5.4 Hash Tables
5.6.3 Data Shuffling
Ejercicio N° 01. Sobre Cálculo.
Probar que todos los rectángulos de perímetro p dado, el máximo área es el cuadrado.
Solución:
Llamaremos t y q correspondientemente un rectángulo. Por tanto:
Su Perímetro será:
P=2(t+q) p=perímetro y su área está determinada por: A= t x q A= área
De la fórmula del perímetro, despejamos la q y nos queda si: q = 𝑝−2𝑡2
sustituimos en la fórmula del área: A= t.𝑝−2𝑡2
A=12(pt-2𝑡2) Ahora derivamos:
A´ = 12(p-4t)
A´´ = 12 (-4) = -2 -2< 0 entonces existe un máximo Igualamos la primera derivada a cero.
A´ = 12(p-4t) = 0 (p-4t) = 0
p =4t
𝑝 4 =𝑡𝑚á𝑥
Reemplazamos en 𝑞𝑚á𝑥 = 𝑝−2𝑝4 2 𝑞𝑚á𝑥 = 𝑝−𝑝2 2 𝑞𝑚á𝑥= 2𝑝−𝑝 2 2 Entonces: 𝑡𝑚á𝑥 = 𝑞𝑚á𝑥
A=𝑡2 lo que nos da un cuadrado.
Según: Coló, H., A.& Patriti H. 2004.Se resolvieron los siguientes ejercicios:
Ejercicio N° 2. Sobre Geometría
Se ha doblado un alambre cuya medida la llamaremos S formando un rectángulo en donde el lado final se soldará.
S
Lado final soldado
Figura 29. Ejercicio de geometría.
a) Ante esta duda veremos los posibles puntos donde se harán las dobleces ¿Qué rectángulos se podrá construir? ¿Podrán ser de la misma área?
b) Buscar una expresión al área T con relación de los lados y hacer una función de uno de los lados del rectángulo y bosqueja la función T.
c) ¿Cuál es el rectángulo de área máxima y cuánto vale su área?
Solución:
x p y q x r y
Figura 30. Rectángulo de área máxima.
y
Figura 31. Extremos soldados.
a) Podremos doblar en los puntos p, q, r indicados debiendo ser q el punto medio del alambre. b) cómo podemos ver; podríamos construir varios rectángulos variando los valores de la abscisa y en consecuencia sus áreas también cambiaran.
c) Se en consecuencia se verá que el área B será: B = x. y con la condición 2 (x + y ) = L Despejando y de la condición anterior y sustituyendo obtenemos:
⇒ 𝐵(𝑥) = 𝑥(12− 𝑥) 0 < x < 12 Extremos soldados
Como podemos ver los lados del rectángulo es el perímetro y este está dado,lo cual concluimos que el área máxima de un cuadrado tendrá el lado un cuarto y B = 𝐿2
16
Por tanto, la función B es cuadrática cuyo dominio está dentro del intervalo cerrado [0, L / 2]. En seguida presentaremos el grafico solicitado.
𝐿 2
16
0 L/4 L/2
Figura 32. Función cuadrática con dominio restringido.
Ejercicio N° 3. Sobre Cálculo
Nos solicitan que se hagan cajas de cartón y que no tengan tapa iniciando esto a partir de cuadrados cuyos lados tengan como medida de 40 centímetros y además las esquinas se les tiene que cortar e ir doblando y formando las cajas solicitadas.
Figura 33. Ejercicio cálculo.
40 cm 40 cm A(x) n x x x x x
a) ¿Los cortes que se hagan en la esquina tendrán que ser cuadradas?
b) Buscar los recortes de longitud n para que el volumen de esta caja sea el máximo, en consecuencia, el volumen que se obtenga también sea el máximo.
Solución: Luego de armar la caja, se tendrá como base un cuadrado de lado (40 – 2x) y altura (x). Este volumen estará dado por : S ( n )= (40 – 2n2 ) . n
Figura 34. Figura de solución.
Analizaremos dicha función S en el intervalo [ 0, 20] . Datos extremos: S (0) =0 S (20) =0. Busquemos puntos críticos. Derivamos 𝑑𝑆
𝑑𝑥= 2(40 − 2𝑛)(−2)𝑛 + ( 40 − 2𝑛)
2 = (40 − 2. 𝑛)(−4𝑛 + 40 − 2. 𝑛)
Resolvemos 𝑑𝑆
𝑑𝑥= (40 − 2. 𝑛)(−6𝑛 + 40)
Los dichosos puntos críticos son 𝑛 = 20 𝑦 𝑛 = 203
Separaremos y clasificamos el punto crítico interno al intervalo [0,20] n
40 – 2n 40 -2n
Veremos cuál es el signo de la derivada primera:
0 20/3 20
Figura 35. Signo de la derivada primera.
