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22 Yerry Londoño Morales

Tabla 2.1.4

Funciones discursivas de una lengua

Tipo de función ¿Qué permite?

Referencial Designar objetos

Apofántica Decir alguna cosa sobre los objetos que se designan, bajo la forma de una proposición enunciada

Expansión discursiva

Vincular la proposición enunciada con otras en un todo coherente (descripción, inferencia...) y

Reflexivilidad Señalar el valor, el modo o el status acordado para una expresión por el que la enuncia.

Nota: Tomado de Duval (1999b, p. 84)

La función referencial es la que me permite designar los objetos en una lengua, por ejemplo, en la figura 2.1.3 el “24” en el enunciado de problema multiplicativo me designa el objeto matemático que me representa el número evocado. Como solo el 24, en el enunciado problema, no me permite una actividad discursiva es necesario poder decir algo de ese objeto designado en una proposición (unidad apofántica), o sea que la lengua debe permitir la función apofántica, de ahí que en enunciado problema de la figura antes mencionada se dice algo del objeto designado “Julio tiene 24 caramelos”.

La función de expansión discursiva de un enunciado completo permite poder vincular todas las unidades apofánticas a unidad discursiva de tal manera que tenga continuidad y esté en un todo coherente, entre ellas encontramos: relato, descripción, explicación, comentario, argumentación, cálculo, etc. (Duval, 1999b). En la figura 2.1.3 todo el enunciado de problema es una expansión discursiva dado que describe una situación (real o no) que acontece.

Finalmente, la función de reflexividad, según Duval (1999b), permite situar el enunciado completo con respecto a otros enunciados de este tipo, de acuerdo con el interés que el autor haya colocado en el enunciado o incluso en la relación que quiera establecer con el lector del enunciado. Para el enunciado de problema multiplicativo de la figura 2.1.3 se puede situar dicho enunciado con relación a otros enunciados multiplicativos, de acuerdo con el tipo de estructura semántica que se definieron en la tabla 1.1.1 del capítulo 1.

23 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas 2.2. La comprensión de los enunciados de problemas matemáticos: la tarea de conversión

De acuerdo con Duval (1999a, p. 90) “todas las dificultades relativas a los problemas se basan principal sino exclusivamente en la comprensión de los enunciados de esos problemas”. Para este trabajo la comprensión matemática presume la coordinación de al menos dos registros de representación semiótica (Duval, 2016). En otras palabras, el comprender un enunciado de problema matemático, y en particular los problemas multiplicativos, lleva inmersa la tarea de conversión porque resolver estos enunciados se movilizan simultáneamente varios registros de representación: el registro salida que está dado en lengua natural y el registro de llegada que puede estar dado en registros semióticos como numéricos, figurales (uni, bi y tridimensionales), tabulares, etc.

Es decir, que a los estudiantes se les presentan dos planos de la actividad de resolver un enunciado de problema matemático, el plano de un enunciado como tarea a realizar y el plano de un cálculo como solución a esa tarea.2 _{El paso de un plano a otro puede tornase fácil o imposible para el}

estudiante pues todo depende si la tarea de conversión que el estudiante realice a los registros involucrados (de salida y de llegada) sea congruente o no (Duval, 1999a, 1999b, 2016). En otras palabras, las dificultades en la resolución de problemas radican es su comprensión (cambio de registro para poder solucionarlo) y no en los cálculos realizados, sin demeritar la importancia del uso adecuado de las reglas de conformidad propias de cada sistema de signos de cada registro para realizar sus tratamientos.

De acuerdo con lo anterior, es en la conversión que se pone el peso de la comprensión y esto lleva a cuestionarse ¿en qué consisten las dificultades de la conversión para resolver enunciados de problemas matemáticos, y en particular los enunciados de problemas multiplicativos? Estas dificultades, según Duval (1999a), se basan en una doble dificultad:

2 _{Se entiende por tarea como lo expresa Carroll (1993, citado por Acosta y Vasco, 2013, p. 49) a “cualquier actividad}

en la que se involucra una persona, dado un marco apropiado, con el fin de lograr una clase determinada de objetivos, resultados finales o situaciones terminales. Se debe entender, sin embargo, que dicha «finalidad» es solo relativa; el resultado final o el estado podría llevar solo a otra terea, ya sea una repetición de la misma o una diferente”. Es decir, una tarea es una mediación para acciones intencionadas; que se puede entender también como una forma de canalizar las interacciones de los estudiantes y el docente (Obando, 2015).

