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U na aplicación entre entro espacios afínes que actúa respetando la estruc­ tu ra afín de am bas, se denom inará aplicación afín. Del mismo modo que los subespacias afines se definen m ediante los subespacios vectoriales, las aplica­ ciones afines lo hacen por medio de aplicaciones lineales.

Los símbolos X , X X " , etc designarán a p artir de aquí espacios afines

con direcciones los espacios vectoriales X , X ', X " , etc, definidos sobre el

mismo cuerpo K (R o C), denotándose (en todos los casos) por todas las correspondientes aplicaciones que dan las estructuras de espacio afín. La notación de vector ab, y de punto a + ~v será m antenida indistintam ente en cada uno de los espacios afines.

D e fin ic ió n 4.1 (A p lic a c io n e s a fin e s) Una aplicación f : X —> X ' entre

espacios afines, se llamará afín, si existe una aplicación lineal f : X —► X ' tal que:

De forma equivalente, ya que y = x + xy, f : X —> X ' es afín, si existe una aplicación lineal f : X —+ X ' tal que:

f( z ) f( y ) = / (í$) Pa™ lodo x y y € X.

Se llama a f aplicación lineal asociada a f . Obsérvese que f es la dife­ rencial de f para los ejemplos 1 y 2 de 2.4·

O bservación 4.2 Si f : X —> X ' es una aplicación (no necesariamente

afín), fijado a € X , y llamando a* = f(a ), podemos construir una única aplicación f a - X —* X'> que hace conmutativo el siguiente diagrama:

X X ' a*· 1

L (4.2.1)

—*

X fa ~X' y viene definida por la condición:

= f{ a )í{ x ) o bien f( a + ~v) = /( a ) + f n(~v) para todo x 6 X y todo v € X .

Obsérvese que, en general, f a depende de a (es decir, f a ^ f¿) y puede no ser una aplicación lineal.

Se tiene el siguiente resultado:

P roposición 4.3 Sea f : X —> X* aplicación entre espacios afines,

i) Si f es afín entonces f a = f para todo punto a e X .

ti) Si existe a 6 X tal que f a : X —> X ' , es lineal, entonces f es afín, y

7 = /a-

D em ostración.

i) Si / es afín con lineal asociada / , por la Definición 4.1 y la observación 4.2, se tiene que para todo punto a de X y todo vector ~v de X :

por tanto / a ( 7 ) = f( lu ).

ii) Si /«: X —► X* es lineal, entonces para todo x, y 6 X se tiene: /( * ) /( » ) = /( * )/(« ) + f(o )f(y ) = M W -

= /«(óy) - /a(ó3) = /a(ay - a x ) = / a(xy), y dado que / a es lineal, / es afín y además / a = / . □

P ro p o sic ió n 4.4 (P ro p ie d a d e s) 1. Una aplicación afín f : X —► X ' de­

termina unívocamente su lineal CLSoeiada f .

2. Dos aplicaciones afines f , g : X -> X ' coinciden si f = ~g , y existe

a € X tal que /( a ) = </(a).

3. Si i ) : X X* es lineal, a 6 X , c' 6 X ', /a aplicación: f : X 3 1 = 0 + 0 2 - + ^ + ^ (á J) € X r

es a/fn, y tiene por lineal asociada f =ip.

i. Si a! es un punto dado de X ', la aplicación constante: k : X 3 x - a' G X '

es a/ih, y su lineal asociada es la aplicación lineal nula O : X —► X ;, gue a ¿odo uecíor de X hace corresponder el vector nulo de X '.

5. Si f : X —► X ' es aplicación afín, entonces f es inyectiva (respectiva­ mente sobreyectiva) si y solo si lo es f .

D e m o stra c ió n .

1. La aplicación lineal asociada es f Q donde a es cualquier a G X y hemos visto por i) de 4.3 que no depende de a.

2. Si x € X , tenemos que f ( x ) = J(a + ax) = f(a ) -I- / (ax) = g(a) + / (áx) = g(a) + ~g (áx) = g(a + ax) = g(x).

3. La aplicación f a = i> que hemos supuesto que es lineal. Entonces, por 4.3 ii) / es lineal y / = ip.

4. Obsérvese que para todo i , j / 6 X , k(x)k(y) = a!a! = O7, luego podemos tom ar k = O y como O es aplicación lineal, tenemos que k es afín.

Definición 4.5 a) Una aplicación afín f : X —> X ' se denomina isomorfis­ mo afín, si es biyectiva. Los espacios afines X y X f se dicen isomorfos, si existe un isomorfismo afín entre ellos.

b) Una aplicación afín f : X —* X sefú denominada endomorfismo afín. Se denotará por E A (X ) al conjunto de todos los endomorfismos afines de X .

c) Un endomorfismo afín de X que sea isomorfismo se llamará transfor­ mación afín o automorfismo de X . Denotaremos por G A (X ) al conjunto de dichas transformaciones.

