3. Developing methodological approaches
3.4. Developing methods for research with respect to Second Life
Claramente las condiciones de masa iniciales en una estrella dictaminan su evolución, así con el transcurso del tiempo una estrella comienza a cambiar elementos que la distinguen fácilmente para nuestros ojos el color, el cual está directamente asociado a la temperatura y del cual podemos abstraer información en torno a la masa del objeto así se logra comprender el diagrama H-R, en el cual la mayoría de las estrellas se encuentran en la secuencia principal y su relación en la masa nos permite establecer su luminosidad siendo más calientes al ser más masivas.
𝐸𝑠 = 𝐾 + 𝑈 (10)
Desde la ecuación 10 comenzamos a comprender la idealización que se tuvo que desarrollar para plantear el límite de la masa que puede tener una estrella cuyo remanente es una enana blanca, entre otras consideraciones se asume que toda la energía cinética es la del sistema por parte de Chandrasekhar, quien también logró contrastar que las velocidades en esta expresión no serían del orden relativista. Así la relación con el momento de Fermi (𝑃𝐹) definido como se relaciona en la ecuación 11.
𝑃𝐹 = ℏ (3𝜋2𝑁 𝑉 ) 1 3 ⁄ (11)
En el cual 𝑁 hace referencia el número de nucleones en una esfera de volumen 𝑉 y de radio 𝑅. Todo esto se puede establecer la densidad estados para el sistema mediante la función 𝑔(𝑃), la cual se relaciona en la ecuación número 12 que también muestra la dependencia del volumen, del número de los nucleones y del momento de Fermi.
𝑔(𝑃) = 3𝑉 ℏ(3𝜋2𝑁 𝑉) 1 3 ⁄ 𝑃 2𝑑𝑃 (12)
De tal forma que al realizar el álgebra despejando 𝑁 e integrando la ecuación 12 desde 0 → 𝑃𝐹 se obtiene la ecuación 13 y 14, así la energía cinética será dada en función de la masa total el radio y la constante de Planck, permitiendo reconocer la energía del sistema y estableciendo después de ello la relación del radio con la inversa de la raíz cúbica de la masa total como se muestra en la ecuación 15, 16 y 17 sin entrar a tomar presentes las consideraciones relativistas. Donde tomaremos A como la energía cinética y B como la energía potencial, así el desarrollo será:
𝑁 = ∫ 𝑔(𝑃)𝑃2 2𝑚𝑑𝑃 𝑃𝐹 0 (13) 𝑁 = 3𝑉 5[(3𝜋2)1⁄3ℏ]3 𝑃𝐹 2𝑚 (14)
Ecuación 11 Momento de Fermi
Ecuación 12 Densidad de estados
Ecuación 13 Número de nucleones presentes en la esfera
𝐾 = 9∗3 1 3 ⁄ 80𝑚𝑚𝑝5⁄3 𝑀5⁄3𝜋2⁄3ℏ2 1 𝑅2 ; 𝑈 = − 3 5𝐺𝑀 2 (15) 𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴 𝑅2+ 𝐵 𝑅 (16) 𝑅𝑒𝑔 ∼ 1 𝑀1⁄3 (17)
Si se tiene en cuenta la energía en velocidades relativistas, la energía cinética cambio sustancialmente la integral será la ecuación 18 y su desarrollo es la ecuación 19, las cuales nos permiten comprender el desarrollo para estas condiciones.
𝐾 = ∫𝑃𝐹𝑔(𝑃)√(𝑃𝑐)2+ (𝑚𝑐2)2𝑑𝑃 0 (18) 𝐾 = 3𝑉𝑐 4(3𝜋2)1⁄3ℏ[𝑃𝐹 6+𝑚2𝑐4𝑃 𝐹4+ ⋯ ] (19)
De esto la energía del sistema será dada por la ecuación 20, así su desarrollo es del orden aproximado a la cálculo de Chandrasekhar, en el cual la aproximación hace necesario tener presentes otras consideraciones y su orden muy aproximado, pero que al realizar los ajustes necesarios nos encontramos con el límite propuesto, pero ahora debemos incorporar el término 𝐶 =𝑚2𝑐3 4ℏ [( 𝑀 𝑚𝑝) 2 3 𝜋] 1 3 ⁄
, así tendremos un estimado de la masa máxima de una enana blanca.