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Dificultad a: Todos los problemas extra-matemáticos superponen dos descripciones en un mismo enunciado: una, es la descripción de una situación no matemática que se pretende modelizar (situaciones de ganancia y perdida, de compra y venta, de repartición, de comparación, etc.), y la otra descripción, corresponde a la de un modelo de tratamiento matemático parcialmente instanciado por valores numéricos (de tal manera que se puedan encontrar los otros). Ejemplo:

El problema anterior, involucra dos cantidades, donde la situación extra-matemática es la comparación de la edad de dos sujetos (Claudia y Teresa). El modelo matemático instanciado resultan de la comparación de orden multiplicativo, y no aditivo, de estas cantidades (3 × 14 =

42).

Dificultad b: Los objetos pertinentes (es decir, las unidades cognitivamente pertinentes en el enunciado del problema) que han de retenerse para la resolución de un problema extra-matemático siempre están definidos por el cruce de las determinaciones relevantes de dos dimensiones semánticas diferentes, la dimensión semántica de los valores numéricos para las cantidades y la

dimensión semántica de los valores de orden para los eventos, las transformaciones. Para Duval (1999a), las unidades cognitivamente pertinentes en una representación semiótica A, del registro de salida, son aquellas unidades significantes de dicha representación cuya variación también provocan un cambio en la representación semiótica B, del registro de llegada.

Para el ejemplo mencionado anteriormente, la dimensión semántica de los valores numéricos corresponde al significado que toman los números connotativamente, de acuerdo con el contexto en que se sitúa el enunciado de problema. Así, el 3 es un escalar que me indica la cantidad de veces que se repite la edad de Teresa para obtener la edad de Claudia, mientras que el 14 es la medida que me cuantifica la edad de Teresa. La dimensión semántica de los valores de orden está definida

25 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas por la disposición temporal en que se enmarcan las unidades significantes determinadas en el problema.

En lo que respecta a las unidades cognitivamente pertinentes en el ejemplo anterior, U1 es una

unidad cognitivamente pertinente cuando su variación provoca un cambio en la representación semiótica de salida. Si se cambia en U1 “3 veces más” por “la tercera parte de”, entonces tenemos

una variación en la representación del registro de llegada puesto que la edad de Claudia no correspondería a 42 años.

De acuerdo con esta doble dificultad que en marca la conversión de todo enunciado de problema deja en evidencia que la comprensión de un enunciado no es una tarea espontánea. Así mismo, la comprensión de un enunciado de problema matemático está determinada por las interacciones entre las variables relativas al lector y las variables relativas a la redacción del texto, dicha interacción me determina las posibles situaciones de lectura que se pueden presentar en la comprensión de un enunciado de problema (Duval, 1999b), como se muestra en a figura 2.2.1.

26 Yerry Londoño Morales 2.2.1. Variables de la redacción. Éstas dependen de la interacción entre el contenido cognitivo

del enunciado problema (es decir relativo a los conocimientos expresados) y la

organización de la redacción (plano lingüístico) del enunciado problema (Duval, 1986, 1999b).

Contenido cognitivo. Tanto en las aulas de clase como en los textos escolares de matemáticas son presentados enunciados de problemas matemáticos similares o que creemos tienen igual contenido cognitivo, no obstantes estos enunciados similares en su mayoría evocan diferentes costos cognitivos (conocimientos necesarios para la solución del enunciado), temas tratados o contendido cognitivo. Duval (1999b) afirma que el contenido cognitivo de un enunciado:

“se define generalmente como el conjunto de los conocimientos que son necesarios para la comprensión del tema tratado, independientemente de los que el texto movilice o presente. Dicho de otra manera, el contenido cognitivo está definido en referencia a los conocimientos de que dispone un experto sobre el tema tratado. […]. Entonces, el contenido cognitivo de un texto debe ser definido en tanto que invariante de un conjunto de variaciones redaccionales, potenciales o efectivamente realizadas en diferentes versiones”. (p. 271; cursiva propias del autor).

