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En el caso de localización de un único Centro, la mayor parte de los métodos se basan en la minimización de la suma de costes de transporte de las mercancías en la región de influencia en consideración.

- Método gráfico de Weber.

Es un método clásico de resolución del problema de ubicación de un centro; se debe a los estudios de Weber realizados en 1909. Emplea una gráfica en dos dimensiones, y tiene como característica más importante poder tratar costes de transporte no lineales.

El método gráfico de Weber representa un análisis sencillo y directo del problema suponiendo conocida la demanda y su ubicación. El coste de transporte viene reflejado por el producto del coste unitario de transporte (euros/t-km o euros/m3-km), y el flujo de materiales afectados de tal coste unitario de transportes (en unidades de capacidad por unidad de tiempo).

Dados varios puntos de demanda (mercados) y de producción (plantas), es posible trazar para cada uno de ellos unas curvas iso-coste (isodápanas) que, de existir condiciones homogéneas e isótropas, constituirán en círculos concéntricos centrados sobre cada punto origen-destino.

Figura 23: Método gráfico de localización de un centro. (Ballou, 1991)

Aun manteniéndose las condiciones de isotropía en todas las direcciones, las curvas isocoste no tiene por qué guardar una razón de homotecia idéntica al cociente de los costes que representan. Si no existe la isotropía, las líneas isodápanas dejan de ser círculos para distorsionarse convenientemente de forma suave y sin que en ningún caso se puedan cruzar e incluso tocar dos líneas isodápanas correspondientes a distintos costes.

A partir de este momento se hallará aquel punto en el que la suma de los costes de transporte a todos los puntos origen y destino sea mínima.

Para encontrar dicho punto, Weber (1909) sugirió la construcción de líneas isodápanas correspondientes a los costes de transporte totales, lo que puede conseguirse fácilmente interpolando gráficamente curvas continuas en una nube de puntos que llevan asociados un coste de transporte total (suma de los valores de todas las isodápanas de cada origen y destino que pasan por esos puntos).

Los contornos de igual coste total generados convergen en el punto de menor coste, que será la ubicación idónea para el almacén. El gráfico generado no sólo encuentra el almacén con ubicación óptima, sino que también permite determinar fácilmente el coste de otras posibles ubicaciones a partir de los contornos de líneas isodápanas de coste total.

- Método de la cuadrícula o del centro de gravedad

Este método se basa en la idea de que, si interesa minimizar costes de transporte totales, cuanta más demanda tenga un punto, más interesante es ubicarse cerca de él; lo mismo ocurre para aquellos puntos en los que los costes unitarios de transporte son muy elevados. En resumen, cada punto de demanda o producción atrae al almacén hacia sí con una fuerza directamente proporcional al producto del coste unitario de transporte y al flujo de materiales que sale o llega a ese punto.

La mejor localización de un almacén, en este caso, sería cerca del centro de gravedad de un cuerpo imaginario en el que cada punto origen–destino tuviera como densidad el citado

producto. La expresión analítica que determina las coordenadas de ese centro de gravedad una vez se ha definido un sistema de referencia arbitrario es:

Χ ∑

∑ Υ

∑ ∑

Dónde:

= flujo transportado desde/a el punto i (t).

= tarifa de transporte para enviar una unidad de mercancía desde/a el punto i (€/t – km).

, Χ = coordenadas del punto i.

El método del centro de gravedad es de muy sencilla utilización y da una buena aproximación a la solución de menor coste. El método, como veremos, no es exacto porque el centro de gravedad no es el lugar que minimiza las distancias, sino las distancias al cuadrado.

La demostración de que el centro de gravedad no es la solución exacta a la minimización de la suma de los costes totales es sencilla si se trabaja en métrica L1 (la métrica Lk, k>0, define la distancia entre dos puntos como la raíz k-ésima de la suma de los valores absolutos elevados a la potencia k de las diferencias de coordenadas respectivamente; así, la métrica Euclídea equivale a L2).

Esta métrica L1, denominada también de cuadrícula (grid), posee la propiedad de que la distancia entre dos puntos tiene componentes según los ejes coordenados independientes (las proyecciones ortogonales del segmento que une los dos puntos respecto a los ejes coordenados), lo que facilita enormemente el tratamiento analítico.

Dada esta separación de ejes, la distancia total se minimizará sí y sólo si se minimiza cada una de las proyecciones respecto a cada eje coordenado. Por tanto, basta trabajar con uno de ellos, con lo que se reduce un problema bidimensional a uno unidimensional.

Figura 24: Planeamiento gráfico del método del centro de gravedad.(Robusté, Principios de diseño de sistemas logísticos, 1996)

- Método exacto de la cuadrícula

Para la métrica Euclídea o L2, las coordenadas X e Y no son independientes entre sí. En este caso, la solución proporcionada por el método del centro de gravedad no es exacta y puede utilizarse como una solución inicial (semilla) que se irá refinando por iteraciones sucesivas (procedimiento de Weiszfeld):

Χ

∑

∑ Υ

∑ ∑

donde Χ Χ Υ Υ y k es el número de iteración.

En teoría, antes de aplicar este procedimiento iterativo debe comprobarse para cada iteración que las coordenadas del centro no coinciden con ninguna coordenada de los puntos origen-destino que configuran el problema; si esto fuera así, lo que en la práctica es altamente improbable, el proceso de convergencia no está asegurado y se convierte en inestable.

La función de costes totales es:

Χ Χ Υ Υ

Donde K es el factor de ruta de la red (aquel factor que multiplicado por distancias en línea recta proporciona valores representativos para las distancias reales a lo largo de la red).

La elección de ubicaciones para los almacenes que ofrezcan costes totales de transporte menores puede llegar a no ser la más adecuada si no se contemplan factores como la influencia en los tiempos de entrega al cliente, y la sensibilidad del cliente a los cambios en dicho tiempo. Los métodos vistos se pueden modificar para tener en cuenta los efectos de los tiempos de entrega de la siguiente manera:

Χ ∑

∑ Υ

∑ ∑

(Velocidad media para ir desde la ubicación al punto de demanda i)

= tiempo necesario para ir desde el almacén hasta la demanda ubicada en el punto i.

Dado que la velocidad depende de la distancia, el procedimiento de solución tiene que ser iterativo.

Otro posible planteamiento del problema de ubicación de un centro es a través de un objetivo de maximización de beneficios (en vez de minimización de costes), o bien por criterios de servicio, como por ejemplo, limitando la distancia entre cada cliente y el centro a un valor determinado, aunque la localización de un centro con este criterio de servicio no tiene por qué tener solución factible.