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Contribución al diseño de lazos de realimentación electrónica para microsistemas electromecánicos (MEMS) resonantes: ruido de fase generado en lazos osciladores por sus realimentaciones

térmica de energía. Esta idea sugiere que la señal vo(t) senoidal y periódica de la Figura 3.12

está sometida a un bombardeo de ATs a medida que pasa el tiempo t, que van aportando contribución a la varianza de la fase de vo(t) de forma lineal y creciente con t a razón de λ veces

la Ec. (3.35) por segundo en promedio. Así pues, una vez que empieza el periodo considerado, la varianza de la fase de vo(t) con el tiempo < 𝜙_𝑛2(𝑡) > es una función lineal de t dada por el

producto de las Ecs. (3.37) y (3.38) y el propio tiempo t que haya transcurrido desde que empezó el periodo. De esta forma obtenemos esta ecuación:

< 𝜙𝑛2(𝑡) >= 𝜆𝑡 < (Δ𝜙)2>=2𝐹𝑇 ∗

𝑅𝑞2

𝑞2

2𝑉_𝑂2_𝐶2 𝑡 (3.42)

que con su 𝑇∗ _{nos recuerda que el número de ATs en el resonador del MO no será el del}

resonador en ET sino mayor en general. Esto recuerda a su vez que la electrónica del lazo añadirá ruido, aportando sus propios impulsos de ruido eléctrico que serán otras ATs que acabarán dando impulsos de amplitud q/C (positiva o negativa) en C. Como todo esto lo englobamos antes en el pseudo-factor F, la Ec. (3.42) pasa a ser:

< 𝜙𝑛2(𝑡) >= 𝐹𝜆𝑡 < (Δ𝜙)2>= 𝐹𝐹𝑇_{𝐶 𝑉}1

𝑂2𝑅𝐶 𝑡 (3.43)

Según [3.9], la característica clave del proceso de difusión de fase debido a ruido blanco (proceso de tipo Wiener) que allí se propone para explicar el Ruido de Fase de un conjunto muy grande de osciladores basados en resonador (“ensemble”) es (con D en [rad/s] para la “Difusividad de la Fase”) la siguiente:

< 𝜙𝑛2(𝑡) >= 2𝐷𝑡 (3.44)

El proceso Wiener o ruido blanco “que hace difundir la fase” en ese “ensemble” conduce al espectro de ruido de fase de la Ec. (3.41) que es también la Ec. (4) de[3.12]. Por ello, identificando términos entre las Ecs. (3.43) y (3.44) tenemos que la “Difusividad de la Fase” de [3.9] es en nuestro caso: 𝐷 = 𝐹𝐹𝑇_{𝐶 𝑉} 1 𝑂22𝑅𝐶= 𝐹 2 𝐹𝑇 𝐶 1 𝑉_𝑂2𝜔_𝑄0 0 [𝑟𝑟𝑖 𝑠⁄ ] (3.45)

valor que difiere en el factor F/2 del que se usó en [3.9] para terminar concluyendo que hay un trasfondo común a los modelos de Ruido de Fase basados en disipación como el de Leeson [3.8] y el de Hajimiri&Lee [3.11], [3.12] basado en fluctuación. Esta buena conclusión nos parece muy razonable pero no nos sorprende porque según nuestro MA de ruido [3.4], no habría ruido eléctrico en un circuito que sólo tuviera resistencia para permitir disipación de energía (y su conversión en calor como veremos luego) y que no tuviese alguna reactancia para permitir la Fluctuación de energía o AT que precede a cada Disipación en ET. Nuestro MA de ruido o nueva forma de usar o entender los resultados de Callen&Welton [3.5], no existe en la literatura sobre Ruido de Fase y de ahí que existan modelos relacionables con el fenómeno de disipación (aunque este término debe ser definido con cuidado) y otros basados en el de fluctuación que tengan “un trasfondo común” como concluye [3.9]. Considerando que tanto el estudio Mecano- Cuántico [3.5] como nuestro MA del ruido eléctrico indican que esos fenómenos deben tratarse

EFECTOS DE LAS ACCIONES TÉRMICAS EN OSCILADORES Y RESONADORES L-C

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juntos en sistemas físicos reales como los osciladores que nos ocupan, parece lógico que nuestro MA sea imprescindible para entender su Ruido de Fase, que no es más que un efecto fino de su ruido eléctrico.

