Se ha realizado un análisis en frecuencia del PLL multiplicador para obtener sus funciones de transferencia. Los modelos y la forma de realizar el análisis en frecuencia se encuentran descritos en el anexo 1. De estas funciones tres de ellas son especialmente importantes.
En primer lugar, la función de transferencia entrada-salida en lazo cerrado. Esta función determina principalmente el ancho de banda del lazo. Este debería ser pequeño para disminuir en la medida de lo posible el ruido de fase a la salida del PLL, y el nivel de espurias procedentes del DDS, tal como se describió en el apartado 3.4. Sin embargo, y como ya se ha comentado en los apartados correspondientes al filtro de lazo y al sistema de ayuda al enganche, nos vemos obligados a utilizar grandes anchos de banda para permitir que el PLL sea capaz de generar señales chirp con elevadas pendientes, y conservar la estabilidad del mismo. Se verá, sin embargo que queda un margen de seguridad que se puede apurar para disminuir el ancho de banda, y paliar en parte este problema. En segundo lugar, la función de transferencia de error. Esta función es importante, dado que informa con que intensidad se atenúa el ruido de fase del VCO dentro del lazo y donde realmente comienza este efecto. Por último, está la función de transferencia en lazo abierto. Esta función, en módulo y fase, es muy importante dado que determina los valores de los márgenes de fase y amplitud para la estabilidad del PLL, pudiéndose de esta manera comprobar el margen que resta para disminuir el ancho de banda.
En la figura 32, se muestra la función de transferencia en lazo cerrado del PLL. El valor de ganancia de la misma es de 36.1 dB, que se corresponde con el factor de multiplicación inducido por el divisor de lazo. Se comprueba que el ancho de banda del mismo es de aproximadamente 630 KHz. Además, se observa un exceso de ganancia de casi 3 dB a una frecuencia de unos 250 KHz. Este exceso de ganancia es debido a que los polos introducidos por los amplificadores operacionales, así como el introducido por el ancho de banda de modulación del VCO, no tienen una frecuencia muy superior al ancho de banda del lazo. La pendiente es de unos -20 dB/década en frecuencia cercanas a la de corte, y para frecuencias alejadas es de unos -60dB/década. Esto último es positivo, siempre y cuando no se comprometa
la estabilidad del lazo, ya que permite una mayor reducción del ruido de fase y de las espurias provenientes del DDS. Es posible reducir el ancho de banda a algo menos de la mitad, siempre y cuando se aumente el valor del condensador del integrador del lazo, lo que se traduce en una disminución de fc, entonces se puede aumentar de forma proporcional la resistencia a la entrada
del integrador, R4, y, por lo tanto, disminuir a Kh, y en consecuencia disminuir el ancho de
banda. El límite para ello está en no pedir una tensión de salida al comparador de fase más alta de que la puede proporcionar al inicio del proceso. Sobre este punto, se volverá hablar en el apartado dedicado al estudio transitorio. También es conveniente, en este caso, aumentar la resistencia, R9, que inyecta la corriente procedente del sistema de ayuda al enganche en el
integrador del lazo en la misma proporción en que se ha aumentado a R4.
Figura 32. Módulo de la función de Transferencia en lazo cerrado del PLL de 450 MHz. La ganancia es de 36.12 dB y el ancho de banda de 630 KHz.
En la figura 33, se muestra la función de transferencia de error. Puede observarse como la pendiente es de -40dB/década con lo que se garantiza una atenuación del ruido de fase procedente del VCO a partir de la frecuencia de corte de al menos 10 dB/década para frecuencias bajas, y de 20 dB/década para frecuencias medias. Comparando las figuras 32 y 33, se puede comprobar que la aproximación típica, realizada en muchos textos sobre PLLs [Wolaver_1991] [Sierra_2003] [Mannasevitch_1987], de que la frecuencia de corte para la función de transferencia entrada-salida y la función de transferencia de error es la misma no se cumple. De hecho, se comprueba como hay una diferencia de aproximadamente 400 KHz entre ambas. Este efecto en la práctica ocasiona excesos de ruido de fase en la zona teórica de cruce entre el ruido de fase de la referencia y del VCO, que son difíciles de explicar cuando se hace uso de la aproximación indicada. La razón para esta diferencia, está en los polos adicionales que existen sobre el sistema de 2º orden teórico, y en la cercanía de la frecuencia del cero, fc, del
integrador al valor del ancho de banda en lazo cerrado.
Por último, en la figura 34, se tiene la función de transferencia en lazo abierto. Se observa que el margen de fase es de prácticamente 50º, y el margen de amplitud de 19 dB, es decir, se tiene un grado de estabilidad razonablemente alto. De aquí que se tenga un margen para disminuir el ancho de banda y, por lo tanto, la estabilidad del lazo. De hecho, reduciendo el ancho de banda a unos 280 KHz, algo menos de la mitad de lo mostrado, y con la consiguiente
Figura 33. Módulo de la función de transferencia de error del PLL de 450 MHz. En este caso la frecuencia de corte de la misma es de aproximadamente 210 KHz.
Figura 34. Módulo y fase de la función de transferencia en lazo abierto del PLL de 450 Mhz. La traza marcada con cuadrados se corresponde con la fase, mientras que la traza con círculos es la correspondiente al módulo. El margen de fase es de 50º y el margen de amplitud es de 19 dB.
En cuanto a la respuesta en frecuencia del PLL cuando se ha utilizado un divisor de módulo 8, el PE3513 de Peregrine, es semejante a la ya vista. La razón para ello, es que se ha utilizado una señal chirp de ∆f = 200 MHz y ∆t = 200 µseg, es decir, con una pendiente ocho veces menor. Esto significa que en principio sería necesaria una tensión a la entrada del integrador ocho veces menor, lo que se traduce en un cambio de elementos para tener un valor de Kh también ocho veces menor. Pero como el factor de división es también ocho veces menor,
y el ancho de banda es proporcional al inverso del módulo del divisor, un factor compensa al otro, y el ancho de banda resultante del lazo es igual. De igual forma, también se pueden hacer aquí las consideraciones relativas a utilizar un ancho de banda menor, del orden de algo menos de la mitad.