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podemos encontrar indicios o señales que nos pueden determinar los tipos de relaciones, operaciones, categorías, estructura semántica, etc. que se establecen en la situación extra- matemática que se pretende modelizar, estos indicios que denominaremos marcas lingüísticas son aquellas palabras o unidades significantes en el registro de lengua natural que me evocan explícitamente o implícitamente estas relaciones, por ejemplo, en los enunciados de problemas multiplicativos las marcas lingüísticas me determinan si en el enunciado se ponen en juego una comparación entre dos o más cantidades (ver tabla 2.2.4).

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Tabla 2.2.4

Marcas lingüísticas en los enunciados de problemas multiplicativos de comparación.

Marca lingüística Ejemplo

Veces más/menos María pesa dos veces más que lo que pesa de su hermanito Pedro. Si María pesa 48 kg. ¿Cuánto pesa Pedro?

Veces mayor/menor Pedro es dos veces menor que la edad de su hermana María. Si Pedro tiene 4 años ¿Cuántos años tiene María?

Doble/mitad María pesa el doble de lo que pesa de su hermanito Pedro. Si María pesa 48 kg. ¿Cuánto pesa Pedro?

Como otro ejemplo, tenemos que para la comprensión de enunciados problemas que involucran fracciones Pontón (2012) identificó tres grupos de marcas lingüísticas que guardan una asociación conceptual u operativa con la aprehensión del sistema numérico de los racionales (ver tabla 2.2.5).

Tabla 2.2.5

Marcas lingüísticas en los enunciados de problemas que involcran fracciones

Nota: Ejemplo de marcas lingüísticas en los enunciados de problemas que involucran fracciones, tomado de Pontón (2012, p. 221)

Estas marcas lingüísticas que se presentan en los enunciados de problemas que involucran fracciones “guardan una asociación conceptual u operativa con la aprehensión del sistema numérico de los racionales” (Pontón, 2012, p. 221), de hecho, dichas marcas como se presenta en la tabla 2.2.5 evocan explícitamente la relaciones parte-todo/parte-parte, relaciones de orden y relaciones entre dos magnitudes formar una fracción.

35 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas 2.3. Los enunciados de problema multiplicativos y sus magnitudes

En este apartado se define con mayor precisión qué se entiende por enunciado de problema multiplicativo. Iniciaremos con precisar qué es un problema matemático:

Tabla 2.3.1

Definición de problema

Autor/año Definición

Kantowski, 1981

Un problema es una situación para la que el individuo que se enfrenta a ella no posee un algoritmo que garantice una solución. El conocimiento relevante de esa persona tiene que ser aplicado en una nueva forma para resolver el problema. Un problema es una situación que difiere de un ejercicio en que el resolutor no tiene un procedimiento o algoritmo que le conduzca con certeza a una solución (p. 195).

Goldin, 1982

Plantea que un problema es una tarea para la que no existe un algoritmo que determine fácilmente por completo los métodos de solución. Una tarea es un problema cuando se detectan pasos o procesos entre el planteamiento de la tarea y la respuesta (1982, p. 97) Goldin (1982) realiza un análisis específico de las variables sintácticas, de contenido y de contexto, estructurales y heurísticas que inciden en la dificultad de para resolver problemas de estructura matemática.

Nota: definiciones tomadas de Pontón (2012, p. 12).

De acuerdo con la tabla 2.3.1 en un problema hay que determinar el modelo de tratamiento matemático adecuado a la solución de éste, mientras que un ejercicio ya tiene el procedimiento o algoritmo que se debe dar solución. En la siguiente tabla, se muestra un ejemplo de ejercicio y de problema:

Tabla 2.3.2

Ejemplo de un problema y un ejercicio

Ejercicio Problema

3 × 30000 = Andrés pagó por 3 camisetas $90000 ¿Cuánto debe pagar si compra 5 camisetas?

Ahora bien, hablaremos de enunciado de problema multiplicativo cuando el problema comporta una multiplicación o una división como modelo de tratamiento matemático parcialmente instanciado (Vergnaud, 2003). Es decir, que, en un enunciado de problema multiplicativo, por un lado, subyace una estructura semántica de multiplicación (ver tabla 1.1.1) y, por otro lado, está

36 Yerry Londoño Morales dado en un registro de lengua natural o las representaciones de estos enunciados tienen como apoyo el registro semiótico de la lengua natural.4

La presencia del registro en lengua natural se da porque que la variedad de estructuras semánticas de los enunciados de problema multiplicativo es solo posible si éstos están representados en este registro porque, según Duval (1999b), es éste el único que permite cumplir la función metalingüística de la reflexividad discursiva la cual consiste “en señalar el valor, el modo o el estatus para una expresión por parte de quien lo enuncia” ( p. 84), es decir que es en el registro de lengua natural donde el enunciado de problema multiplicativo se sitúa con respecto a otros enunciados de este tipo, de acuerdo al interés que el autor haya colocado en el enunciado o incluso en la relación que quiera establecer con el lector del enunciado.

Lo anterior implica que los enunciados de problemas multiplicativos que se discutirán en este trabajo son de orden semántico desde lo que se evocan en el enunciado de problema, además cada enunciado responde a la estructura sintáctica 𝑎 × 𝑏 = 𝑐 (Maza, 1991; Verganud, 2003); sin embargo, se consideran las estructuras 𝑎 ÷ 𝑐 = 𝑏 y 𝑐 ÷ 𝑏 = 𝑎 para diferenciar los algoritmos de la multiplicación y la división. Si bien la estructura sintáctica está compuesta por tres cantidades los enunciados problemas multiplicativos son relaciones ternarias o cuaternarias, es decir hay tres o cuatro cantidades involucradas, lo cual se ampliará más adelante.

Aunque los enunciados de problemas multiplicativos se pueden resolver por sumas o restas reiterada hay aspectos propios de los multiplicativos que no se pueden reducir a lo aditivo, estos aspectos irreductibles, que corresponden a la estructura semántica definidas en la tabla 1.1.1, son lo que determinan el campo de enunciados de problemas multiplicativos, puesto que, según Duval (1999a, p. 93), deben ser representativos “de las variaciones estructurales que generen la multiplicidad de enunciados posibles y las variables concomitantes en un registro”. Estas variables hacen aparecer, como se mencionó al inicio de este capítulo (ver numeral 2.2), las dos características (que se traducen en dificultades) que comportan todo enunciado de problema matemático y en nuestro caso el de los multiplicativos:

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- Dificultad a: La descripción de una superposición de dos situaciones: una matemática y otra extra-matemática

- Dificultad b: El cruce de las determinaciones provenientes de dos dimensiones semánticas: de los valores numéricos para las cantidades y de los valores de orden.

Ahora bien, para la definición de los tipos de enunciados del campo de enunciados de problemas multiplicativos se tomaron los aportes de Castro (1994), Castro et al. (1995), Puig y Cerdán (1995), Maza (1991), Vergnaud (2003) y Cid et al. (2004); adicionalmente, se tomaron algunas de las categorías presentadas en los referentes de calidad educativa en Colombia definidos por el MEN que están en los Lineamentos curriculares (MEN, 1998) y los Estándares básicos de competencias (MEN, 2006).

Los tipos de enunciados de problemas multiplicativos son:

2.3.1. Comparación. Denominado también como factor multiplicante, por Brown (1981; citado