El valor n = 203 corresponde a un máximo. El bosquejo de la gráfica de la función S es: S(x)
0 20/3 20 x
Figura 36. Bosquejo de la gráfica de la función.
Vemos que la gráfica de la curva cuenta tangente horizontal en x= 20 por ende el valor de dicha derivada es nulo.
b) El correspondiente volumen S será: 𝑆𝑚á𝑥= 𝑆 (203) = ( 4 − 403)2.20
3 ≅ 4.74 . 103 𝑐𝑚3
V máx.
- -
Ejercicio 4. Aserrado de listón
Tenemos que la medida de una resistencia de un listón que tiene forma rectangular está en proporción al producto de su ancho p por el cuadrado de su altura a.
Figura 37. Aserrado de listón.
a) Encontrar las dimensiones del listón que tenga la resistencia máxima en la que pueda aserrar un tronco de forma cilíndrica de diámetro Ω.
b) Supongamos el caso donde el diámetro sea Ω = 15’’ (medida en pulgadas).
c) el tronco posee el largo denotemos por k expresemos en porcentaje del total del volumen total de madera el volumen del Listón.
Solución: Denominamos B a la resistencia de nuestro listón y c la constante no negativa de la proporcionalidad y lo representaremos como sigue: B = c. p. 𝒂𝟐 (1)
En el siguiente triangulo ABC podemos observar que: Ω2− 𝑝2) = 𝑎2 (2)
Figura 38. Presentación gráfica del ejercicio. C B A a A p Ω
Reemplazando en (1) tendremos que:
Analítica de la función B: B(p) = c. p. (Ω2 − 𝑝2) 0 ≤ p ≤ Ω
Analizaremos esta nueva función por: B (0) = 0 B (Ω) = 0 Puntos críticos:
𝑑𝐵𝑑𝑝 = 𝑐. (Ω𝟐 - 3𝒑𝟐)
Ahora cancelamos y tenemos que : p = Ω
√3 = √3
3 Ω ≅ 𝟎. 𝟓𝟕𝟕Ω
(se ha desechado la solución no positiva al no estar en el intervalo que estamos viendo). a) determinamos que: a = √2
3 Ω ≅φ 0.816 Ω
b) Si Ω = 15” ≅ 38 cm ⇒ p ≅ 8.65” ≅ 22 cm a ≅ 12,24” ≅ 31 cm. c) Por consiguiente tendremos el volumen del tronco de longitud K: V = π . Ω
2
4 . L
Dicho volumen del Listón de longitud K estará determinado por la siguiente expresión: 𝑉1 = a.h.L Tenemos entonces: 𝑉1 𝑉 = 𝑝. 𝑎. 𝐾 𝜋Ω42𝐾 = 4. 𝑝. 𝑎 𝜋Ω2 ≅ 0.6
Por consiguiente, El porcentaje de madera utilizada en el listón será 60% de la madera total.
Ejercicio 5. Costo de fabricación
Quiero construir un tanque en forma de Prisma rectangular que pueda tener un volumen de 10 𝑚3, obviamente con la parte de arriba sin tapa como se ve en la figura de abajo. El largo del rectángulo base debe ser doble del ancho. El material de la base cuesta 100 $ / 𝑚2 ,paredes cuesta 80 $ / 𝑚2. Encontrar dichas dimensiones del tanque, para que cueste menos los materiales y el precio también.
Figura 39. Ejercicio de costo de producción.
Solución: La construcción de nuestro anhelado tanque es calculando el costo de la superficie lateral más el costo de la Base. Ct = 𝐶𝑏𝑎𝑠𝑒+ 𝐶𝑠𝑢𝑝.𝑙𝑎𝑡
Figura 40. Representación gráfica para la solución.
