7.1 TOE Security Functionality
7.1.3 Packet filter
En primer lugar expondremos las nociones básicas sobre la distancia eu clidiana y después estudiaremos algunas propiedades. Terminaremos estable ciendo las bases de la geometría analítica afín euclidiana.
D efinición 9.1 (Espacio afín eu clidiano y d ista n c ia eu c lid ia n a ) Un es
pacio afín euclidiano, es un espacio afín E, que tiene por' espacio vectorial asociado un espacio vectorial euclidiano E . Se llama distancia entre los pun tos (elementos) a y b de E al número:
d(a,b) = ||a6|| = ^a6, ab^
donde (.,.) es el producto escalar en E . La aplicación d : E x E —* R se denomina distancia euclidiana.
En la siguiente proposición elemental mostramos que (E, d) es un espacio métrico y que se verifica el teorema clásico de Pitágoras.
P ro p o sició n 9.2 La distancia euclídea definida en 1.1, verifica para todo
a,b,c € E las siguientes propiedades i. d(a, b) > ü, y d(a, b) = 0 <=> a = b. ii. d(a,b) = d(6,a).
iii. d(a, b) +d(b,c) > d(a,c) (Propiedad triangular)
iv. ab 1 be & rf(a,c)2 = d(a,b)2 + <f(6,c)2 (Teorema de Pitágoras) D em ostración.
Las propiedades i), ii) y iii) son consecuencia de las propiedades de la norma:
i) d(af b) = ||a6|| > 0 y (¿(a, b) — 0 <& ||a6|| = 0 ^ a 6 = 0 < ^ a = 6. ii) d(ayb) = |ja6|| = ||(-l) f ta || = |- 1 | ||6a|| = ||6a|| = d(6,a). iii) d(a,c) = ||ác|| = ||a& + fec|| < ||a6|| + ||fec|| = d(a,b) + d(b,c). Probaremos iv), es decir el Teorema de Pitágoras.
Por una parte:
d{a, c)2 = ||ac||2 = (ac, ac) = ^a6 + 6c, a6 + 6c^ =
(ab, ab^ 4- ^6c, 6c ^ + 2 ^a6, be^ =
= jja6|j + |6 c | + 2 ^a6,6c ^ = d(a, 6)2 + d(6,c)2 -i- 2 ^aí, 6c^ . Así d(a, c)2 = d(a, 6)2 + d(6, c)2 si solo si (a b ,6c ^ = 0, es decir ab 1 6c. □
Un espacio métrico es una pareja (E, d) donde E es un conjunto y d : Ex E -+ R es una aplicación que verifica las propiedades i), ii) y iii) anteriores y que se denomina distancia.
Fijados dos subconjuntos A y tí no vacíos de un espacio métrico (E,d), se define la distancia entre ambos subconjuntos por:
d(A , B ) = ínf{d(a, 6 ): a 6 A, b e B}.
Para dos subconjuntos cualesquiera A, B no se puede asegurar la existen cia de dos puntos a € A y 6 € B que proporcionan la mínima distancia entre
los conjuntos A y B, es decir de modo que d(A, B) — d(a, 6), a no ser que se impongan restricciones topológicas (por ejemplo que A y B sean compactos) o conjuntistas (si A O B / 0 , basta tomar x € A n B, para tener d(x, x) = 0 con x 6 A }x £ B). Hay condiciones geométricas que pueden asegurar que existan puntos que den la distancia mínima, por ejemplo que los conjuntos sean subcspacios, esta será la propiedad que demostraremos a continuación. Por ejemplo si nos encontramos en el plano, A = {a} es un punto y B una recta, la distancia mínima se alcanza entre a y la intersección de B con la recta cuya dirección es ortogonal a la dirección de B y que pasa por a (figura 9-2). Veremos como esta idea se puede generalizar.
P ro p o sició n 9.3 (D ista n c ia e n tre su b e sp ac io s) Sea E un espacio afín
euclidiano de dimensión finita n y A, B dos subespacios no vados de E, tales que A í) B = 0 . Entonces existen puntos a £ A y b € B tales que el vector ab es ortogonal a A y a B .