Ejemplo:

Tabla 2.2.1

Enunciados de problema multiplicativo con diferente contenido cognitivo

Problema de comparación en contexto de compra-venta.

Problema de proporcionalidad directa simple en contexto de compra-venta.

María vende lápices a $500 cada uno. Si Pedro vende el doble del lápiz que María y ha vendido 4 lápices ¿Cuántos lápices vendió María?

María vende lápices a $500 cada uno. Si Pedro compró 2 lápices a María ¿Cuánto dinero recibió María?

Nota: Ejemplo de enunciados de problema multiplicativo de igual contexto y diferente contenido cognitivo.

27 Maestría en Educación, énfasis en Educación Matemática - Universidad Distrital Francisco José de Caldas En la tabla 2.2.1 se muestra dos enunciados con igual contexto de compra-venta donde interviene los mismos sujetos, pero cuyo contenido cognitivo son distinto pues su estructura semántica son distintas: una comparación y otra proporcionalidad directa simple. Es necesario aclarar que el contenido cognitivo de un enunciado problema matemático no se debe confundir con la base de conocimientos que dispone el lector.

Organización de la redacción. Una aprehensión de la organización de la redacción de un enunciado de problema matemático es la que permite el acceso al contenido cognitivo (Duval, 1986, 1999b), es decir que la organización de la redacción de un enunciado es la estrategia utilizadas por el autor del enunciado para que el posible lector, o sea el estudiante que debe resolver el problema, objetívese el conocimiento movilizado. Dicha estrategia, según Duval (1999b), está determinada por los tres factores de la variación de la redacción de un enunciado de problema matemático, que corresponden esencialmente a la manera como es explicitado el contenido cognitivo del texto.

El primero es relativo a la escogencia de elementos (objetos, relaciones, estados de hecho...) que son explicitados […]. El segundo, más trivial, es relativo a la escogencia de las expresiones referenciales o apofánticas para tematizar los elementos que se quiere explicitar. El tercero concierne el orden de presentación de los elementos explicitados. Este orden es evidentemente un orden de tematización que se refleja en el orden de sucesión de las frases. (Duval, 1999b, p. 272-273)

Así pues, la organización de la redacción de un enunciado de problema matemático puede ser modificada según estos tres factores de variación sin que se altere el contenido cognitivo del enunciado (Duval, 1999b), es decir que se pueden obtener diferentes organizaciones de la redacción de un enunciado problema con el mismo contenido cognitivo. Ejemplo:

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Tabla 2.2.2

Enunciados de problema multiplicativo con diferente organización de la redacción.

Enunciado de porlema A Enunciado problema B

¿Cuánto dinero recibió Maria de Pedro? Si Pedro le compró 2 lápices por el valor de $500 cada uno.

María vende lápices a $500 por unidad. Si Pedro compró un par de lápices a María ¿Cuánto dinero recibió María?

Nota: Ejemplo de enunciados de problema multiplicativo de igual contenido cognitivo y diferente organización de la redacción.

En el ejemplo de la tabla 2.2.2, observamos que en el enunciado de problema B, el primer factor de la variación de la redacción corresponde a los elementos que son nombrados, estos son: María, cada uno, $500, compra-venta, lápices, entre otros.

El segundo factor de la variación de la redacción corresponde a las tres unidades apofánticas que tematizar los elementos que se quiere explicitar, estas unidades son: U1:

María vende lápices a $500 cada uno, U2: Si Pedro compró 2 lápices a María y U3: ¿Cuánto

dinero recibió María?

El tercer factor de la variación de la redacción corresponde a la progresión en que se determinan la concatenación de cada una de las unidades apofánticas, para el ejemplo que tratamos es 𝑈₁ → 𝑈₂ → 𝑈₃.

En lo que respecta a los dos enunciados problemas multiplicativos de la tabla 2.2.2 tiene igual contendido cognitivo, pero diferente organización de la redacción, dado que entre los enunciados A y B se modifica la organización de la redacción al: 1) explicitar más los elementos de su contenido cognitivo, como es el caso que se especifique de quién recibe dinero María en enunciado A o la palabra “par” en el enunciado B se convierta en un registro diferente en el enunciado A. 2) El enunciado A sigue un orden diferente de presentación al enunciado B.

2.2.2. Variables relativas al lector. Éstas dependen, según Duval (1986, 1999b), del estudiante