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Toda bobina tiene una resistencia interna R. Estas resistencias tanto en las bobinas receptoras como emisoras degradan significativamente la eficiencia de la potencia transferida. Para optimizar y evaluar el rendimiento de la transmisión de potencia correctamente es necesario estimar el valor de esta resistencia. Los principales factores que afectan a este parámetro son la frecuencia, el tipo de conductor utilizado en los devanados, considerando tanto su material, como su geometría, su disposición espacial y la temperatura del propio devanado.

3.6.1.1. Resistencia en corriente continua:

Representa la resistencia inherente al conductor debido a la resistividad intrínseca del material, y la sección y longitud de los arrollamientos. Se puede calcular como [3.8] [3.19]:

𝑅_𝐷𝐶 =𝜌𝑙

𝐴 (3.22)

Donde l es la longitud del conductor medido en metros, A es el área de la sección transversal del conductor medido en metros cuadrados, y ρ es la resistividad eléctrica del material medido en ohmios-metro.

Material Resistividad ρ [Ω.m]

Cobre (puro) 1.68x10-8 Aluminio 2.44x10-8

Oro 1.72x10-8

Plata 1.59x10-8

Tabla 5:Resistividad de Materiales a 25ºC

Por tanto, materiales conductores de menor resistividad y mayor sección reducirán la resistencia de los arrollamientos de la bobina.

3.6.1.2. Efectos de la temperatura:

La resistividad de los materiales está definida y tabulada para una temperatura determinada. Durante la transferencia de potencia, la temperatura del conductor se incrementará por la potencia disipada en el conductor. Por tanto, se deberá tener en cuenta el incremento de la temperatura en el conductor según la siguiente ecuación [3.8] [3.19].

𝑅_𝐷𝐶(𝑇) = 𝑅_𝐷𝐶(𝑇_𝑟𝑒𝑓)(1 + 𝛼∆𝑇) (3.23)

Donde α es el coeficiente de temperatura de resistividad, que indica cuanto aumenta por ºC elevado. Material α [Ω/ºC] Aluminio 0.004308 Cobre 0.004041 Oro 0.003715 Plata 0.003819

3.6.1.3. Efectos de la frecuencia:

La frecuencia en sistemas de transferencia inalámbrica de potencia es uno de los parámetros fundamentales para su diseño, afectando tanto a la cantidad de potencia transferible, como al rendimiento del enlace, así como a los factores de calidad y al tamaño del sistema. Pero un efecto secundario de la elevación de frecuencia es la aparición de efectos electromagnéticos que tienden a aumentar la resistencia y las pérdidas en la resistencia interna de las bobinas, y en los materiales magnéticos.

• Efecto pelicular: El efecto pelicular (skin effect) refleja la modificación de la densidad de corriente en conductores al aplicar corrientes de alta frecuencia. La tendencia es a incrementar la densidad de corriente en la superficie del conductor. El efecto pelicular se debe a que la variación temporal del campo magnético es mayor en el centro del conductor, lo que da lugar a una reactancia inductiva mayor, generando corrientes de Foucault (Eddy currents) que se oponen a la intensidad, y debido a esto, aparece una intensidad menor en el centro del conductor y mayor en la periferia. La profundidad pelicular δ (skin depth) se define como la profundidad del conductor a la que la densidad de corriente disminuye en 1/e de la densidad de corriente superficial Js y marca la zona

de sección útil del conductor. δ se puede definir como:

𝛿 = √2𝜌

𝜔𝜇√√1 + (𝜌𝜔𝜖)

2_{+ 𝜌𝜔𝜖 (3.24)}

Donde µ es la permeabilidad magnética absoluta del conductor, ρ la conductividad, µ la permitividad y ω la velocidad angular (2πf). Para frecuencias mucho menores de 1

ρεla ecuación puede simplificarse despreciando el segundo término.

La densidad de corriente en el conductor puede expresarse mediante la siguiente ecuación. La parte imaginaria de la corriente permite calcular el efecto de la profundidad pelicular sobre la fase de la corriente dentro del conductor.