Además s i a t A y b ^ B d e modo que el vector ab es ortogonal a A y a B entonces
d(a,b) = d (A f B ).
En la figura 9-3 hemos representado lo que dice la proposición anterior cuando E es el espacio afín euclidiano tridimensional y A y B son rectas que se cruzan, es decir que A i) B = 0 y que no son paralelas.
A
1
/ / ■
d(A,B) ■■ IÁ
= d(a,b) Figura 9-3 D em ostración.Por la fórmula de las dimensiones para el caso de subespacios con inter
sección vacía (proposición 3.12 en la página 52) se tiene: diin(i4 4- B ) = dim( A + B ) + l < n = dim E.
Por lo tanto la dimensión de A 4- B es estrictamente menor que n y así
A 4 B está contenido en E pero es distinto de E.
Sea (A -H B )1 el ortogonal de A 4- B , es decir (A + B )® ( A + B )1 = £ y
(A + ~B) 1 (A 4- ~B)l · Entonces, como ( A + B )(B (A 4- B )1 = E y (A 4 B)
no es todo É , (j4 4* B ) L ¿ { 0 }. Llamamos
( ^ + b)i =
—4
Sea x e A, denominamos el espacio afín U a x + U cuya dirección es
U y que pasa por x. Por o tra parte la dirección de A + U es A 4 U , pues A fl U ^ 0 , ya que x 6 A fl U.
Por otro lado como A n A 1 = { 0 } entonces A n U = A D( A 4- B ) 1 =
~A n ( A L D 1bl )= { 0*}. Entonces
dim(i4 + U) = dim(^4 4- V ) = dim A + dim U - dim A fl U —
— dim A 4- dim U — dim{ 0 } = dim A 4- dim U — 0 =
= dim A -I- dim U = dim A + dim U.
Para probar que existen puntos a € A y b 6 B con ab € A 1 D B 1 =
(A 4- B )l = U basta probar que:
(A + U ) H B ¿ 0 .
En efecto, si b 6 (A + U) n B , b € B y b = Xy 4- (1 - A)[x + 1?], y e A y
~u € U, con lo cual
a = Xy 4- (1 - A)x G A y ab e A 1 D B 1 = U .
Veamos ahora que {A 4- U) O B ^ 0 . Supongamos lo contrario, es decir,
(A + U ) n B = 0 . Como (A + ZJ)1 = U y (A 4- B )@ (A + B ) 1 = E , luego:
í? = ^ + S + Z/ = m + í; ) + ¿?.
Por la fórmula de las dimensiones (caso de intersección vacía) se tiene: dim [(A + U) + B] = d im [J+ 7 7 + B] + 1 =
dim[i4 + Z? 4- (/] 4- 1 = dim £? + 1 Lo que es absurdo, por tanto (A 4- U) fl B ^ 0 .
Por último hemos de probar que si a € A y b € B de modo que ab €
A 1 D B 1 entonces d(a, 6) = d(j4, # ). Sean entonces a € A y b € B de modo
que ab e A 1 (1 B 1 . S i x € A e y e B se verifica:
d(x,v) = 11*3/11 = P +
(xa+ &j/)||
.Como x a + í>¡/ e 3Í + ¿?, ¿Se 3Í1 n ¿ í1 = ( / í + B )-i , se tiene que ab es ortogonal a ¿ a 4- by y por el Teorema de Pitágoras:
fey|| = d(a, fe)2 + ||xa + fej/||2 Así se concluye que c/(x, y)2 > <f(a, fe)2 para todo par x € A ,y € B. Luego
Vamos a term inar esta sección estableciendo un resultado que tiene gran importancia geométrica, nos dice que las rectas y por tanto la geometría afín viene determinada por la distancia. Como consecuencia dada una métrica o una distancia en un espacio, si hay una estructura afín respecto de la cual esa métrica es la m étrica euclidiana tal estructura afín es única.
