学校编码：10384 分类号 密级 学号：19020071152069 UDC
硕
士
学
位
论
文
低误码平台
LDPC
码的
Tanner
图设计
Design of Low Error Floor LDPC Codes on Tanner Graph
陈霄巍
指导教师姓名： 曾 吉 文 教 授
专 业 名 称： 基
础
数
学
论文提交日期： 2 0 1 0 年 5 月
论文答辩时间： 2 0 1 0 年 6 月
学位授予日期： 2 0 1 0 年
月
答辩委员会主席：
评
阅
人：
2010 年 5 月
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声明人（签名）：
年 月 日
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摘要
Tanner 开创了用图来构造 LDPC（Low Density Parity-Check）码的研究方 向，他提出的 Tanner 图和 Pearl 提出的 BP（Belief Propagation）译码算法成 为近年研究的热点。BP 译码算法在无环的 Tanner 图上是最优译码算法。但是有 限长 LDPC 码的 Tanner 图中都有环的存在。为了减小环（尤其是短环）对 LDPC 码性能的影响，PEG（Progressive Edge-Growth）算法和 ACE（Approximate Cycle EMD）算法先后被提出，分别通过控制 Tanner 图中的最小环长（girth，也称为 围长）以及环与 Tanner 图的其他部分的连通度，来降低环对译码效果的影响， 降低误码平台（error floor）。 本文细致地研究了上述两种算法，发现 ACE 算法是将随机生成且满足设计参 数的变量点添加到校验矩阵中，为了进一步提高 LDPC 码 Tanner 图中环的连通度， 本文提出了 ACE 改进算法，即在 ACE 算法基础上，先将满足设计参数的候选变量 点暂存起来，进一步考察它们分别接入 Tanner 图以后，为图中环所贡献的 ACE 大小，选出贡献最多的变量点用以生成校验矩阵。同时，本文还将该 ACE 改进算 法与 PEG 算法进行结合，提出了新的联合构造算法，该算法在 PEG 算法要选择候 选校验点的时候，以能为 Tanner 图中的环贡献更多 ACE 的点为优先选择对象。 仿真结果显示，本文提出的两个算法较之原来的 ACE 和 PEG 算法都表现出更好的 纠错性能，明显地降低了 LDPC 码的误码平台。 关键词：LDPC 码、ACE、EMD、PEG
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Abstract
Tanner graph which is named after its proposer who had indicated a new direction of the research of construction of LDPC (Low Density Parity-Check) codes, and BP (Belief Propagation) decoding algorithm proposed by Pearl have been in general interest in recent years. BP algorithm over cycle-free graphs provides optimum decoding. Being restricted by block length, finite-length LDPC codes inevitably have cycles in them. In order to reduce the affect from cycles during decoding, algorithms called PEG (Progressive Edge-Growth) and ACE (Approximate Cycle EMD) were proposed, to control girth and connectivity between cycles and the rest part of the Tanner graph respectively, to lower error floor.
By deep study of the two algorithms mentioned above, we discover that, the procedure of the generating of variable-nodes, namely generate nodes randomly and then add the nodes which meet the required properties designed into the check matrix, is restricted by the parameters designed. So in this thesis, an algorithm is proposed to solve this problem by collecting the nodes which meet the required parameters designed before selecting the nodes who will contribute more ACE to the cycles formed by adding the node into the Tanner graph. Furthermore, a new algorithm combined with ACE and PEG algorithms is proposed, in which ACE algorithm plays as a new criterion to select nodes when randomly selection of check-nodes is to be enforced in the original PEG algorithm. Simulations showed that, both modified algorithms lowered the error floor of LDPC codes, therefore displayed better error-correcting performances.