El costo en materiales de la base es: 𝐶𝑏𝑎𝑠𝑒 = 100.𝑠𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 = 100. 2 𝑚2 = 200 𝑚2
La superficie lateral cuesta: 𝐶𝑙𝑎𝑡.= 80. 𝑆𝑙𝑎𝑡. = 80. (6ma) = 480ma Tendremos por consiguiente : Ct= 200𝑚2 + 480 m.a
Tendremos que suponer que el volumen total es 45 𝑚3 consecuentemente: V = m.2 m.a = 2 𝑚2 a ⇒ 2 𝑚2 a = 45 (1)
Aislando a de (1) y reemplazando en la fórmula del costo total, tendremos: 2m
a m
𝐶𝑡(𝑚) = 200 𝑚2+ 10800𝑚 m > 0
Por lo tanto, analizaremos solo en (0, +∞). lim
𝑚→ 0+ 𝐶𝑡(𝑚) = +∞ lim𝑚→ +∞ 𝐶𝑡(𝑚) = +∞ Encontramos los Puntos críticos
𝑑𝐶𝑡
𝑑𝑚= 400𝑚 −
10800 𝑚2
Cancelando en la expresión tendremos:
400𝑚3 – 10800 = 0 ⇒ m = √10800 400 = √27 3 = 3 3 Signos 𝑑𝐶𝑑𝑚𝑡 - + 0 3
Figura 41. Figura para verificar los signos.
Según los cálculos podemos decir que la función presenta un mínimo en m =3. Deducimos de (1) que a = 2.5 m
Las proporciones del tanque son: m = 3metros, a = 2.5metros, L = 6m. Tendremos un total del costo, y lo representaremos por: C t = $ 5400.
Ejercicio 6. Costo de alambrado
Al costado de una ribera de un rio, suponemos que esta orilla es rectilínea, quiero colocar alambre con púas en un área rectangular de 10 has. Y además este costo de colocar púas es proporcional a la longitud de la púa, Hallar la dimensión para que el coste de colocar las púas sea lo menor posible. Además, no se colocará púas en la ribera.
Tenemos que 1 hectárea = 10.000 𝑚2 . Si el colocado de púas se hará con 5 hilos, además cada rollo de 1.000 m cuesta $35.Encuentra cuánto cuesta el costo de la púa necesaria.
Superficie a colocar púa púas
Figura 42. Ejercicio costo de alambrado. Solución:
Figura 43. Representación gráfica para la solución.
Tenemos que el costo para colocar las púas es proporcional a su largo y los 5 tiras obvio son iguales, entonces tenemos que minimizar lo que cuesta en uno de ellos. Denotemos con L a su largo expresada en metros(m) y A el área encerrada en (𝑚2 ). Se pondrá que:
L = s + 2 r, y si o si cumplir lo siguiente.
s.r = A (1)
Despejando r de (1) y reemplazándolo obtenemos una función L.
𝐿(𝑠) = 𝑠 +𝐴
𝑠 𝑠 ≥ 0 Derivando para hallar puntos críticos:
r
s A
𝑑𝐿 𝑑𝑠 = 1 − 2𝐴 𝑠2 = 𝑠2− 2𝐴 𝑠2 Obtenemos entonces: s = √2𝐴 0 - + 0 √2𝐴
Figura 44. Representación para hallar puntos críticos.
Esta función tiene mínimo en el valor encontrado de s. Ahora el valor de r que encontramos de la expresión (1) será:
𝑟 = 𝐴
√2𝐴=
√2𝐴 2
El ancho de dicha figura rectangular a colocar púa será la mitad de su largo. Ahora recuerdo que: 1Hec. = 10000 𝑚2 y obtengo:
s ≅ 447,20 m r ≅ 223, 60 m L = 894,40 m al colocar las púas tenía, esta tiene 5 hilos, la longitud total de las púas es:
𝐿𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙= 4472 metros
Lo que cuesta las púas es $ 156,52. Al querer tener un gasto ajustado al costo del trabajo de colocar las púas tendremos que sumar lo que cuesta los palos o postes, el de los piques, el sueldo de los trabajadores, además de calcular u porcentaje para los amarres con lo que se desperdiciara en el trabajo.
Ejercicio 7. Superficie de siembra
Tenemos un gran agricultor que tiene 600 hectáreas para sembrar. Además su total de ganancia P en $ lo medirá según la producción que depende del número de hectáreas sembradas q, de acuerdo a la expresión: G(q) = 2000q – 2𝑞2
a) Encuentra la cantidad de hectáreas ideal en la cual tendremos máxima ganancia. b) ¿Y cuánto perderá de su ganancia, al sembrar el total de las 600 hectáreas?
Área a sembrar
Figura 45. Ejercicio de superficie de siembra.
Solución:
a) Tendremos una función ganancia G que se representara por: G(q) = 2000 q – 2 𝑞2
Tenemos la función cuadrática que se representa mediante una parábola con concavidad negativa. Entonces solo buscaremos el valor de la Abscisa del vértice y tiene que estar dentro del intervalo cerrado, [0, 600], entonces será el máximo absoluto de esta función.