Proposición 9.4 Sean a, fe dos puntos distintos del espacio afín euclídeo E,
el segmento definido por ambos es por definición:
d(a,fe) = d(A, B).
□
[a, 6) = {(1 - A)a + Afe : 0 < A < 1}
Sea x un punto de E , entonces
x € [a, fe] <=> d(a, fe) = d(a, x) + d(i:, fe).
á(a.b) d(x,b)
►
dja.b)
Figura 9-4
D em ostración.
= * ) Si a; € [a, fe] se tiene que existe A € [0,1] de modo que:
De la igualdad anterior se tiene que:
ax = Xab y fex = (1 - A)ba.
Como A > 0 y l - A > 0 , tenemos:
d(a,x) = ||53|| = | | a ^ | = a | P | | = A d(a,b),
d(x,b) = d(b,x) = ||(1 - A)fea|| = (1 - A) ||fea||
= (1 - A)<¿(6, a) = (1 - A)d(a, fe). y por tanto:
d(a, fe) = Ad(a, fe) + (1 - A)d(a, fe) = d(ay x) + d (x , fe).
<í=) Supongamos ahora que x es un punto de E que satisface:
d(a, fe) = d(a, x) + d (x, fe).
Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad. Por una parte: <¿(a, fe)2 = ||afe|| = (ctb, afe^ = (á x + xfe, ax + xfe^ =
(áx, aS) + (xb, xb^ + 2 ^ax, xfe^ = ||ax||2 + ||xfe|| + 2 ^ax, xfe^ . Por otro lado:
(d(a,x) + d(x, 6))2 = (||¿S|| + llxíll)2 =
| | ¿ x ||2
+| | x í | |
+ 2||áx|| | | i S | | .
Igualando los dos resultados obtenemos:
(ñ x ,x b ^ = ||áx|| ||xfe|
Por tanto (a x ,x b ^ > 0 (producto de ||áx|| > 0 y ||xfe|| > 0) y se verifica la “igualdad” en la desigualdad de Cauchy-Schwartz ((~v, v í)2 < \\~v\\2 || w ||2)· En la lección anterior se enunció la propiedad que nos dice que si se da la
A, la.b] A,
Figura 9-5
igualdad” en la desigualdad de Cauchy-Schwartz es por que los dos vectores involucrados son proporcionales, es decir existe k e R, de modo que:
áx = kxb,
y como (ax, 2 ) > o , se tiene que
( a x , xb^ ^ kxb, x6^ = fc ^x6, x6^ = fe ||x6|| > 0,
luego fc > 0.
Como ax = fcx6, se tiene (operando en E) que a - x = fc(x - 6), luego (1 + k)x = a + kb, de donde
1 fc .
x = --- -a + --- rb. 1 -f k 1 + k
Llamando A = tenemos que x = (1 - A)a + Afc, y de la propiedad que
k > 0 se tiene que A 6 [0,1]. Con lo que x 6 [a, 6]. □
Observación 9.5 De modo parecido a como hemos demostrado el resultado
anterior se puede describir toda la recta que pasa por dos puntos distintos a, b de E , utilizando sólo la distancia. Más precisamente, dicha recta es:
[x 6 E : d(6, x) = d(a, b) + d(a, x ) } U {x € E : d(a, 6) = <¿(a, x) + d(x, 6)}U
U{x € E : d(a, x) = d(a, 6) + d(b, x )} = Ai U [a, 6] U A2.
Observación 9 .6 La descripción anterior da un criterio para determinar
las rectas afines, en el que solo interviene la distancia eudidiana. Recordan do que en el caso de espacios afines sobre el cuerpo R, la estructura afín viene determinada por la fam ilia de rectas, se puede afirmar que la distancia euclidiana determina la estructura afín del espacio.
Una isomelría entre dos espacios métricos (E,d) y (E ',d f) es una aplica ción sobreyectiva / : E —► E* que preserva la distancia, es decir:
d?(f(a),f(b)) = d(a,b), pura todo par a,b e E.