Keywords：LDPC codes、ACE、EMD、PEG
目录
第一章
引言
... 1
1.1 研究背景 ... 1 1.2 本文的主要工作和结构安排 ... 2第二章
ACE 算法及改进
... 4
2.1 LDPC 码的表示 ... 4 2.2 停止集 ... 5 2.3 外信息度 EMD ... 6 2.4 ACE ... 8 2.5 ACE 算法 ... 8 2.6 ACE 改进算法 ... 11 2.7 ACE 改进算法的仿真结果 ... 13第三章
环控制与 PEG 算法
... 17
3.1 PEG 算法基本思想 ... 17 3.2 PEG 算法流程 ... 17 3.3 对 PEG 算法的改写 ... 19第四章 ACE 和 PEG 联合构造算法
... 22
4.1 算法思想 ... 22 4.2 算法流程 ... 22 4.3 仿真结果 ... 24第五章 总结
... 27
参考文献
... 28
致 谢
... 30
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Contents
Chapter I Introduction ... 1
1.1 Researching Background ... 1
1.2 Main Work and Outline ... 2
Chapter II ACE Algorithm and the Improvement... 4
2.1 Representation of LDPC Codes ... 4
2.2 Stopping Sets ... 5
2.3 Extrinsic Message Degree ... 6
2.4 ACE ... 8
2.5 ACE Algorithm ... 8
2.6 Improved ACE Algorithm ... 11
2.7 Simulations of Improved ACE Algorithm ... 13
Chapter III Cycle-Controling and PEG Algorithm ... 17
3.1 Basic Idea of PEG Algorithm ... 17
3.2 PEG Algorithm ... 17
3.3 Rewritten PEG Algorithm ... 19
Chapter IV Construction Algorithm Based on PEG and ACE ... 22
4.1 Basic Idea of the Algorithm ... 22
4.2 The Algorithm Procedure ... 22
4.3 Simulations ... 24
Chapter V Conclusion ... 27
Bibliography ... 28
Acknowledgement ... 30
第一章 引言
1
第一章 引言
1.1 研究背景
1963 年 Gallager 提出了低密度奇偶校验码（Low Density Parity-Check Codes，简称 LDPC 码）。他这样定义了一个(𝑛, 𝑑𝑣, 𝑑𝑐)LDPC 码：码长为𝑛，校验矩 阵的每列都有𝑑𝑣个 1，每行都有𝑑𝑐个 1，并且在校验矩阵中 1 的总数在校验矩阵 的元素总数中所占比例很低[1][2]。Gallager 同时也提出了基于信息传递的软 判决和硬判决译码算法，并且给出了码长 500 左右的仿真结果，这些结果显示了 LDPC 码在纠错性能上的潜力，但是由于当时的计算条件限制，无法对更长码长 的 LDPC 码进行仿真来凸显其优越性能，从而 LDPC 码在很长一段时间里得不到业 界足够的重视。 二十多年后，基于图的信息传递算法得到了深入的研究。Tanner 提出用二部 图来表示低密度的码，以及基于这种二部图的和-积译码算法[3]。