Finite Strip Method

A p p l i e d M a t h e m a t i A p p l i e d M a t h e m a t ic s a n d c s a n d M e c h a n i c sM e c h a n i c s ( E n g l i s h ( E n g l i s h E d i t i oE d i t i on , V o l . 5n , V o l . 5, N o . 6 , D e c . 1 9 8 4 ), N o . 6 , D e c . 1 9 8 4 ) P u b l i s h e d b y H U S T P r e s s P u b l i s h e d b y H U S T P r e s s W u h a n , C h i n a W u h a n , C h i n a A X A L A X A LY S I SY S I S' ' O F O F T H I N P A R A L LT H I N P A R A L LE L O G R AE L O G R A M M P L A TP L A TE S ' E S ' B E N D I N GB E N D I N G S P L I N E - F I N I T E - S T R I P M E T H O D S P L I N E - F I N I T E - S T R I P M E T H O D M . M . J . J . C h e n C h e n ( ( ~ ~ ( A s s o c i a t e P r o f e s ( A s s o c i a t e P r o f e ss o r , s o r , D e p a r t m e n t D e p a r t m e n t o f o f C o m p u t e rC o m p u t e r S c i e n c e , Z h o n g s h a n u n i v e r s i t y , S c i e n c e , Z h o n g s h a n u n i v e r s i t y , V i s i t i n g s e n i o r V i s i t i n g s e n i o r R e s e a r c h A s s i s t a n t , R e s e a r c h A s s i s t a n t , D e p a r t -D e p a r t -m e n t o f m e n t o f C i v i l E n g iC i v i l E n g in e e r in e e r in g , n g , U n i v eU n i v er s l Cr s l C! ~ ! ~ o fo f H o n g K o n g ) H o n g K o n g )

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( P r o f e s s o r ( P r o f e s s o r a n d l la n d l le ae ad , d , D e p a r t m eD e p a r t m en t n t o f c i v io f c i v i E n g i n e e r i E n g i n e e r in g , n g , u ~ i v e r su ~ i v e r si t y i t y o f o f . 5 o. 5 on g n g K o n g )K o n g ) ( R e c ( R e ce i v ee i v ed d D e c . D e c . 2 12 1, 1 9 8 3 ), 1 9 8 3 ) A B S T R A C T A B S T R A C T S p l i n e f i n i t e s t r i p h a s S p l i n e f i n i t e s t r i p h a s b e e n s u c c e s s f u l l y b e e n s u c c e s s f u l l y a p p l i e d i na p p l i e d i n s o l v i s o l v in g r i g h t pn g r i g h t pl a t e s l a t e s a n d s h e l l s a n d s h e l l s b y b y C h e uC h e un g e t an g e t al i n I "l i n I "8 2 .8 2 . I n t h i I n t h is s p a p e r , p a p e r , t h e t h e m e t h om e t h od d i s i s e x t e ne x t e nd e d d e d t o t o t h e t h e a n a l y s ~ s a n a l y s ~ s o fo f p a r a p a r al l e ll l e lo g r ao g r am m p l a c e . p l a c e . T h i s T h i s e x t e n s i oe x t e n s i on n s t i l l s t i l l r e t a i n s tr e t a i n s th eh e b a n d e d n b a n d e d na t u r e a t u r e o f t ho f t he s p l i n e f i n i t e e s p l i n e f i n i t e s t r i p a n d s t r i p a n d o n l y s m a lo n l y s m a l a m o u n t o f a m o u n t o f e x t r a e x t r a c o m pc o m pu z i n g e f f o r t i s u z i n g e f f o r t i s r e q u i r e d . r e q u i r e d . F u r t h e r -F u r t h e r -m o r e , m o r e , t h e t h e d i s c rd i s c re t i s ae t i s at i o n t i o n e r r o r o f e r r o r o f t h e t h e a b o v e m e t h o d i sa b o v e m e t h o d i s e s t a b e s t a bl i s h el i s h ed d t h e o r e tt h e o r e ti c a l l ~ i c a l l ~ a s a s a a g e n e r a l e a s e f o r g e n e r a l e a s e f o r t h e t h e s p l i n es p l i n e f i n i t e s t r i p m e t h o d . f i n i t e s t r i p m e t h o d .

