Es posible ajustar los par´ametros de un controlador PID sin un conocimiento preciso del tipo de actuaci´on que realiza cada una de las partes del mismo. Sin embargo, resulta muy conveniente para poder predecir c´omo afecta al sistema la modificaci´on de cada uno de ellos.
10.2.1.
Actuaci´on proporcional
Si el tiempo de integraci´on se hace infinito y el de derivaci´on nulo, el controlador PID se transforma en una ley de control puramente proporcional al error entre la referencia y la salida.
u(t) =Kpe(t) (10.6)
m
x xr
K
Figura 10.4: Actuaci´on proporcional
Un s´ımil mec´anico de esta actuaci´on, Fig. 10.4, es la que har´ıa un muelle de rigidezK=Kpque uniera
la referencia con una masa que se deseara mover hasta dicha referencia. Se puede hacer m´as r´apido el sistema aumentando la rigidez del muelle, es decir, aumentando la ganancia proporcional del controlador. Como contrapartida, tambi´en es previsible que el sistema se oscile m´as en torno a la referencia.
10.2.2.
Actuaci´on proporcional-derivativa
Una forma de evitar las fuertes oscilaciones que se pueden producir en torno a la referencia es a˜nadir a la actuaci´on proporcional otra actuaci´on proporcional a la derivada del error. Esto es lo mismo que dotar al sistema una cierta capacidad de “anticipaci´on” porque la inclusi´on del t´ermino derivativo es equivalente a actuar proporcionalmente al error que existir´a dentro deTd segundos.
u(t) =Kp · e(t) +Td de(t) dt ¸ ≈Kpe(t+Td) (10.7)
Esta antelaci´on es beneficiosa porque el sistema es capaz de “frenar” antes de llegar a la referencia. En la Fig. 10.5 se muestra c´omo en el instante t1 el error todav´ıa es positivo, por lo que el control proporcional seguir´a actuando en la planta para acercar la masa a la referencia, aunque sea una fuerza peque˜na. Pero un usuario previsor, deducir´ıa que con la elevada velocidad que lleva la masa en breves instantes se rebasar´a la posici´on de referencia por lo que en ese instante introducir´ıa una fuerza contraria o “de frenado”. Es decir, actuar en t1 con la fuerza que se estima parat2.
t t1 t2
Td
x(t) xr(t)
Figura 10.5: Actuaci´on proporcional-derivativa
Un s´ımil mec´anico para la actuaci´on proporcional-derivativa es la de imaginar que la posici´on del masa y la referencia se encuentran unidas por un muelle y un amortiguador en paralelo. La rigidez del muelle sigue siendo igual a la ganancia proporcional, mientras que el coeficiente de amortiguamiento es el producto de la ganancia por la constante de tiempo de derivaci´on.
u(t) =Kp · e(t) +Tdde(t) dt ¸ =Kpe(t) +TdKpde(t) dt =Ke(t) +Bv(t) (10.8)
Con esta comparaci´on se muestra de forma m´as evidente c´omo la actuaci´on derivativa puede frenar el sistema haci´endolo menos oscilatorio, m´as amortiguado. Adem´as, tambi´en se observa c´omo al aumentar el valor deTd se incrementa el “amortiguamiento” del sistema.
B m
x xr
K
Figura 10.6: Actuaci´on proporcional-derivativa
Con estas consideraciones, es posible aventurar unos valores adecuados para el tiempoTd de la parte
derivativa. No parece razonable asignar a Td un valor muy elevado, en concreto superior al periodo de
oscilaci´on que posee el sistema sin acci´on derivativa. Parece l´ogico pensar que la estimaci´on del error en
Td segundos s´olo es buena mientrasTd se encuentre entre cero y, como mucho, un cuarto del periodo de
oscilaci´on del sistema.
10.2.3.
Actuaci´on proporcional-integral
Una caracter´ıstica com´un de la actuaci´on proporcional y la proporcional-derivativa es que se hace cero cuando el error desaparece. Sin embargo, en algunos casos puede ser necesario que esto no sea as´ı. En la Fig. 10.7 se muestra el mismo ejemplo de los apartados anteriores con la masa movi´endose verticalmente.
x xr
K
m
Figura 10.7: Sistema con error no nulo ante actuaci´on proporcional
Si la actuaci´on es puramente proporcional, la masa en r´egimen permanente no alcanzar´ıa la referencia sino que se colocar´a en el lugar donde la acci´on del muelle contrarreste la fuerza del peso.
Kpess=mg→ess= mg
Kp (10.9)
Si se desea que no exista error en r´egimen permanente a la acci´on proporcional hay que a˜nadir una actuaci´on extra u0, (10.10). En los primeros sistemas controlados, la actuaci´on u0 se a˜nad´ıa de forma manual, incrementando esa especie de offset hasta que desaparec´ıa el error.
u(t) =Kpe(t) +u0 (10.10) En el caso del sistema de la Fig. 10.7, es evidente que, consiguiendo error nulo, el controlador debe introducir una fuerza u(t) = u0 = mg. La soluci´on automatizada m´as adecuada a este problema es ir aumentando el valor de u0 de forma proporcional a la integral del error. La funci´on integral del error aumenta paulatinamente mientras exista error no nulo hasta alcanzar, con error nulo, un valor finito.
u(t) =Kpe(t) +Kp
Ti
Z t 0
e(τ)dτ (10.11)
La constante de tiempo de integraci´onTi da una idea del tiempo que se tarda en anular el error de
forma autom´atica. Esto se puede mostrar, de forma aproximada, calculando el valor deu0 si el error en r´egimen permanente permanece constante:
u0= Kp Ti Z t 0 e(τ)dτ = Kp Ti ess Z t 0 dτ =Kp Ti esst (10.12)
Sustituyendo en la ecuaci´on (10.12) el valor del error que se obtuvo en (10.9), resulta que cuando el tiempo es igual a la constante de tiempo integral,t=Ti, el valor deu0alcanza el valor deseadomg.
u0= Kp Ti esst=Kp Ti mg Kp t=mg t Ti (10.13)
Por tanto, la constante de tiempoTi da una idea del momento en que se anula el error en r´egimen
permanente. Si se elige unaTi muy elevada, el sistema tarda mucho en alcanzar la referencia, Fig. 10.8.
t Ti x(t)
xr(t)
Figura 10.8: Actuaci´on proporcional-integral conTi muy grande
La interpretaci´on f´ısica que se acaba de dar a la actuaci´on integral concuerda con el hecho de que cuando Ti se hace infinito entonces el sistema no tiene actuaci´on integral. Un valor adecuado para Ti
puede ser el periodo de oscilaci´on del sistema, o un tiempo algo menor.
La actuaci´on integral puede darse tambi´en en sistemas que, de suyo, carezcan de error en r´egimen permanente ante un determinado tipo de entrada. Lo que consigue entonces la parte integral es elevar el tipo del sistema en una unidad y anular el error ante entradas m´as severas.