这样的二部图 后来被称为 Tanner 图。Tanner 的工作为之后 Turbo 码的发展奠定了基础。近年 来的一些研究工作表明，用于 Turbo 码译码的前向/后向算法、LDPC 码的置信度 传播算法（Belief Propagation Algorithm，简称 BP 算法）等都是和-积算法在 不同 Tanner 图上的应用。 90 年代中期，Berrou 等人发现了 Turbo 码接近容量限的惊人能力[4]，这引 起了业界对 Turbo 码及其他随机长线性码的极大兴趣。Turbo 码和 LDPC 码在很 多方面都有共同点，尤其是在迭代译码时的信息传播机理。这些相似性导致了对 LDPC 码的重新发现[5][6]。1999 年，MacKay 等人让人看到了 LDPC 码接近容量 限的能力，并且提出了几条构造好的随机码的准则[7]。Luby 等人说明了恰当构 造的不规则 LDPC 码可以比规则的 LDPC 码更好地接近容量限[8]。Richardson、 Shokrollahi 和 Urbanke 发展了一种名为“密度进化”的渐近方法来设计无限码 长情况下不规则 LDPC 码的度分布[9]。应用这种方法构造出来的无限长 LDPC 码 的 Tanner 图是无环的，若将 BP 译码算法用于这种 LDPC 码的译码，那么 BP 译码 算法会是最优译码。 Richardson 等人用密度进化的方法设计了一个 1/2 码率、码长达到106的 LDPC 码，用来近似模拟无限码长的情况，仿真结果显示，这个 LDPC 码在误比特
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第一章 引言 2 率 BER 为10−6时与容量限仅有不到 0.1dB 的差距。但对大多数现实应用来说，如 此大数量级的码长是无法承受的。然而用密度进化的方法来优化的有限长码的 Tanner 图中却不可避免地有环出现，这时图中节点的邻节点就不是条件独立的 了，这就使得在无环图上是最优译码的 BP 译码算法的效果打了折扣。 跟大部分线性分组码一样，LDPC 码误码平台的出现主要受码型最小汉明距离 的影响，由于不规则 LDPC 码的最小汉明距离比较小，导致了较高的误码平台的 产生。如果我们可以判断一个随机构造的 LDPC 码是否有较大的汉明距离，那么 就可能据此构造出能够生成较大汉明距离 LDPC 码的算法。然而，我们无法判断 一个随机构造的 LDPC 码是否有较大的汉明距离（事实上这是一个 NP 难题[10]）。 所幸的是，人们发现可以通过去除 Tanner 图中的短环来间接地提高 LDPC 码中的 最小汉明距离，于是一些很好的算法就被提了出来[11][12]。 在上述环控制算法中，2001 年出现的 PEG 算法就是一种通过增大 Tanner 图 中的最小环长，从而间接地提高汉明距离来构造较低误码平台的 LDPC 码的算法 [12][13]。PEG 算法的基本流程是为 Tanner 图中的变量点逐个添加与校验点的 连边，在添加边的过程中，挑选的是与满足下述两个条件的校验点相连的边：1） 距离当前变量点最远，2）在满足条件 1）的校验点中度数最小。如果满足这两 个条件的边不唯一，则随机挑选一条。
另一方面，Tao 等人在研究了环、停止集（stopping set）与 Tanner 图及码 的其他特性之间的关系之后发现：在 Tanner 图中，环的连通度，具体地说就是 Tanner 图的其他部分中只有一条边与该环中的变量点集相连的校验点的数量， 在 BP 译码时的影响比环长来得更大一些。于是他们提出了外信息度的概念 （extrinsic message degree，简称 EMD），用以度量环中变量点与 Tanner 图 的其他部分的连边数，并用一个易于算法实现的概念 ACE（approximate cycle EMD）构造了一个算法，取得了很好的仿真效果[14][15]，引起了业界的关注。 ACE 和 EMD 的概念被结合到其他 LDPC 码的构造算法中用以改进其原算法的性能 [16][17]。