Derivado y anulando la derivada obtenemos:
𝑑𝐺𝑑𝑞= −4𝑞 + 2000 q = 500
Por consiguiente, este agricultor tiene que sembrar 500 Has. b) Su máxima ganancia al sembrar 500 Has. Es G (500) = $ 500.000
El agricultor si sembraba las 600 Hectáreas la ganancia hubiera sido de G (600) = $ 480000. Por consiguiente, Hubiera perdido $ 20000.
Ejercicio 8. Producción
Tenemos al fabricador que se dedica a vender t artículos por semana a un precio unitario k que depende de t según la expresión: k(t)= 200 – 0,01t k en dólares $.
Obtengo que lo que cuesta en total la producción de t artículos será: C(t)= 50t +20.000 $ /sem.
Buscar la cantidad de estos artículos para que el fabricador obtenga la ganancia máxima y a la vez por cada unidad su costo.
a) Cada unidad su precio se representa por: k(t) = 200 – 0.01t $ Total de lo que cuesta es: C(t) = 50t + 20000 $
Que sea G la ganancia del fabricador está provisto de la expresión siguiente: G = I – C (Ganancia = Ingreso – Costo)
Lo que se recauda (ingreso = I) que se obtiene por venta de t artículos por cada semana lo sacamos hallando la multiplicación entre el precio unitario k y el número de artículos que se venden por semana, y lo representamos por la letra t.
I(t) = k.t = 200t – 0.01𝑡2 $ / sem
Por consiguiente: G(t) = (200t – 0,01𝑡2 ) – (50t + 20000)G(t)
= - 0,01𝑡2 + 150t –20000 $ / sem t ≥ 0
Vemos que esta función de la ganancia será la función cuadrática con concavidad no positiva. Solo tendremos que analizar el vértice es el máximo de la función dentro del intervalo [ 0, + ∞), donde su abscisa será mayor o igual a cero.
Aplicando la derivada: 𝑑𝐶𝑑𝑡 = −𝑜, 02𝑡 + 150 Cancelando tenemos que: → t = 7500 unidades / sem.
b) Por lo tanto el fabricador tiene que vender 7500 unidades / sem. El precio correspondiente será: k (7500) = 200 – 0,01. (7500) =125
k = 125 $ / unidad
c) Y en el caso de que el impuesto sea de 10 $ / unidad aparecerá una función ganancia. 𝐺1 tal que 𝐺1(t) = - 0,01𝑡2 +150t –20000 –10t
𝐺1 (t) = - 0,01𝑡2 +140t –20000
Haciendo lo mismo en esta función lo hecho en la parte a) del ejercicio: 𝑑𝐺1
𝑑𝑡 = −0.02𝑡 + 140
Cancelamos tendremos que: x = 7000 unidades / sem.
Tendremos un precio nuevo: k (7000) =200 – 0.01. (7000) = 130 k = 130 $ /unidad Ahora el precio de venta es $ 5.00 lo que nos dice que obtenemos mayor ganancia el fabricador le planteará al comprador la mitad del impuesto, de modo que el absorberá la otra mitad. Por lo tanto, sus ganancias quedan representadas por:
G(7500) = - 0.01 (7500)2 + 150 (7500) – 20000 = 542500 $ / sem G1(7000) = - 0.01 (7000)2 +140 (7000) – 20000 = 540000 $ / sem
Ejercicio 9. Alquiler de departamentos
Una constructora tiene 150 departamentos totalmente ocupados estando el costo del alquiler 300 soles. Y si esta constructora aumentara su alquiler algunos departamentos alquilados se reduce linealmente a razón de 5 aptos. Si el aumento es de 30 soles.
a) Pongamos que la ganancia G está en función del número w de departamentos alquilados y representa gráficamente esta función.
b) ¿Cuál será el número de departamentos a alquilar, y cuál será el alquiler mensual para que la constructora tenga la mayor ganancia?
c) Además, ¿la constructora cuanto pierde si alquila todos sus departamentos?
