La introducci´on de un polo y un cero en el sistema puede beneficiar al r´egimen transitorio, es decir, puede hace el sistema m´as r´apido si el nuevo cero est´a m´as cerca del origen que el nuevo polo. En ese caso, las ramas del lugar de las ra´ıces se alejan del eje imaginario del planoS. Por tanto, se puede elegir una ganancia para el sistema que deje los polos dominantes del sistema con un tiempo de establecimiento menor.
S S
Sistema sin compensador Sistema
compensado Sistema sin
compensador
Sistema mal compensado
–a
–b –a –b
Figura 9.4: Efecto de la adici´on de un polo y un cero en el lugar de las ra´ıces
Este efecto se muestra cualitativamente en la Fig. 9.4 y justifica la definici´on del compensador de adelanto de fase de la ecuaci´on (9.1), donde se dec´ıa a < b.
Evidentemente, la localizaci´on de polo y del cero del compensador depender´a de cu´anto se quiera alejar las ramas del lugar de las ra´ıces del eje imaginario. Son las especificaciones que se deseen conseguir las que van a marcar la separaci´on relativa del nuevo polo y cero. Resulta casi inmediato, a partir de los requerimientos de tiempo de establecimiento y sobreimpulso calcular los polos dominantes objeto del dise˜no.
Mp≤0.2⇒ζ≥0.45, se eligeζ= 0.5 (9.3)
ts≤2 segundos⇒ωn ≥4 rad/s, se eligeωn= 4 rad/s (9.4)
p4=−ζωn±ωn
p
1−ζ2j=−2±3.46j (9.5) Con el valor de sobreimpulso se elige un valor para el amortiguamiento de los polos objetivo, ecua- ci´on (9.3), y con ´este y el tiempo de establecimiento se calcula la frecuencia natural, ecuaci´on (9.4). La posici´on final de los polos objetivo, ecuaci´on (9.5), depende de las elecciones que haya realizado el ingeniero. Es dif´ıcil que dos ingenieros obtengan exactamente la misma soluci´on num´erica para un mismo problema. Por tanto, las soluciones que se proponen en estos apuntes no son las ´unicas que se pueden dar correctamente para cada problema.
Obtenida la localizaci´on de los polos objetivo, se aplica en ese punto la condici´on del ´angulo. Esto se realiza precisamente porque se quiere garantizar que esos puntos pertenecen al nuevo lugar de las ra´ıces del sistema. Evidentemente, la condici´on del ´angulo se debe aplicar teniendo en cuenta el nuevo polo y cero que introduce el compensador, cuya posici´on todav´ıa est´a por determinar, Fig. 9.5.
m X i=1 [ zip4− n X j=1 [ pjp4=θz−θp−θ1−θ2=φc−θ1−θ2=−180◦ (9.6)
En la ecuaci´on (9.6) los ´angulos vistos desde los polos o ceros de la planta son conocidos. La ´unica inc´ognita es la diferencia de ´angulos del cero y polo del compensador. A esa diferencia se le llamar´a φc
S dp dz d2 d1
−b −a
θp θz θ2 θ1
Figura 9.5: ´Angulos y distancias vistas al polo objetivo
y es el ´angulo con que el polo objetivo “ve” al polo y cero del compensador. Cualquier pareja polo-cero que el polo objetivo vea con el mismo ´angulo φc es una posible soluci´on al problema.
φc =−180◦+θ1+θ2=−180◦+ 120◦+ 90◦= 30◦ (9.7) En el caso concreto del ejemploφc vale 30◦. Siempre que se trate de un compensador de adelanto de
fase este ´angulo debe darpositivo, ya que el cero est´a m´as cercano al origen y ver´a al polo objetivo con mayor ´angulo que el polo del compensador. Cualquier pareja polo-cero que sea vista por el polo objetivo con 30◦es una hipot´etica soluci´on al problema, Fig. 9.6.
S S El tercer polo es dominate El tercer polo influye poco S El tercer polo es inestable φc –a –b φc –b –a –b –a φc
Figura 9.6: Posiciones del par polo-cero del compensador con φc constante
Sin embargo, la elecci´on de la posici´on del par polo-cero no es absolutamente arbitraria. Efectivamente se puede conseguir que el lugar de las ra´ıces pase por el polo objetivo, pero puede ser que en la configu- raci´on final del sistema, el polo dominante sea otro. Esta posibilidad hay que evitarla. Si se busca que el r´egimen transitorio lo caracterice la posici´on de los polos objetivo, ´estos deben quedar como dominantes del sistema.
Incluso es posible colocar el par polo-cero en la zona del plano S de parte real positiva y cumplir el deseo de que el polo objetivo pertenezca al lugar de las ra´ıces, pero dejar el tercer polo del sistema de forma que lo hace inestable.