1.2 本文的主要工作和结构安排
如前所述，由于 EMD 和 ACE 易与各种基于图的码型构造方法结合，同时能够 带来较大的性能增益，引起了业界的关注。Vukobratovic 等人就对 ACE 进行了厦门大学博硕士论文摘要库
第一章 引言
3
扩展，提出了 ACE 谱(ACE Spectrum)的概念，并将 Tao 等提出的 ACE 作为其特例 [18]。但无论是 Tao 的 ACE 算法还是 Vukobratovic 的 ACE 谱算法，都是遵循在 [9]中使用的随机构造方法来构造 LDPC 码。这种方法的特点是在随机生成变量点 的过程中，一旦生成了符合条件的变量点，就将其纳入校验矩阵。本文的创新点 之一是改造了这种算法，先收集一定数量符合条件的变量点，再从中选择能为 Tanner 图中的环贡献更多 ACE 的变量点加入校验矩阵，从而提高码的性能表现。 本文的第二个工作是通过研究分析 PEG 算法的基本理念，重新改写了 PEG 算 法，改写后的算法在彰显了 PEG 算法基本思想的同时，比原算法更加简洁清晰， 更加容易与其他算法结合，为后续提出 ACE 和 PEG 联合构造算法打下基础。 因为在码型构造方面，ACE 侧重于环的连通度，而 PEG 注重的是环长控制， 这就使得 ACE 与 PEG 的结合成为可能。在上述两个工作的基础上，本文将改进的 ACE 算法结合到 PEG 算法中，提出了 ACE 和 PEG 联合构造算法。该算法的基本思 想是：在 PEG 算法需要随机选择边添加时，利用 ACE 算法来挑选边，使得 Tanner 图中的环在长度和连通度上都比较好。仿真结果显示，这样的结合获得了较明显 的性能提升。 本文的结构安排如下： 第一章介绍论文研究背景，论文的主要工作以及内容安排。 第二章先介绍了与 ACE 相关的准备知识，在此基础上通过分析图的连通度给 出 ACE 算法，并且改进了 ACE 算法，在本章最后给出了改进算法的仿真结果和分 析。 第三章主要介绍了在环长控制方面发挥出色的 PEG 算法及其基本思想，并对 其进行了改写。
第四章提出了 ACE 和 PEG 联合构造算法，通过将 ACE 算法用于 PEG 算法中对 连边的选择，优化选取结果，从而得到环长和连通度都好的 Tanner 图，并且给 出了仿真结果和分析。
第五章总结本文工作。
第二章 变量点的连通性、ACE算法及改进 4
第二章 ACE 算法及改进
2.1 LDPC 码的表示
2.1.1 LDPC 码的矩阵表示 由于 LDPC 码是一种线性分组码，因此和所有线性分组码一样，可以用校验 矩阵来表示。这里并不要求 LDPC 码是满秩的。例如下面的 7×3 矩阵就可以作为 校验矩阵定义一个 LDPC 码： 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 H 2.1.2 LDPC 码的 Tanner 图表示矩阵的 Tanner 图最早是由 Tanner 提出的[3]。Tanner 图与其表示的校验矩 阵之间是一一对应的。Tanner 图中有两类点，一类是变量点（通常用○表示）， 对应于校验矩阵的列，另一类是校验点（通常用□表示），对应于校验矩阵的行。 Tanner 图中的变量点𝑣𝑖与校验点𝑐𝑗之间有边相连当且仅当在校验矩阵中(𝑗, 𝑖)元 素是 1。下图就是一个校验矩阵与其对应的 Tanner 图的例子： 𝑣0 𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑣4 𝑣5 𝑐0 𝑐1 𝑐2 𝑐3 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 图 2.1：校验矩阵及其对应的 Tanner 图 2.1.3 LDPC 码的度分布的表示 度分布[9][19]也是一种常用的表示 LDPC 码特性的方法。Tanner 图中的点的 度是指与该点相连的边的数量，例如上面图 2.1 中𝑣4点的度为 2，𝑐1点的度为 4。 𝑣0○ 𝑣1○ □ 𝑐0 𝑣2○ □ 𝑐1 𝑣3○ □ 𝑐2 𝑣4○ □ 𝑐3 𝑣5○