En cuanto a la discrepancia F/2 de la Ec. (3.45) con el valor tomado en [3.9] para D, diremos que el factor F = 1 de [3.9] procede de que allí se asume una electrónica perfecta con cada resonador, lo que resulta fácilmente entendible y se corrige añadiendo F. Sin embargo, el factor adicional 1/2 que tenemos respecto a [3.9] surgiría al considerar que como en [3.9] no se conocía el MA de ruido [3.4], no se consideran fluctuaciones discretas de carga (ATs) ni sus diferentes eficiencias según cuándo sucedan en el periodo T0. Por ello no consideran el factor

1/2 de “eficiencia cuadrática media” de la Ec. (3.37) a la hora de hacer difundir la fase en su

“ensemble” de osciladores. Dicho llanamente: como en [3.9] no se usa un modelo “Quantum- compliant” de ruido eléctrico como [3.4] (que aún no existía), la discrepancia 1/2 indica el desconocimiento de la situación mostrada en la Figura 3.18 que nos ha llevado a no usar la eficiencia moduladora máxima de una AT discreta, sino la mitad de ella en promedio, lo que permite explicar como BRPSK lo que realmente es FRPSK.

Dividiendo la Ec. (3.45) por 2π para tener la DHz que aparece en la Ec. (3.41) vemos cuál

va a ser la anchura de línea del espectro de salida del oscilador y cómo se reducirá al emplear resonadores de alto Q0 almacenando altos valores UTot de energía coherente a f0. Para que el

ruido 𝐹𝑇∗_{⁄𝐶 en el resonador no haga aumentar mucho la F, la buena extracción del calor}

generado en él resulta esencial. Esto y una electrónica “limpia” o de bajo ruido harán bajar el ruido 𝐹𝐹𝑇∗_{⁄𝐶 y el Ruido de Fase por tanto. Siguiendo con las Ecs. (3.41) y (3.45) del}

Ensanchamiento de Línea EL = 2DHz para el lazo MO, el espectro de Ruido de Fase para

separaciones ∆𝑓 ≫ 𝐷𝐻𝑑 que tiene un espectro inversamente proporcional al cuadrado de esa

separación (tal y como vimos en la Ec. (2.22) del Capítulo 2), queda: 𝐿(Δ𝑓)|Δ𝑓≫𝐷𝐻𝐻= 1 𝜋 𝐷𝐻𝑑 (Δ𝑓)2= 𝐹𝐹𝑇𝑅 𝑉𝑂2 � 𝑓0 𝑄0Δ𝑓� 2 (3.46) ecuación que vamos a comparar con el resultado de Leeson [3.8], que viene expresado en función de la potencia activa de señal senoidal en el resonador 𝑃𝑆= 𝑉𝑂2⁄(2𝑅) y es:

𝐿(Δ𝑓)|Δ𝑓≫𝐷𝐻𝐻= 2𝐹𝐹𝑇 𝑃𝑆 � 𝑓0 2𝑄0Δ𝑓� 2 =𝐹𝐹𝑇𝑅_𝑉 𝑂2 � 𝑓0 𝑄0Δ𝑓� 2 (3.47) donde vemos que nuestra teoría basada en un Sistema Lineal Invariante en el Tiempo (SLIT) excitado por las ATs sobre C, no sólo coincide con el resultado de Leeson, sino que lo integra con el ensanchamiento de línea 2D [rad/s] o raya Lorentziana que definen las Ecs. (3.41) y (3.45) y al que Leeson no llegó.

Así pues, nuestra explicación del Ruido de Fase basada en un modelo “Quantum- compliant” de ruido eléctrico [3.4], resulta una teoría conceptualmente sencilla y no requiere simulaciones numéricas como las de [3.11] y [3.12]. Por eso permite entender el Ruido de Fase Térmico de los osciladores basados en resonador y separarlo del Ruido de Fase Técnico que el CAA va a generar cuando la RE del lazo no se haga con fase nula a f0. El Ruido de Fase Térmico