I n t r o d u c t i o n

I n t r o d u c t i o n

T h e T h e f i n if i n it e et e el e ml e me n t me n t me t he t ho d o d ] i s o n e o f t h e ] i s o n e o f t h e m o sm o st ~ , ot ~ , ow e rw e rf u l f u l t o o l s t o o l s f o r s t r u c tf o r s t r u c tu r a lu r a l a n a l y s i s , a n a l y s i s , h o w e v e r , h o w e v e r , i t s i t s p r a c t i cp r a c t i ca l a l v a l u e v a l u e i s i s v e r y m u c h l i m i t e d b y i tv e r y m u c h l i m i t e d b y i ts s c o m p u t i n g c o s tc o m p u t i n g c o s t a n d s t o r a g e a n d s t o r a g e' s r e' s r eq u i r e m e n t . q u i r e m e n t . T o t a k e T o t a k e a d v a n ta d v a n ta g e s o f t h e a g e s o f t h e r e g u l a r i tr e g u l a r i ty y , , s h a p e s h a p e o f o f c e r -c e r -t a i n c l a s s e t a i n c l a s s es o f s o f s t r u c t u r e , s t r u c t u r e , s u c h a s s u c h a s b r i d g e s , b r i d g e s , t h e f i n i t e s t r i p m e t h o d t h e f i n i t e s t r i p m e t h o d ] w a s d e v e l o p -] w a s d e v e l o p -e d e d b y b y C h e u nC h e u ng i n g i n t h e t h e e a r l y s e v e n t i e s . e a r l y s e v e n t i e s . T h i s s e m iT h i s s e m i- a n a l y t i c- a n a l y t i ca l m e t h o d , w h i c h i s a l m e t h o d , w h i c h i s b a s e db a s e d o n o n t h e t h e t r a n st r a n sc a n d ec a n d en t a l v in t a l v ib r a t i o nb r a t i o na l m o d ea l m o d es f o r s f o r a p p r o x i m a t i o n , a p p r o x i m a t i o n , s u f f e r s f r o m s u f f e r s f r o m d i f f i c u l -d i f f i c u l -t i e s t i e s w h e n d e a l i n g w h e n d e a l i n g w i t h c o n c e nw i t h c o n c e nt r a tt r a te d f o r c e se d f o r c e s, m u l t i -, m u l t i -s p a n a n d s p a n a n d s k e w e d s k e w e d p l a t e , e tp l a t e , e tc . c . I nI n o r d e r t o o r d e r t o o v e r c oo v e r c om e m e t h e s e s h o rt h e s e s h o rt c o m it c o m in g s o f t h e f i n i t e s t r i p n g s o f t h e f i n i t e s t r i p m e t h o d , m e t h o d , t h e t h e s p l i n e f i n i t es p l i n e f i n i t e s t r i p w a s d e v i s t r i p w a s d e v is e d b y C h e us e d b y C h e un g e t a l n g e t a l ] i n ] i n 1 9 8 2 . 1 9 8 2 . T h i s m eT h i s m et h ot h od i s , i n d i s , i n f a c tf a c t, , t h e t h e m a r -m a r -r i a g e o r i a g e of s p l i n e f u n c t i o n s a n d l o c a l i n t e r p o l af s p l i n e f u n c t i o n s a n d l o c a l i n t e r p o l at i n g p o l y n ot i n g p o l y n om i a l m i a l o f s t a n d a r d f i n io f s t a n d a r d f i n it et e e l e m e n t m e t h o d . e l e m e n t m e t h o d . E x t e nE x t e ns i v e n u m e r i cs i v e n u m e r i ca l e x a m pa l e x a m pl e s o n l e s o n r i g h t r i g h t p l a t e s a n d p l a t e s a n d s h e l l s s h e l l s w e r e w e r e w e l l -w e l l -d o c u m d o c u me n t ee n t ed d i n i n t h e i r p a p e r , b u t t h e a p p l i c at h e i r p a p e r , b u t t h e a p p l i c ab i l i tb i l i ty o f t h i s m e t h o d i n ty o f t h i s m e t h o d i n th e h e a n a l y s i s o fa n a l y s i s o f s k e w e d s k e w e d p l a t ep l a t es r e m a i n s u n e x p l o rs r e m a i n s u n e x p l o re d . e d . T h e m a i n t h e mT h e m a i n t h e me e o f to f th e h e p r e s e n t p a p e r i s p r e s e n t p a p e r i s t o t o e x t e n de x t e n d

1 7 2 8

. J . C h e n , L . G . T ha m a n d Y . K . C h e u n g

t h e t e c h n i q u e t o p & r a ] . i e l o g r a m p l a t e , a n d i t s c o n v e r g e n c e i s e s t a b l i s h e d a s g e n e r a l c a s e o f t h e s pl iJ ~e f i n i t e s t r i p m e t h o d . I n f a ct , t h i s t e c h n i q u e c a n b e e a s i l y a d o L t e d f o r t h e . ~ n a ly s i s o f c u r v e d F . ]a t es a n t q u a d r i ] n t e r a ] s h e ] ] s , a n d i t s f u l l d e t a i l s w i l l b e : ! i s c um s e d i n a f { ~ Tt h c o m in q p a p e r . 1 i . S t a t e m e n t o f P r o b le m s