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第二章 变量点的连通性、ACE算法及改进 5 度分布用多项式来表示各度变量点（校验点）所占的比例。度分布有两种表示方 法，其一是从点的比例出发来刻画，其二是从边的比例出发来刻画。前者对应的 式子是： 𝛬 𝑥 = 𝛬𝑖𝑥𝑖−1 𝑙max 𝑖=1 𝛲 𝑥 = 𝛲𝑖𝑥𝑖−1 𝑟max 𝑖=1 其中𝑙max表示最大的变量点的度，𝑟max表示最大的校验点的度，𝛬𝑖表示𝑖度变量点 在全体变量点中所占的比例，𝛲𝑖表示𝑖度校验点在全体校验点中所占的比例。 从边的比例出发来刻画的式子为： 𝜆 𝑥 = 𝜆𝑖𝑥𝑖−1 𝑙max 𝑖=1 𝜌 𝑥 = 𝜌𝑖𝑥𝑖−1 𝑟max 𝑖=1 其中𝜆𝑖表示与𝑖度变量点所连的边占全体边数的比例，𝜌𝑖表示𝑖度校验点所连的边 占全体边数的比例。 在理论研究中后者比较常用，但是在实际编程中却不如前者方便，对于给定 的用边的比例刻画的度分布可以用下面的式子转化为用点的比例刻画的度分布： 𝛬𝑖 = 𝜆𝑖 𝑖 𝜆𝑗 𝑗 𝑙max 𝑗 =1 𝛲𝑖 = 𝜌𝑖 𝑖 𝜌𝑗 𝑗 𝑟max 𝑗 =1
2.2 停止集
定义 2.1 （停止集 Stopping Set[20]）𝑆𝑑 是一个由𝑑个变量点组成的点集，若 该点集的所有邻接校验点与𝑆𝑑至少有两条边相连，则称𝑆𝑑是一个停止集。 以图 2.1 中的例子为例，变量点集𝐴 = 𝑣2, 𝑣4, 𝑣5 就构成一个停止集，然而 变量点集𝐵 = 𝑣0, 𝑣1, 𝑣2 就不构成一个停止集，因为𝐵的两个邻接校验点𝑐2和𝑐3都 只有一条边与𝐵内的点相连。 停止集也可以通过计算点集在实数域上（而不是二元域上）的向量和来判断 [21]。例如点集𝐴所对应的向量和为𝑣2+ 𝑣4+ 𝑣5 = 0 2 2 2 T，在和向量中 没有值为 1 的分量，所以𝐴是一个停止集。 定理 2.1 若 Tanner 图中的变量点的度都大于 1，则每个停止集都包含环。 证明 由停止集的定义，这样的 Tanner 图中任意停止集的变量点以及与之相连的 校验点的度都至少是 2，因此就可以从中分离出节点的度都为 2 的子图，由欧拉 回路定理就知道这个子图是一个环。厦门大学博硕士论文摘要库
第二章 变量点的连通性、ACE算法及改进 6 定理 2.2 若 Tanner 图中的变量点的度都大于 1，则每个停止集一般都由多个环 构成。仅有一个环构成的停止集的元素全部都是 2 度变量点。 定义 2.3 （支撑集）一个码字的支撑集指的是这个码字中非 0 的元素的位置序 号组成的集合。 例如 100101001 的支撑集就是 0, 3,5,8 。 定义 2.4 （码字集）𝑊𝑑 是一个由𝑑个变量点组成的点集，若这𝑑个变量点所对 应的列序号恰好是一个码字的支撑集，则称𝑊𝑑 为码字集。 例如变量点集 𝑣0, 𝑣4, 𝑣6 就是对应于码字 100010100 的一个码字集。 定理 2.3 码字集是停止集。 证明 设为𝒄任一码字，𝐻为校验矩阵，则有𝒄𝐻T = 𝟎，即码字集对应的列在实数 域上的向量和是 0 向量，其中没有值为 1 的分量，因此码字集是停止集。 最小距离为𝑑𝑚𝑖𝑛的线性码，至少有一个码字的重量是𝑑𝑚𝑖𝑛，并且没有重量小 于𝑑𝑚𝑖𝑛的非零码字。