000) define como el análisis del flujo sobre un automóvil o un avión. En la última columna de la tabla se define un horizonte temporal aproximado para el cual se dispondrá de ordenadores de suficiente potencia para poder resolver este flujo tipo.
Tabla 2.1. Resumen de las diferentes estrategias empleadas en la hidráulica computacional (Spalart, 2000). TIPO RÉGIMEN NO PERMANENTE MODELIZACIÓN DE LA TURBULENCIA TAMAÑO DE MALLA PASOS DE TIEMPO AÑO DE APLICACIÓN 3DRANS No Sí 107 103 1990 3DURANS Sí Sí 107 103.5 1995 DES Sí Sí 108 104 2000 LES Sí Sólo SGS 1011.5 106.7 2045 DNS Sí No 1016 107.7 2080
A la vista de la información contenida en la Tabla 2.1, parece que todavía quedan unos cuantos años para que la hidráulica computacional pueda resolver las ecuaciones completas de N-S, por lo que mientras tanto parece que habrá trabajo para la hidráulica experimental.
Retomando el esquema de la Figura 2.2, y promediando las ecuaciones RANS en el calado o a lo largo del ancho de la sección del flujo, se llega a los modelos RANS bidimensionales. Los modelos bidimensionales pueden separarse en lo que se conoce como modelos 2D en la
11 Theodore Von Kármán: * 1881, Budapest (HUN); † 1963, Aachen (GER)
12 Una calle de Kármán es un una estructura de vórtices que se forman, en un rango limitado de números
de Reynolds, por el fenómeno de separación no permanente del flujo detrás de un obstáculo interpuesto en el flujo.
13 En este trabajo únicamente se ha esbozado el enfoque Euleriano del problema. Debido al incremento
de la potencia de computación en los últimos años se están proliferando los códigos Lagrangianos sin malla (de partículas) para la resolución de problemas de ingeniería hidráulica y ambiental. Este enfoque se denomina Smoothed Particle Hydrodinamics (SPH).
A nivel europeo se puede señalar el trabajo del grupo multidisciplicinar SPHERIC, perteneciente a la European Research Comunity On Flow, Turbulence and Combustion – ERCOFTAC – (http://wiki.manchester.ac.uk/spheric/index.php/Main_Page). A nivel nacional destacan los trabajos realizados por el Grupo de Investigación de Física de la Atmósfera y del Océano de la Universidade de Vigo o por el CEDEX (Centro de Estudios y Experimentación en Obras Públicas) del Ministerio de Fomento.
Una revisión reciente del estado del conocimiento de este campo de trabajo se encuentra en la tesis doctoral de Crespo, A.J.C. (2008). Application of the Smoothed Particle Hydrodynamics model SPHysics to free-surface hydrodynamics. Grupo de Investigación de Física de la Atmósfera y del Océano. Vigo, University of Vigo. PhD Disertation:157 págs.
vertical (2DV), que son usados cuando el flujo es uniforme en una dirección horizontal, pero con variaciones significativas en relación a la altura. Los modelos 2D promediados en el calado (2DH) se usan en situaciones donde no hay variaciones en la vertical y la densidad del fluido es constante. En Peña (2002) se presenta una revisión de los principales modelos comerciales de este tipo en aplicaciones en ingeniería hidráulica.
En la parte inferior de la Figura 2.2 se encuentra la aproximación unidimensional de las ecuaciones de N-S en los que se promedian espacialmente las variables que definen el flujo en las dimensiones vertical y transversal (en la sección).
Se puede decir que hasta este punto, se ha realizado una descripción convencional de las ecuaciones de Navier-Stokes y sus métodos de resolución a través de diferentes simplificaciones de las mismas. Lo cierto es que hasta que las técnicas numéricas más completas (LES o DNS) sean asequibles computacionalmente, las soluciones ofrecidas por las ecuaciones RANS son, y seguirán siendo, las más habituales en aplicaciones prácticas o investigaciones aplicadas.
Además de la turbulencia, otra característica común a la mayoría de los flujos naturales de canales abiertos (escorrentía superficial, aplicaciones de ingeniería fluvial y/o marítima) y de flujos geofísicos es que son flujos sobre lechos rugosos, o hidráulicamente rugosos. Aunque durante los últimos 20 o 30 años se han realizado notables y numerosas investigaciones sobre este tipo de flujos, el conocimiento de parámetros como las leyes de velocidad o las características de la turbulencia aún es, todavía, ciertamente limitado (Nezu y Nakagawa, 1993; Nikora et al., 2007a).
Uno de los problemas que se debe solucionar antes de analizar las leyes de variación de velocidades y demás variables descriptoras de la turbulencia es la definición de la rugosidad y posición del lecho. Respecto a la rugosidad del lecho14, en flujos hidráulicamente lisos,
Nikuradse15 empleó en sus experimentos de flujos en tuberías el concepto de rugosidad
equivalente ks como el diámetro, la altura, de los granos de arena que pegó a las paredes de las mismas para analizar la pérdida de carga en tuberías rugosas (Nikuradse, 1933).
Este concepto se ha extendido para otro tipo de lechos no conformados por arenas densamente pegadas a una superficie lisa a través de la interpolación de la ley logarítmica de velocidades en la región del flujo cercana al fondo (ver apartado 2.3.2).
El segundo problema consiste en definir la posición del lecho. De nuevo, en flujos hidráulicamente lisos la definición de la posición del fondo es trivial, ya que no existe interacción entre el fondo (la rugosidad) y el perfil de velocidades. En esta situación de flujo el espesor de la subcapa viscosa o capa límite laminar16 es mayor que la posición de las crestas
del lecho (ver Figura 2.4).
14 Por simplicidad en muchos casos se hablará de flujos rugosos o lisos en referencia a flujos sobre
lechos hidráulicamente rugosos o lisos respectivamente.
15Johann Nikuradse: * 1894, Samtredia (Georgia, RUS); † 1979, Munich (GER)
16 Los términos capa límite laminar y subcapa viscosa se han empleado indistintamente ya que
históricamente se ha asumido que el flujo en esta región era laminar. Sin embargo, los datos experimentales han demostrado que aunque el perfil medio de velocidades es lineal, como en el caso del régimen laminar, el flujo presenta bastantes fluctuaciones, características de un flujo turbulento. Por lo
En lechos rugosos artificiales (arena densa o esferas pegadas a una superficie lisa) parece existir un consenso entorno a que la posición del fondo se encuentra por debajo del plano formado por las crestas del lecho una distancia entre 0.15 y 0.3 veces el valor de la rugosidad equivalente (Nezu y Nakagawa, 1993). Sin embargo, en lechos granulares irregulares, como los que se pueden encontrar en un cauce aluvial natural, está definición ya no es tan clara debido a la propia aleatoriedad del fondo (Nikora et al., 2002b).
ks v u* υ δ ≈ hidráulicamente liso hidráulicamente rugoso subcapa viscosa ( *) s s k k u υ += < 5 ks δv hidráulicamente intermedio s k+ ≤ < 5 70 ks 0.15 - 0.30 ks s k+≥70 hidráulicamente rugoso cauce rugoso natural