3.7. Data Analysis
3.7.1. Qualitative Content Analysis
Contribución al diseño de lazos de realimentación electrónica para microsistemas electromecánicos (MEMS) resonantes: ruido de fase generado en lazos osciladores por sus realimentaciones
comportamiento y el de un oscilador real se asemejan mucho a frecuencias cercanas a f0. De
hecho este circuito L-C, junto con el ruido debido a los mecanismos de pérdidas que la RP no va a eliminar porque no puede hacerlo, servirá para estudiar un oscilador L-C real. Por el desfase de 90° entre tensión y corriente en las reactancias, la tensión en la susceptancia de C es máxima (vo(t)|max = VO) justo cuando la corriente por la susceptancia de L es nula iL(t) = 0 (ver
Figura 3.4). Nótese que hablamos de susceptancias y no de la bobina o del condensador porque estos son dispositivos reales que siempre tendrán pérdidas que formarían parte de (o darían lugar a) cierta resistencia R en paralelo.
Tomando VO = 1 [V] y C = 2 [nF], la Ec. (3.2) indica que la energía almacenada en forma
eléctrica en el instante t = 0 vale UE|max = 1 [nJ] y si en ese mismo instante la corriente en L
fuese nula, la Ec. (3.5) indicaría que la energía en forma magnética es nula también en t = 0. Con este origen de tiempos habría una tensión vo(t)cosenoidal con t y de amplitud 1 [V] que se
mantendría indefinidamente por el intercambio de energía entre L y C, cuyas corrientes serían de igual amplitud, signo opuesto y con la variación senoidal que se muestra en la Figura 3.4. La relación L/C define la amplitud de la corriente iL(t)|max = IL en función de la tensión máxima VO,
porque al igualar las energías dadas por las Ecs. (3.2) y (3.5) tenemos: 𝑉𝑂2 𝐼𝐿2 = 𝐿 𝐶 ⇒ 𝑉𝑂 𝐼𝐿 = � 𝐿 𝐶 = 𝜔0𝐿 = 1 𝜔0𝐶 = 𝑅𝐼𝑛𝑎 (3.15)
ecuación que permite relacionar la Reactancia de Intercambio (módulo RInt) de L o C a f0 con las
pérdidas en R al estar ambas excitadas por la misma vo(t). Cualquiera de las reactancias de
módulo RInt que no representan disipación o pérdida de energía sino la relación entre tensión
senoidal vo(t) y corriente senoidal en cuadratura durante su Intercambio, sirve para ver qué
factor Q resulta al poner en paralelo con ellas una resistencia R que, al sentir esa vo(t), hará
“desaparecer” con el paso del tiempo, energía eléctrica que cambiará de forma pasando a calor. Como la tensión vo(t) es común a R y a RInt, la relación entre los inversos de RInt y R
(conductancias) dará la relación entre potencias reactiva y activa del circuito o factor de calidad, que ya apareció en la Ec. (3.11) y al plantear la Ec. (3.8). Tenemos por tanto:
𝑄(𝜔0) = 𝑄0=𝑃𝑃𝑅𝑑𝑎𝑎𝑎 𝐴𝑎𝑎 = (𝑉𝑂2⁄ )𝜔2 0𝐶 (𝑉𝑂2⁄ )(1 𝑅2 ⁄ ) =1 (𝐶𝜔𝑅 0) ⁄ = 𝑅 𝐿𝜔0 = 𝑅 𝑅𝐼𝑛𝑎 (3.16)
que presenta el Factor de calidad Q0 como el cociente Susceptancia/Conductancia que refleja la
relación entre potencias reactiva y activa en este resonador en paralelo.
Como las susceptancias opuestas de L y C en paralelo se anulan a f0, la resistencia R se
queda “sola”, por lo que el generador i(s=jω0) de la Figura 3.6 no manejará potencia reactiva en
régimen senoidal, aunque sí lo harán la inductancia L o (con un cambio de signo) la capacidad C, cuando actúen como generador de tensión vo(jω0) para el resto del circuito. Por ello, aunque
la RP cambie la resistencia efectiva RFB vista en paralelo con L y C a la frecuencia fFB, estos
elementos y la misma Rsiguen existiendo aunque obtengamos un oscilador a fFB ≈ f0 si logramos
que los efectos de R en un entorno defFBparezca que se desvanecen (RFB ∞) en la Figura 3.7.