O bservación 4.6 1. Utilizando la propiedad 5 de 4-4> un endomorfismo afín

f : X —> X ' es isomorfismo si y solo sí f : X —► X ' es isomorfismo lineal. Por otra parte, teniendo en cuenta la Proposición 4 3 i) y el diagrama conmutativo (4-2-1) con (fa = / ), se prueba que si f es isomorfismo afín también lo es f ~ l, y f ~ l = f ~l .

2. Los espacios afines X y X ' son isomorfos si y solo si tienen la misma dimensión. Efectivamente si X y X ‘ son isomorfos, también son isomorfos X y X ' luego dini X = dim X \ con lo cual dim X = dim X = dim X ' = dim X ‘. Por otro lado, si dim X = dim X e n t o n c e s dim J t = dim X ' y existe un isomorfismo f : X -* X f. Tomando ahora a 6 X y af G X f y definiendo f(a + ~v) = o! + / ( 7 ) , tenemos por 4-4 apartado 5, una aplicación afín que por ser f isomorfismo, es isomorfismo afín.

E jem plos 4.7 1. Las aplicaciones afínes entre espacios vectoriales V y V 1 (sobre el cuerpo K) son suma de un vector constante y una aplicación lineal. De forma más precisa, si / : V —► V1 es afín, queda:

/ : V B x - v ' + 7 ( x ) e V'.

Donde v* G V* es la imagen del vector 0 G V por / , y / : V - ♦ V ' es la aplicación lineal asociada.

2. Proyecciones afínes.

Imagínese por ejemplo que tí es un plano en el espacio y que D es la recta vectorial generada por un vector que no esté en la dirección de B. Mantenga en mente este ejemplo en todo el desarrollo que viene a continuación.

En primer lugar observamos que para cada x e X , los subespacios atines

B y x+ O se cortan en un punto. En efecto, por una parte si (x+ D )n tí = 0 ,

por la fórmula de las dimensiones de la Proposición 3.12 en la página 52 se tendría:

dhn(tí + (x + D)) = diin B + dim D + 1 = diin X + 1 > dim X

lo que es absurdo.

Por tanto (x + D) n B ¿ 0 , y como (x + ~D) n~tí = l j n~tí = {O}, recuérdese que X = tí ® £), entonces (x + D) O tí es un punto.

Definimos para cada x e X , tt(x) = (x + D) n tí. Probaremos que la

aplicación 7r : X —► X es aplicación afín, cuya lineal asociada es la proyección vectorial ~ n - ^ - ^ : X —► X con base tí y dirección D.

Fijemos un punto b € tí. Como 6 € (b + D) H tí, se tiene que 7r(b) = b. Dado x € X y por la definición de 7r, el punto 7r(x) está e n i + D y por tanto x7r(x) e D. Se tiene así:

bx = bn(x) + 7r(x)x, y como 6, 7r(x) € tí,bn(x) e tí y 7r(x)x € D.

Por cómo se define proyección vectorial, -ft(bx) = bn(x) = 7r(6)7r(x).

Por la Proposición 4.3 ii) se concluye que 7r es afín y que 1? = nt, = ~n ¿3. La aplicación afín 7r : X —► X se denomina proyección afín de base tí y de dirección D .

3. Reflexiones afines.

Sea 7r : X —► X , como en el ejemplo anterior una proyección de base tí

y de dirección D. Se define la reflexión afín a : X —* X con base tí y de

dirección D por la fórmula:

a : X 3 x —► cr(x) = 7r(i) 4- x t(x)€ X (véase la figura 4-2)

Vamos a probar que a es aplicación afín, con transformación lineal aso­ ciada <7 = 2!r - id, que es precisamente la reflexión vectorial de base tí y dirección D.

En efecto, fijado b 6 B, como n(b) = 6, se tiene que <r(6) = n(b) + ¿nr(&) =

b + bb = 6, es decir <r(6) = b. Para cada x 6 X es

¿7(x) = 7r(x) +x7r(xjt luego 7r(a:)a(a:) = x7r(x).

Vamos ahora a ver quien es Ob:

<rb(bx) = a(b)a(x) = ¿^(x) = &7r(:r) + 7r(x)íT(a:) = &7r(x) + x n (x ) = = 67r(x) + xb + 67r(x) = 267t(x) - b x = 21c (bx) - id(bx).

Luego er¿, = 21? - id y por 4.3 ii) se concluye que a es endomorfismo afín, y que ~a = 21r - id.

4. Considérense los modelos analíticos cartesianos A n = >4rl(K), A rn = i4m(K).

T i l I " Xl

Un punto de An será denotado por I , donde x = _{y un}

vector de An será | ^ j .

Esta notación seró mantenida de forma análoga para A m y A ^ . Una aplicación afín / : An —► A m viene determ inada por

—► A m y por la imagen por / del origen de A n: f ' 1 - í 1 1

Figura 4-2 Sea A = «11 «In 0 & m l ··· <hnn & x f = í4 i. Se tiene: € F L (m ,n ) de modo que /

[ ” ] -

y el sistema z'i - a¿ + S a*jx: j representa las ecuaciones de / .

j =i

1 = f1

1

1

x a i4

La ecuación /