En conclusi´on, la posici´on del polo y del cero del compensador es libre mientras el polo objetivo los vea con el ´anguloφc adecuado y ´estos queden como dominantes del sistema.
Dejando claro que el ingeniero puede elegir la posici´on del polo y del cero del compensador, cumpliendo lo que se ha enunciado en el p´arrafo anterior, en los siguientes apartados se explican algunos criterios que se han propuesto para su colocaci´on. Dependiendo de la planta es posible que alguno de los criterios sea inviable o no consiga que el polo objetivo quede dominante en el sistema compensado. Siempre habr´a que comprobar este ´ultimo extremo, aunque sea de forma cualitativa.
En cuanto al c´alculo de la ganancia del compensador, se debe aplicar la condici´on del m´odulo en el polo objetivo, Fig. 9.5, empleando l´ogicamente la posici´on del polo y el cero del compensador que se haya elegido. KcKla= Qn j=1pjp4 Qm i=1zip4 = d1d2dp dz (9.8)
La ´unica inc´ognita de la ecuaci´on (9.8) es la gananciaKcdel compensador. En el ejemplo, la ganancia
distancia d2 es 3.46 y las distanciasdz ydp se miden en el lugar de las ra´ıces y dependen de la posici´on
elegida para el polo y el cero del compensador.
Criterio de la bisectriz
La posici´on del polo y del cero del compensador se elige centr´andolos sobre la bisectriz del arco que forma la recta que une el polo objetivo con el origen del planoS, y una recta horizontal que pasa por el polo objetivo, Fig. 9.7.
S bisectriz . −5 4 −2 9. 2 φc 2 φc
Figura 9.7: Criterio de la bisectriz
En el ejemplo propuesto, el polo del compensador queda aproximadamente en −5.4 y el cero en
−2.9. Al aplicar la condici´on del m´odulo en el polo objetivo, la ganancia del compensador resulta ser aproximadamente 4.7, por tanto, el compensador tiene la siguiente expresi´on:
D(s) = 4.7s+ 2.9
s+ 5.4 (9.9)
Se puede observar en la Fig. 9.7 que en el caso del ejemplo, este criterio no hubiera sido recomendable si el ´anguloφc hubiera sido mayor que 60◦. Si as´ı fuera, el cero del compensador quedar´ıa entre los dos
polos de la planta y el lugar de las ra´ıces tendr´ıa un tercer polo real en lazo cerrado m´as dominante que los polos objetivo.
Criterio de anular el segundo polo dominante de la planta en lazo abierto
El cero del compensador se sit´ua sobre el segundo polo dominante de la planta en lazo abierto y el polo donde quede, manteniendo el ´angulo φc. El resultado es un sistema compensado con igual n´umero
de polos que sin compensar: no aparece ning´un polo nuevo. S
−4 −2 φc
Figura 9.8: Criterio de anular le segundo polo dominante de la planta
En el ejemplo propuesto, el cero del compensador queda en−2 y el cero en−4. Al aplicar la condici´on del m´odulo en el polo objetivo, la ganancia del compensador resulta ser 4, por tanto, el compensador tiene la siguiente expresi´on:
D(s) = 4s+ 2
s+ 4 (9.10)
La limitaci´on de uso de este criterio depender´a evidentemente de la posici´on del segundo polo do- minante de la planta en lazo abierto. En el caso del ejemplo, este criterio no se puede emplear para un ´anguloφc mayor que 90◦.
Criterio del cero bajo el polo objetivo
El cero del compensador se sit´ua justo debajo del polo objetivo y el polo donde quede, manteniendo el ´anguloφc. En este ejemplo, el resultado es el mismo que en el apartado anterior, porque ha coincidido
que el segundo polo dominante de la planta en lazo abierto queda debajo del polo objetivo. Sin embargo, lo habitual es que den resultados distintos.
Este m´etodo se puede emplear s´olo en el caso de que queden a la derecha del cero del compensador al menos dos polos de la planta en lazo abierto. Se puede observar en la Fig. 9.7 que el ejemplo se encuentra en el caso l´ımite de uso, ya que si el segundo polo de la planta hubiese estado m´as a la izquierda, el tercer polo en lazo cerrado del sistema quedar´ıa m´as dominante que los polos objetivo.
Si se cumple lo dicho en el p´arrafo anterior, para cualquier planta que se desee compensar, este criterio se puede emplear siempre que el ´anguloφc sea igual o menor que 90◦.
Criterio de un compensador proporcional-derivativo
El polo del compensador se sit´ua en el −∞ del plano S y el cero del compensador donde quede, manteniendo el ´angulo φc. El compensador, por tanto, est´a compuesto por un ´unico cero y ning´un polo,
Fig. 9.9.