Solución: Representemos por w el número de departamentos alquilados. Por obvias conclusiones, el número de apartamentos no alquilados será: 150 – w. y sabemos que el número de departamentos alquilados se reduce linealmente a razón de 5 departamentos por cada 30 soles que se aumenta su alquiler, la razón estaría representado por 1 dpto. no alquilado por cada 6 soles de aumento en su alquiler.
a) Los departamentos alquilados tendrán, cada uno, un alquiler de: 300 + 6 (150 – w) (soles)
Y Como se alquilan w apartamentos esta ganancia total G se representará por: G(w) = w [ 300 + 6 (150 – w)] = - 6 𝑤2+ 1200 w con 0≤ w ≤ 150
Por lo tanto, esta función ganancia se representa como una función cuadrática con la concavidad no positiva. Ahora busquemos su máximo, y el vértice de esta parábola.
Al derivar tenemos que: 𝑑𝐶
𝑑𝑤= −12𝑤 + 1200
Procediendo a cancelar tenemos que: w = 100
Por tanto, el valor hallado está dentro del intervalo analizado, y este es el máximo Absoluto de la función. Graficamos la función G es el indicado en la figura.
G(100) = 60000 soles G(0) = 0 G(150) = 45000 soles. G (w)
60.000
Figura 46. Vértice de la parábola representativa. 45.000
100 150
b) Tendremos que el total de departamentos alquilados es 100 y por ende, el alquiler de cada departamento es 600 soles, y este total de ganancia será 60000 soles. c) Por si se alquilan la totalidad de los departamentos esta ganancia seria de G (150)
= 45000 soles lo que representa una perdida por un monto de 15000 soles para la constructora.
Capítulo VI Gráfica de funciones
Para esbozar un gráfico de una función y= f(x).
6.1. Recomendaciones para graficar una función
1. Simetría
Analizamos primero si tiene simetría al eje Y o al origen. Si esto se cumpliera el trabajo sería más simple ,solo necesitamos para graficar puntos con abscisa que cumplan con x≥ 0. No olvidando lo siguiente:
a. Si el grafico de la función t tiene simetría con el Y ⇔ la función es t(-x)=t(x) ,∀x∈ Dom(f)
b. Si el grafico de la función t tiene simetría con el origen ⇔la función t es impar .t(-x)= - t(x) ,∀x∈ Dom(f)
2. Hay intersección con los dos ejes X e Y
Sabemos de antemano que el punto de intercepción con en el eje Y lo encontramos remplazando el valor de x=0. La intercepción con el eje X lo encontramos efectuando la resolución de la función t(x) = 0, además tengamos presente si una función se encuentra demasiado complicado, no insistamos.
Buscamos el dominio de una función, en ellos los algunos intervalos sin continuidad e intervalos continuos, aplicamos los limites unilateralmente en los extremos de los mencionados intervalos que son continuos. las discontinuidades y los intervalos continuos. Los limites encontrados nos ayuda a obtener asíntotas verticales y también asíntotas horizontales.
4. Analizar la derivada en t´ en ellos esta los mínimos, así como también los máximos.
Analizar y encontrar los puntos que son críticos, así como también los intervalos de crecimiento como los intervalos de decrecimiento, además de los extremos locales.
5. Estudiar la derivada segunda f´´. Concavidad y puntos de inflexión.
6. Graficamos la función t con información de los pasos que nos antecedieron y si fuera posible, para complementar podemos buscar algunos puntos demás, para mejorar nuestra gráfica.
Ej.:
Grafiquemos la siguiente expresión: t(x) = 𝑥3− 6𝑥2+ 9𝑥
Solución:
Paso 1. Simetría. Ninguna.
Paso 2. Intersecciones con los ejes.
t(0) = 0 . Al hacer esto, vemos que la gráfica atraviesa o intersecta al eje Y en el punto (0,0) ahora pasemos a hacer lo siguiente:
t(x) = 0 ⇔ 𝑥3− 6𝑥2+ 9𝑥 = 0 ⇔ x(𝑥 − 3)2 = 0⇔ x = 0 ó x =3
Observamos que la gráfica t intersecta al eje X en los puntos (0,0) y (3,0) Paso 3. Dominio continuidad y asíntotas.
La función t es continua en todo R. Los siguientes límites unilaterales nos dicen que el gráfico de t no tiene asíntotas
a. lim
𝑥→ +∞ 𝑥
3− 6𝑥2+ 9𝑥 = +∞ b. lim 𝑥→ −∞ 𝑥
Pasó 4. Estudio de t ´. Máximos y mininos.
t´(x) = 3𝑥2− 12𝑥 + 9 = 3(𝑥2 – 4x + 3) = 3 (x-1)(x-3) los puntos críticos de t son 1 y 3, y sus
intervalos de crecimiento son:
t´(x) =3(-)(-) = + t´(x) = 3(+)(-) = - t ´(x) = 3(+)(+) = +
Figura 47. Máximo relativo y mínimo relativo.