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i n t h e r e a l m o f K i r c h h o f f ' s p l a t e b e B d i n g , t]:{, tet,-~l enerm\ ] ( W ) =  -. a_x ~

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( 2 . 4 ) a n d i t s a t i s f i e s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s : ( a ~ ) , ( 2 . 5 ) ( a ~ ) ~ ( ~ . 6 ) I l l . C o o r d i n a t e T r a n s f o r m a t i o n a nd D i s c r e t i s a t i o n C h o o s i n g t h e t r a n s f o r m a t i o n , ~ = a ~ + k b n , g = b n ( 3 .1 ] t h e p l a t e w i l l b e m a pl ~ ed i n t o t i le r e g i o n b = [ 0 , l ] X [ 0 . ] i n t h e ~ - -~ / p l a n e . I n a d d i t i o n , t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e s e c o n d d e r i v a t i v e s o f t h e t w o p l a n e s c a n

A n a l y s i s o ? T h i n P a r a l l e l o g r a m P l a t e s ' B e n d in g

1 72 9

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2, a r e t h e J m ~ a g e s f ( 0 , Q ) j u n d e r ~ , t h e t r a n s f o r m a t i o n ( 3 .1 ) . I n t h e c o n t e x t o f t L e s [ ;l i ne s t r i E , t ] q e w h o l e d c m a J ~ 5 i s i a . r t i t i o n e d i n t o s <r i r , ( F i g . 2) s u c t h a t n - 1 ^

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i n t i l e [ ; c e s e n t a p o y c a c h z ~ ( ~ , ~ ) i n _{.. t} j i s _{t T o} i n e r p  b ' ' U e r m i t e F o l y n o m i : ~ l t h e ~ d i r e c -7 " C ! . c ic , a n d ~ - - 3 s l < t i n e i n t h e o t h e Y d ~ ;- e <' t ~o n , t h , a t

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1 7 3 0 M . J . C h e n , L . G . T h a m a n d Y . K . C h e u n g ] I ~ ' + 3 , ~ = ( r / - - ~ , _ , ) + 3 ) ( p - = r / , _ , ) ' - - 3 ( r l - - r / , _ , ) s r / , _ , ~ r / ~ < r / , ~ , ( 0 ) = - ~ - ^ B I ~ l ' ~ - t - 3 1 = ( r h + : - - r l ) - t - 3 [ ( r h . ~ : - - r l ) Z - - 3 ( r h + = - - ~ 7 ) s r l, <r l< ~ < rh + , ( r l , + . . - - r l ) ~ r l , + : < r l ~ r l , +

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I n o r d e r t , , s a t i s f y t h e f o r c e d b , ) u n d ~ r y c o n d i t i o n s a l o n g t h e t o p d b ot ~ nf -~ g e s , t h e f i r s t ~ i d l a s t t l n e e ~ a ] s ] J n e s T .i (~ ) ( 3 = - - I , , I a n d , n - - l ) ~ b r n + l ) i ~ a\ , e t o e m < ~ d i ~ i o d a c c 9 t o T a b l e I , T a b l e i . , i f i p d l o c a l s N l i n e t o s a t i s f y f o r c e d b o u n d a r y c ~ .n ( :i t i, s a t - ~ k ~ : - . s " < 5 . ] I L i i ~ , ~ - i - s - F r e e E n d ~ ~';o " i q~ y Su] ed En d- E ! - i ... w ] 0 ~ 11 at eG q~ 4T-I q)I--q-J t l a m p e d E n d : L ] im - i E l i m i n a t e d w ( ~ o ) = w ' ( , ~ o ; : O I n a t e d - 2 ~ o + ~ - , a n d 7 7) i s n o w r e w r i t t e n a s

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F u r t h e r m o r e , t h e b o u n d a r f c o n d i t i o n s f o r t h e ]e f t a n d t h e L i g h t e d q e s c a n b e i m p o s e d as t h e s t a n d a r d m e t h o d . O n c e t h e d i s L e l a c e m e n t f u n c t i o n s F <~ r t h e s t r i p ! k v e b e e n c h o s e p , t h e s t r i p c h a r a c t e r i s t i c s i n c l u d i n g s t i f f n e s s , l o a d a n d m a s s m a t r i c e s c a n be c d ] ta i n ed i n l i n e w i t h t ] .e s t a n d a r d f i n i t e e l e m e n t m e t h o d f o r m u ] a t i o ~ .