因此对于一个码来说，它的码字集𝑊𝑑 的大小都至少是𝑑𝑚𝑖𝑛。 由定理 2.3，码字集都是停止集，如果能够增大一个码的停止集的大小也就能够 间接地增大码字集的大小，从而增大最小汉明距离，降低误码平台。 定义 2.5 （无环集）如果一个变量点集与他的邻接校验点组成的 Tanner 图中没 有环，则称这个变量点集为无环集。 定理 2.4 由 2 度变量点组成的点集是无环集的充要条件是这些变量点所对应的 矩阵列向量是线性无关的。 推论 2.5 全由 2 度变量点组成的无环集的大小至多是𝑛 − 𝑘 − 1，其中𝑛 − 𝑘是矩 阵列向量的维数。 定理 2.6 在一个不含度为 1 的变量点的 𝑛, 𝑘 码中，无环集 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑠 必须满 足 𝑠 𝑑𝑖 − 1 𝑖=1 ≤ 𝑛 − 𝑘 − 1，其中𝑑𝑖是变量点𝑣𝑖的度。 推论 2.7 在一个不含度为 1 的变量点的 𝑛, 𝑘 码中，不存在势大于𝑛 − 𝑘 − 1的无 环集。
2.3 外信息度 EMD
上一小节中提到增大停止集的大小可以增大最小汉明距离，从而降低误码平 台。而环是构成停止集的主要部分，但是并非所有的短环都导致小的停止集，如 果一个环与 Tanner 图的其余部分的连通度很大（即对译码有用的连边很多），那厦门大学博硕士论文摘要库
第二章 变量点的连通性、ACE算法及改进
7
么它造成的影响在进行 BP 译码时是可以得到消除的。因此 Tao 等人提出了一个 度量变量点集连通度的量 EMD。
定义 2.6 （外信息度 EMD[14]）一个变量点集的外部校验点是指与这个点集只 有一条边相连的校验点。这个变量点集的外信息度（Extrinsic Message Degree， 简称 EMD）是指这个变量点集的外部校验点的数量。 以上定义的 EMD 体现的是一个变量点集与 Tanner 图的其他部分在译码时有 用的连边的数量，而这些连边所连的校验点就是在 BP 译码时能够起到作用的校 验点。由以上定义可以容易地得出停止集的 EMD 为 0。此外，若从矩阵的角度来 看，我们也可以得到一个等价的 EMD 的定义。 定义 2.7 （EMD，矩阵角度 [21] ）一个变量点集的外信息度 EMD 就是这个变量 点集所对应的矩阵列向量在实数域上的向量和中值为 1 的分量的个数。 例如在图 2.1 中，考察变量点集𝐴 = 𝑣2, 𝑣3, 𝑣5 ，计算矩阵的第 2、3 和第 5 列的列向量和，𝑣2+ 𝑣3+ 𝑣5 = 1 2 1 3 T。在和向量中，有两个分量是 1， 因此这个点集𝐴的 EMD 值就是 2。 下面来考察环的 EMD。若一个环中任意两个变量点之间，除了构成该环所需 要连接的校验点以外，没有其他任何公共校验点，那么这个环的 EMD 的值为 𝑑𝑖 𝑖− 2 ，其中𝑑𝑖表示这个环（可以认为这个环包含了一个变量点集）中第𝑖个 变量点的度数。否则，如果存在有两个变量点，他们之间有一个公共校验点，而 这个校验点却不是构成这个环所必须的，那么这个环的 EMD 比上述的值要来得更 小。例如下图，若𝑣1与𝑣3都不同时与𝑐0连接，则环 𝑣0, 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 的 EMD 值为 6， 一旦𝑐0成为了𝑣1与𝑣3的公共校验点的时候，这个环的 EMD 值就减少为 4。 图2.2 变量点之间共用校验点会降低该环的EMD值 𝑣0 𝑣1 𝑐0 𝑣3 𝑣2