La tabla elaborada nos dice que la función t tiene un máximo relativo en x = 1 y un mínimo relativo en x = 3, cuyos valores son t (1) = 4 y t(3) = 0 .respectivamente .
Paso 5. Estudio de t ´´. Concavidad y puntos de inflexión.
Los intervalos que tienen concavidad, se observan en la siguiente tabla:
t´´(x) = 6x – 12 = 6(x-2) tenemos que t ´´(x) = 0 ⇔ 6(x – 2) = 0⇔ x= 2
Figura 48. Esta figura también nos dice que (2, f (2)) = (2,2) es punto de inflexión. t ´´(x) = 6(-) = - ∩ t´´(x) =6(+) = + ∪ -∞ 1 3 +∞ -∞ f ´´(x) = 6(-) = - ∩ f´´(x) =6(+) = + ∪ -∞ 2 2 +∞ +∞
Pasó 5. Esbozo de la gráfica.
0 1 2 3 4
Figura 49. Esbozo de esta gráfica.
(1,4) (1,4) (4,4) (4,4) (2,2) (2,2)
Capítulo VII Derivación implícita
Consideremos la ecuación x y – 1 = 0: Vemos que la expresión siguiente fácilmente la podemos resolverlo aislando la variable y, como se muestra, y =1𝑥 . ahora esta función se traduce de la siguiente manera diciendo que “ y” está en función de x .los casos de esta forma son fáciles de resolver mediante un simple despeje.
Al ocurrir esto se dirá que la siguiente expresión t(x , y) = 0 = (x y – 1 = 0).
Se dirá de forma amena que esta expresión es implícitamente de “y” en función de x. Decimos que estas expresiones se les puede mencionar de la siguiente manera:
y = t(x) = (y = 𝑥1 ) se traduce explícitamente a “y” en función de la variable x.
Observación 1:
Hay algunas ecuaciones que no se definen como lo dicho anteriormente tal es el caso de:
𝑥2 + 𝑦2 +1 = 0, esta expresión al resolverla carece de resultados con números reales.
Observación 2:
Hay casos donde de una función da lugar a otras funciones tenemos el caso de:
Tenemos a la circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 -1 = 0 que determina un par de funciones,
1. 𝑓1(𝑥) = √1 − 𝑥2 𝑓2(𝑥) = − √1 − 𝑥2
También hay casos de funciones en cuyas expresiones es un poco más trabajoso aislar o despejar la variable dependiente.
𝑥2y - 𝑦7x = 5
Ante esta duda deberíamos encontrar una forma de derivar a estas funciones, la cual se presenta a continuación:
Derivamos la ecuación uno a uno teniendo a la variable que depende como función de la independiente. Al final solo nos queda separar la Derivada.
Ej. 1.
Derivar la función y = f(x) dada implícitamente en la expresión: 𝑥2𝑦 + 3𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0
Solución.
Al derivar el primer término de esta expresión nos encontramos con un producto de 𝑥2 con y. Debemos recordar que y es una función de x .Por lo tanto, al derivar el primer
término, lo tenemos que hacer con la regla de La derivada de un producto .obtenemos: (𝑥2𝑦)´ + (3𝑥)´ + (2𝑦)´ − (6)´ = 0
Al desarrollar las operaciones:
(𝑥2)(𝑦)′+ (𝑦)(𝑥2)´ + 3 + 2𝑦´ = 0
O bien 𝑥2𝑦´ + 2𝑥𝑦 + 3 + 2𝑦´ = 0
De donde al finalmente se obtiene y´ = 3+2𝑥𝑦𝑥2+2
Esta es la derivada de la función y = f(x) dad implícitamente en 𝑥2𝑦 + 3𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0
Ej. 2.
Obtenga la derivada de la función y = f(x) dada implícitamente en la expresión: 4sen(x+y) +3x+2y = 0
Si derivamos término a término obtenemos:
(4sen(x+y))´+ (3x)´+(2y)´ =0
Para obtener la derivada del primer sumando, debemos aplicar la regla de la cadena, pues se trata de una composición de la función z = senu con u = x +y. Nos queda entonces:
4[cos(x+y)][1+ y´] +3 +2y´= 0 De donde, al despejar y´ se obtiene:
𝑦´ = −3 + 4 cos(𝑥 + 𝑦) 2 + 4 cos(𝑥 + 𝑦)