IV. Error Estimation of Spline Fini te St rip Hetho

] ~ E r r o r o f t h e e n e r g y n o r m . T h e s p l i n e f i n i t e , e l e m e n t e n a b l e s C ~ ~ n t i n u i t y b y e m F ] o y i n g o n l y t w o p a r a m e t e r s p e r n o d e, a n d t h is i s d e t i n i t e l y a n a d v a n t a g e o v e r t he f i n i t e e l e m e n t m e t h o d . H o w e v e r , i t i s n e c e s s a r y t o e s t a b l i s h t h e o r d e r o f c o n v e r g e n c e o f t h e t h o d . T ] , e f o l lo w i i~ g p r o o f i s b a s e d o n c ] ~ m p e d e d g e s } ) u t t h e p r o o f f o r o t h e ~ b o u n d d r v c o n d i t i o n s l f o l l o w r e a d i l y . W e a l s o f o u n d t h e p r o o f o n a s t r o n g e r c o n d a -t i o n s o a s -to a v o l d -t h e a b s -t r a c -t S o b o l e v ' s s p a c e . I f z ~ ( x , y ) ( C ~ a n d L un ,m (x ,y ) d e n o t e t h e e x a c t a n d a p F r o : < i m a t e s o l u t i o n , t h e n . ~ 4 o , ~ I c ] x 2 0 ~ / ~ J o , ~ c ]. 4

A n a l y s i s o f T h i n , P a r a l l e l o g r a m P l a t e s ' B e n d i n g

1 7 3

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F o r e v e l - : , , ,

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( 4 . 6 )

t - - ! I t h a s n o w s h o ~ t h a t v ( x , y ) i s a p r o d u c t o f H e r m J t e c u b i c p o ] v n o m i a ] a n d c u b i c s p l i n e . G l o b a l l y , u (C J( ~2 ) a n d s a t i s f i e s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s :

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1734

M.J . Chen, L.G . Tha m and Y.K . Cheung

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A n a l y s i s o f T h i n P a r a l l e l o g r a m P l a t e s ' B e n d n g

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V I . C o n c l u s i o n

I n t h i s pa p e r , i t i s s h o w n b o t h n u m e r i c a l l y a n d m a t h e m a t i c a l l y t h a t s p l i n e f i n i t e s t r i p m e t h o d c an b e a p p l i e d i n t h e a n a l y s i s o f p a r a l l e l o g r a m p l a te . T h e s p l i n e f i n i t e s t r i p o n l y r e q u i r e s t w o p a r a m e t e r s ( d i s p l a c e m e n t a n d r o t a t i o n ) p e r n o d e f o r i n t e r p o l a t i o n t o s a t i s f y C ~ c o nt i n ui t l , , a n d t h i s w i l l d e f i n i t e l y h a v e a d v a n t a g e o v e r t h e s t a n d a r d c o n f o r m i n g e l e m e n t o f w h i c h f o u r u n k n o w n s ( w, a n d @ = w ) p e r n o d e a re r e q u i r e d . I n a d d i t i o n , t h e o r d e r o f c o n v e r g e n c e i s t h e s a m e f o r b o t h c a s e s

REFERENCES

Z i e n k i e w i e z , 0 C . , T h e F i n i t e E l e m e n t M e t ho d , 3 r d Ed ., M c G r a w - H i l l , U .K . ( 1 9 7 4 ) . ( 2) C h e u n g , Y . K . , F i n i t e S t r i p M e t h o d i n S t r u c t u r ~ l A n a l y s i s , I s t E d ., P e r g a m o n P r e s s , ( 1 9 7 6 ) . ( 3) C h e u n g , Y .K . , S .C . F a n a n d C . Q . W u , s p l i n e F i n i t e S t r i p in S t r u c t u r a l A n a l y s is , p r o c . o f t h e In t . C o n f . o n F i n i t e E l e m e n t M e t h o d , S h a n g h a i , . ( 19 8 2) , 7 0 4 - 7 0 9 . ( 4) S c h u l t z , M . H . , S p l i n e A n a l y s i s , P r e n t i c e - H a l l I n c . , ( 1 97 3 ) ( 5) L i , Y . S . a n d D . X . Q i , S p l i n e M e t h o d , s c i e n c e P r e s s , ( 1 97 9 ). ( in C h i n e s e ) 6 ) C i a r l e t , P . G . , N u m e r i c a l A n a l y s i s o f F i n i t e E l e m e n t M e t h o d ( C h i n e s e V e r s i on ) , ( 1 9 7 5 ) . ( 7) R a m s t a d , H . , P a r a l l e l o g r a m E l e m e n t s i n B e n d i n g , A c c u r a c y a n d C o n v e r g e n c e o f R e s u l t s , D iv . o f S t r u c t u r a l M e c h a n i c s , T h e T e c h n i c a l U n i v e r s i t y o f N o r w a y , ( 1 9 6 7 ) .