𝐽 = 𝐽_𝑠𝑒−(1+𝑗)𝑑𝛿 (3.25)

Figura 20: Distribución de corriente conductor cuadrado δ/d=0.25

El área efectiva del conductor se reduce en consecuencia de A a A’, incrementando la resistencia interna de la bobina, por tanto:

𝑅_𝐴𝐶 =𝜌𝑙

𝐴′ (3.26)

Además de a los efectos típicos del efecto pelicular, en conductores cuadrados como en el caso de bobinas planas, hay que considerar el efecto de la concentración de corriente (current crowding) [3.26], un caso específico para conductores no circulares del efecto pelicular. En conductores rectangulares el capo magnético es mayor en las esquinas de éste, esto lleva a que la corriente tiende a fluir en los extremos de las trazas. Para calcular los efectos peliculares completos, se multiplicará la resistencia alterna por un factor que tiene en cuenta los efectos de la concentración de corriente [3.27].

El factor de Haefner (p) [3.28] define la relación entre el área de la sección del conductor frente a la profundidad pelicular.

𝑝 = √𝑤ℎ

1.26𝛿 (3.27)

El factor FF incluye la dependencia de frecuencia a través de p en el cálculo de la

resistencia.

𝐹𝑓 = 1 − 𝑒−0.026𝑝 (3.28)

El factor KC aglutina los factores anteriores y permite calcular el incremento de

resistencia causado por el efecto de la concentración de corriente. Esta ecuación experimental requiere que la anchura del conductor debe ser mayor que el doble de la profundidad pelicular para garantizar el mínimo error.

𝐾_𝐶 = 1 + 𝐹_𝑓(1.2𝑒(−2.1𝑤ℎ)_{+ 1.2𝑒}(−2.1 𝑤

ℎ)₎ (3.29)

Para añadir el efecto pelicular se incorpora el factor xc que relaciona la profundidad

pelicular con la anchura del conductor. Con este parámetro puede calcularse el efecto de la difusión exponencial de la corriente en la superficie del conductor.

𝑥𝐶 = (2𝛿 (1_ℎ+_{𝑤) +}1 8 ( 𝛿 ℎ) 3 𝑤 ℎ ) (𝑤_ℎ)0.33𝑒−3.5ℎ𝛿_{+ 1} (3.30)

Finalmente uniendo todos los efectos en una sola ecuación, podemos calcular la resistencia en alterna del devanado debido a efectos peliculares como:

𝑅_𝐴𝐶 = 𝜌𝑙 𝑤ℎ

𝐾_𝐶

1 − 𝑒−𝑥𝐶 (3.31)

• Efecto de proximidad: El efecto de proximidad es debido a la interacción de los campos magnéticos producidos por varios conductores con corrientes de alta frecuencia cercanos entre sí. Esta interacción magnética afecta a la distribución de corrientes en el interior del conductor. Mientras el efecto pelicular solo es función del material y la frecuencia del conductor, los efectos de proximidad también dependen de la geometría, disposición y separación de los conductores en el espacio. En el bobinado, la proximidad entre las distintas vueltas de la bobina genera pérdidas extra debido a este efecto. Los modelos analíticos para el cálculo de este efecto son complejos y típicamente basados en los desarrollos de Dowell.

𝑅𝐴𝐶 = 𝐹𝑟𝑅𝐷𝐶 (3.32)

𝐹_𝑟 = 2∆ 3 (𝑚

2_{− 1) (}sinh (2∆) − sin (2∆)

cosh (2∆) − cos (2∆)) (3.33)

Para mitigar este efecto una posible solución es la utilización del denominado hilo de Litz. Consiste en un numero de cables finos aislados entre ellos siguiendo un patrón determinado para que los campos magnéticos que actúan sobre ellos se distribuyan equitativamente, lo que reduce considerablemente el efecto de proximidad. El pequeño tamaño de los hilos comparable a la profundidad pelicular, unidos a la gran cantidad de paralelos permite reducir la resistencia interna. En contraparte, el cable de Litz ocupa un tamaño mayor a la hora de la fabricación de los magnéticos y tiene un precio mayor que un cable de cobre tradicional, y a muy altas frecuencias deja de ser tan efectivo para mitigar estos efectos, ya que los efectos capacitivos y de proximidad comienzan a ser más significantes [3.29]. En este proyecto debido a los requerimientos de antenas planas no se podrá hacer uso de este tipo de conductores.