Aplicando esta misma RP a una hipotética resistencia R solitaria (sin L ni C) y sin la limitación de que funcione en cierto entorno de fFB, haríamos 𝑅𝐹𝐹→ ∞a cualquier frecuencia, pero el MA
REALIMENTACIÓN DE UN RESONADOR L-C PARA OBTENER UN OSCILADOR
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Contribución al diseño de lazos de realimentación electrónica para microsistemas electromecánicos (MEMS) resonantes: ruido de fase generado en lazos osciladores por sus realimentaciones
ya muestra cierta sensatez al predecir la imposibilidad de este intento, debido a que no podemos muestrear un ruido de tensión vo(t) para reaccionar contra la corriente (causa) que lo produjo
o también porque según el MA, tal ruido no existirá en una R solitaria [3.4] y [3.5].
De esta forma vamos viendo cierta sensatez y algunas ventajas del MA de ruido eléctrico que iremos usando cada vez más y de paso vamos aclarando la sutil tarea que van a llevar a cabo las REs encargadas de cancelar los efectosde R en un entorno de fFB, una tarea
asequible que no es la de “cancelar los efectos de R a todas las frecuencias”. Esto sería como cancelar el ruido Nyquist 4kT/R [A2/Hz] observado sobre R, que con un espectro plano que
supera los 6 THz a T ambiente [3.2], requeriría una Electrónica de ancho de banda aún mayor (𝑑𝑊 → ∞) en la Figura 3.7 para cancelar las rápidas variaciones asociadas con ese ruido.
Igual que sucede con el ruido Johnson de resistores (el ruido de tensión en [V2/Hz] de
su circuito R-C paralelo por estar en circuito abierto), la tensión eficaz del ruido de tensión en el resonador L-C-R es fijada por la capacidad C y vale: kT/C [V2], lo que se demuestra de forma
dual a lo hecho en [3.13] y [3.20] para probar que la corriente cuadrática media de ruido en la inductancia L del resonador L-C-R es kT/L [A2] independientemente de R o del factor Q0 del
resonador. Usando este importante resultado y la Ec. (3.15) que, al relacionar los cuadrados de la tensión máxima en C y de la corriente máxima en L, también relacionará la tensión cuadrática media <vo2(t)> y la corriente cuadrática media en L <iL2(t)> a fFB ≈ f0, se tiene:
𝑉𝑂2 𝐼𝐿2 = < 𝑣𝑜2(𝑡) > < 𝐴𝐿2(𝑡) > = 𝐿 𝐶 ⇒ < 𝑣𝑜2(𝑡) >= 𝐿 𝐶 × 𝐾𝑇 𝐿 = 𝐾𝑇 𝐶 [𝑉2] (3.17) resultado que permite usar el mismo valor eficaz kT/C [V2] de ruido en el resonador tanto con su
factor nativo Q0 en ET, como cuando ese factor de calidad sea modificado por la RE del lazo si
no hay aportación adicional de ruido por esa electrónica.
Según [3.4] y [3.22] las Acciones Térmicas (ATs) sobre C que generarán ruido de tensión superpuesto a vo(t) en el resonador L-C-R serán corrientes de desplazamiento creadas
en C por cada llegada repentina de un electrón de carga q a una de sus “placas”, que generará un escalón de tensión de q/C [V] en C. Como se muestra en [3.22] ese escalón de tensión entre los terminales de C es instantáneo. Así tenemos un ruido de carga o ruido de corriente de tipo impulsivo que es integrado en el tiempo por C y que, si modulase en fase a la portadora existente en el resonador, sería la modulación FM por ruido impulsivo que ensanchaba la línea del espectro de salida como vimos en el Capítulo 2. Como veremos en la próxima Sección, esta modulación ocurre debido a la evolución temporal del resonador tras la aparición de cada escalón. Por ahora diremos que estos escalones de q/C [V] reflejan Fluctuaciones de energía eléctrica de q2/(2C) [J] cada una que surgen aleatoriamente en el resonador y que decaerán en
forma oscilante amortiguada según resulta de las dos frecuencias complejas s = σ±jω con σ
negativo y ω ≈ 2πf0 que aparecen a partir de la Ec. (3.7) cuando el resonador es excitado por
señales i(s) de tipo impulsivo. Estas respuestas impulsivas, mostradas en la Figura 3.8, sugieren que la RE que debe cancelar los efectos de R en un entorno de fFB y que no tiene el
ancho de banda (𝑑𝑊 → ∞) ya comentado, no va a poder evitar el brusco escalón inicial de tensión, de amplitud q/C [V], de cada respuesta de la Figura 3.8 que “nace” en C. Es decir: la RE del oscilador, aunque haga bien su trabajo de mantener la amplitud de la oscilación, no puede