Ecuación 15 Ecuaciones de energía cinética y potencial
Ecuación 16 La energía del sistema A=K y B=U
Ecuación 17 Radio de equilibrio gravitacional
Ecuación 18 Energía cinética bajo consideraciones relativistas
𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 =𝐴−𝐵
𝑅 + 𝐶𝑅 (20)
𝐴 = 𝐵 ~ 𝑀𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 = 1.72𝑀⊙ (21)
Al asumir que toda la energía cinética y gravitacional, junto la consideración de la densidad en la enana blanca es homogénea, la cual posee una simetría esférica y teniendo adicional a ello sin atmósfera; según lo desarrollado por Chandrasekhar “si la fracción de
la radiación que contribuye (1 − 𝛽), para la presión total nosotros la escribimos”
(Chandrasekhar, 1983). Se obtiene que la presión del gas (ecuación22) es igual a la presión de radiación (ecuación 23). De ello el desarrollo matemático se puede consultar en el documento de 1983 elaborado por Chandrasekhar para comprender los demás detalles de su solución, por la cual recibe el premio nobel. La presión máxima de la radiación será 𝑝𝑟𝑎𝑑 = 1 − 𝛽∗, donde la presión de degeneración puede ser menor o igual a la presión de radiación 1 − 𝛽 ≤ 1 − 𝛽∗. Con lo anterior y el resto del proceso matemático se obtiene la ecuación 22, la cual origina el resultado de la masa límite o límite de Chandrasekhar. (Chandrasekhar, 1983) 𝑀𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 = 4𝜋 (𝐾 𝜋𝐺) 3 2 ⁄ (2.018) = 5.76𝜇𝑒−2⊙ (22) 𝑀𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 = 1.44𝑀⊙ (23)
Ecuación 20 Energía cinética con aproximaciones relativistas
Ecuación 21 Aproximación al límite de masa de Chandrasekhar
Ecuación 22 Masa límite
No todas las estrellas finalizan su vida de una forma tan espectacular como lo es una explosión de supernova tipo 1 o 2 para dar paso a un agujero negro o una estrella de neutrones, esta última en cuenta teóricamente su explicación en los cálculos desarrollados por Subrahmanyan Chandrasekhar quien según cuenta la historia logra deducir un límite en la masa de una estrella en la cual la materia seguiría su colapsando por la acción gravitatoria, la cual vencería la presión electrónica “…enanas blancas, este tipo de remanente es el final más común en la evolución estelar. Si la masa restante es menor que
1.4𝑀⊙ 𝑑enominada masa de Chandrasekhar la presión de los electrones degenerados es
suficiente para prevenir el colapso posterior.” (Portilla B., 2001).
Los desarrollos calculados por Chandrasekhar permiten el reconocer el valor máximo de masa puede tener una estrella en la cual la fuerza gravitatoria gana sobre la presión de radiación, rompiendo el equilibrio hidrostático que desencadena en una comprensión muy alta, su magnitud es tan alta que es imposible detener su colapso, de ello que da cuerpo celeste extremadamente denso conformado por neutrones “la compresión producida por la gravedad será tan grande que los protones se unen con los electrones
para formar una estrella de neutrones” (Portilla B., 2001). De esto se puede deducir que
si una estrella supera el límite de Chandrasekhar desencadenará en este tipo de objetos, ultra densos, los cuales tienen como génesis estrellas con masas entre 1.4 y 3 masas solares. Cuerpos con masas mayores a estos valores son capaces de vencer la presión de degeneración neutrónica, llevando al cuerpo celeste a un nuevo estado del cual no poseemos información, según Chandrasekhar “los agujeros negros son objetos macroscópicos con masas que varían desde unas pocas masas solares hasta millones de masas solares. En la medida que puedan considerarse como objetos estacionarios y
aislados, en esa medida… Descritos por la solución de Kerr” (Chandrasekhar, 1983) aquí
se logra comprender los diferentes tipos de agujeros negros y las métricas que permiten su comprensión como se verá más adelante en el documento con los desarrollos mínimos para su comprensión.