S φc
—8 —∞
Figura 9.9: Criterio de un compensador proporcional-derivativo
El ´angulo φc coincide exactamente con el ´angulo del que ve el cero al polo objetivo. En el ejemplo
propuesto, el cero del compensador queda en−8 y la ganancia resulta ser 0.5, por tanto, el compensador tiene la siguiente expresi´on:
D(s) = 0.5(s+ 8) (9.11)
Este criterio, como la anulaci´on de un polo de la planta en lazo abierto, no a˜nade ning´un polo nuevo en el sistema en lazo cerrado. El nombre de compensador proporcional-derivativo es coherente si se calcula en el dominio del tiempo cu´al es la actuaci´on sobre la plantau(t) en funci´on del errore(t), ecuaci´on (9.12), donde se observa que hay una componente proporcional al error y otra proporcional a la derivada del error.
U(s) =Kc(s+a)E(s) =KcsE(s) +aKcE(s) L
−1
−−−→u(t) =Kcde(t)
dt +aKce(t) (9.12)
Un inconveniente de los compensadores PD es que amplifican el ruido de alta frecuencia, Fig. 9.10. Por este motivo, en la pr´actica se desaconseja elegir este tipo de compensadores a no ser que se pida de forma expl´ıcita.
D(jω) 20log D(jω)
ω
ω
Comparaci´on de la respuesta temporal de los distintos criterios
Resulta interesante comparar la respuesta temporal que consiguen los distintos criterios que se han enunciado. En la Fig. 9.11 se nuestra la respuesta ante una entrada escal´on unidad del sistema en lazo cerrado con los distintos compensadores que se han ido calculando.
Evidentemente, todos los compensadores consiguen cumplir las especificaciones de partida: tiempo de establecimiento menor que 2 segundos y sobreimpulso del orden del 20 %. El compensador PD es f´acilmente reconocible en la Fig. 9.11 porque la pendiente inicial no es nula. El compensador del criterio de la bisectriz es un poco m´as r´apido que el que anula el polo de la planta porque tiene la influencia del cero del compensador —tambi´en por eso tiene un poco m´as de sobreimpulso—.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 tiempo (s) c(t) D(s) = 4.7s+2.9 s+5.4 D(s) = 4s+2 s+4 D(s) = 0.5(s+ 8)
Figura 9.11: Respuesta temporal del sistema compensado ante una entrada escal´on unidad Antes de continuar con el dise˜no de compensadores de adelanto de fase por m´etodos frecuencias, conviene se˜nalar que el m´etodo del lugar de las ra´ıces que se ha descrito no permite el cumplimiento de especificaciones de error en r´egimen permanente. Los par´ametrosKc,ayb del compensador se emplean
para localizar los polos del sistema en lazo cerrado. Por tanto s´olo puede lograr especificaciones de r´egimen transitorio.
Ha quedado patente en el ejemplo que se ha empleado que existe m´as de un compensador v´alido para unas especificaciones dadas. Sin embargo, a la hora de resolver un problema hay que decir expl´ıcitamente qu´e elecciones se est´an tomando en cada momento de forma justificada.
Se puede dise˜nar el compensador sin llegar a dibujar exactamente el lugar de las ra´ıces del sistema, compensado o no, porque todas las operaciones se hacen con la posici´on de los polos y ceros de la planta y compensador en lazo abierto. El ´unico punto que se conoce de forma exacta del lugar de las ra´ıces puede ser el polo objetivo. Sin embargo, es muy conveniente al menos imaginar c´omo va a quedar el lugar de las ra´ıces del sistema compensado, de forma cualitativa.
Siempre que se pretendan mejorar el r´egimen transitorio, en el sentido de hacer el sistema m´as r´apido de lo que de suyo es, el ´anguloφc va a dar positivo. Si da un ´angulo peque˜no, por ejemplo menos de 10◦,
significa que el lugar de las ra´ıces del sistema sin compensador pasa bastante cerca de los polos objetivo. En este caso, es suficiente con dise˜nar un compensador puramente proporcional que deje los polo en lazo cerrado lo m´as cerca posible de los polos objetivo.
Si φc da un ´angulo muy grande, por ejemplo mayor que 70◦, significa que el polo objetivo queda
muy lejos del lugar de las ra´ıces del sistema sin compensador. Quiz´a se pueden modificar las elecciones realizadas para el c´alculo de los polos objetivo para que de un ´angulo algo menor. Si no es as´ı, no es recomendable elegir el compensador de adelanto de fase para cumplir las especificaciones exigidas. Habr´ıa que ir a otro tipo de controlador o afirmar que no se pueden cumplir dichas especificaciones.