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第二章 变量点的连通性、ACE算法及改进 8 我们已经知道，停止集的 EMD 是 0。所以对于 EMD 的值较大的变量点集来说， 如果要让这个点集成为停止集，就需要加入更多的变量点才能够构成。这就是前 面说到短环不一定导致小的停止集的原因。我们可以据此构造出一个算法，让这 个算法生成的 Tanner 图中所有环长小于某一个设计长度的环的 EMD 值都大于一 个设定值，这样就可以增大最小的停止集的大小，从而间接地增大了最小汉明距 离（因为由定理 2.3，码字集都是停止集），降低误码平台。
2.4 ACE
定义 2.8 （ACE Approximate Cycle EMD[14]）一个长为2𝑑𝐴𝐶𝐸的环的 ACE 的值 定 义 为 𝑑𝑖 𝑖− 2 ， 这 里𝑑𝑖表 示 这 个 环 中 第𝑖 个 变 量 点 的 度 数 （ 其 中𝑖 =
0,1, … , 𝑑𝐴𝐶𝐸 − 1）。另外，定义一个𝑑 度变量点的 ACE 值为𝑑 − 2，定义所有校验
点的 ACE 值都为 0，定义 Tanner 图中一条路径的 ACE 值为该路径上所有变量点 的 ACE 值的和。
上面已经提到了，只有当环内的变量点之间除了构成该环所需要连接的校验 点以外，没有其他任何公共校验点时，这个环的 EMD 值才与 ACE 值相等，否则 EMD 值小于 ACE 值。因此可以说 ACE 值是 EMD 值的上界。上一节图 2.2 中的例子 就说明了这个问题：如果没有这样的共用校验点，该环的 ACE 值与 EMD 值相等， 为 6，若有共用的校验点，ACE 值仍然为 6，但是 EMD 值减小为 4。 由此可见，相对于 EMD 来说 ACE 的计算更加地简单，无须考虑是否环内变量 点有共用其他校验点。下一节将介绍 Tao 等人提出的一个带有参数 𝑑𝐴𝐶𝐸, 𝜂𝐴𝐶𝐸 的 算法，即 ACE 算法，算法中要求生成的 Tanner 图中所有环长小于等于2𝑑𝐴𝐶𝐸的环 的 ACE 的值都不小于𝜂𝐴𝐶𝐸，若改为要求 EMD 值都不小于𝜂𝐴𝐶𝐸，算法将变得异常复 杂，因此下面的构造算法用 ACE 取代 EMD 是切实可行的[14][15]。
2.5 ACE 算法
这个 ACE 算法采用了密度进化理论中建议的度分布[9]。由于高度的变量点 在译码时出错的概率较小，因此这个算法把高度点集中到了信息比特的位置，用 来保护信息。密度进化理论中建议的度分布都有较多的 2 度点，如果这些 2 度点 形成环，那么这样的环的 EMD 就是 0，那就必然成为停止集。由前面的推论 2.5 知，这些 2 度点是可以构成无环集的，由定理 2.4 知，只要他们对应的矩阵的列厦门大学博硕士论文摘要库
第二章 变量点的连通性、ACE算法及改进 9 线性无关即可。具体算法如下： 算法 2.1 ACE 算法 上述算法中检测𝑣𝑖是否与已生成的矩阵部分线性相关这部分，可以使用一个 临时矩阵来辅助判断。这个临时矩阵在算法初始时也是空矩阵。在对𝑣𝑖进行线性 无关的判断时，用已经得到的矩阵的列向量对𝑣𝑖进行高斯消去，得到消去的结果 𝑣𝑖′。然后判断𝑣𝑖′是否属于由上述临时矩阵的列向量生成的向量空间。若是，则说 明𝑣𝑖与已生成的矩阵部分线性相关，回到 REDO，重新生成𝑣𝑖；若否，则说明线性 无关，进一步若𝑣𝑖满足了 ACE 条件，就将𝑣𝑖′作为新的列向量添加到临时矩阵中， 用来检测下一个𝑣𝑖+1是否满足线性无关条件。
上述 ACE 算法中的核心部分是对𝑣𝑖进行 ACE 检测。下面给出对𝑣𝑖进行 ACE 检 测的算法： for(i=n-1;i>=0;i--) begin REDO: 根据度分布随机生成𝑣𝑖; if i>=k（即当𝑣𝑖是校验比特时） begin 检测𝑣𝑖是否与已生成的那部分矩阵线性无关; if 𝑣𝑖与已生成的那部分矩阵线性相关 goto REDO; end 对𝑣𝑖进行 ACE 检测; if 有某个环长小于等于2𝑑𝐴𝐶𝐸的环的 ACE 值<𝜂𝐴𝐶𝐸 goto REDO; end
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