3.5 The eSMEM Algorithm for Shape Modelling
3.5.1 EM Algorithm for Shape Modelling
La solución del sistema de ecuaciones diferenciales de la ecuación (3.32), conociendo un vector de estado inicial Xo y el intervalo de tiempo de solución T (que es comúnmente de 0 a 5 segundos en el caso de un estudio de estabilidad transitoria ) es conocida como un problema de valores iníciales [3.22]. Se dice que una función vectorial del tiempo
x
=
x( )t
es una solución de este problema de valores iníciales si:( )
0 0
t
=x
Capítulo 3: Modelado de Sistemas Eléctricos de Potencia con Fuentes Alternas para estudios de Estabilidad Angular Transitoria Para encontrar x =
( )
t numéricamente, dividimos primero el intervalo de tiempo de solución en incrementos pequeños de tiempo. Cada incremento de tiempo hi = (Δt)i es k llamado paso de integración. El objetivo es encontrarx
=( )t
en:k k 0
i=1
t = t +∑hi
Con k= 1, 2, i=...N, donde tN = t0+T. Ningún método numérico es capaz de encontrar
el valor exacto de x =
( )
tk exactamente, por lo que si llamamosx
k al valor calculadoen t = tk, el error total está representado por la siguiente cantidad [3.22]:
( )
kk
||
t
k-
||
e
≡
x=
x
………..(3.33)Este error total siempre consiste de dos componentes: un error de truncamiento y un error de redondeo. El error de truncamiento es conocido también como error algorítmico dado que depende de la naturaleza del algoritmo numérico utilizado para calcular xk. El error de redondeo es el error adicional debido a la longitud finita
de la representación de los números en una computadora. Ambos errores, de truncamiento y de redondeo, tienden a acumularse con un mayor número de pasos de integración [3.22].
Dado que el error de redondeo depende principalmente de la naturaleza de la computadora, no se puede reducir una vez que se ha elegido una computadora. Sin embargo, los diferentes algoritmos s reaccionan de manera diferente con respecto a la rapidez con que se propaga el error de redondeo. Es importante reconocer que el error total de redondeo no es solo la suma del error de redondeo que ocurre en cada paso de integración, porque este error local puede decaer o crecer a medida que los cálculos avanzan. Se dice que un algoritmo con la propiedad de que el error local de redondeo decrece conforme se incrementa el número de pasos de integración es numéricamente estable. De otra manera, es numéricamente inestable y no tiene valor práctico [3.22].
La estabilidad numérica está relacionada también con la rigidez de las ecuaciones diferenciales que representan al sistema. La rigidez está asociada con el rango de las constantes de tiempo del modelo del sistema. Es medida como la relación entre la constante de tiempo mayor y la menor [3.10]. En los estudios de estabilidad transitoria, la rigidez del sistema de ecuaciones diferenciales se incrementa con el detalle en el modelado. Por esta razón, en la elección del algoritmo de solución de las ecuaciones diferenciales, la estabilidad numérica es un factor aún más importante que la exactitud del algoritmo [3.6]. En este trabajo se utiliza la regla trapecial de
con fuentes alternas de generación (turbojet)
integración para resolver las ecuaciones diferenciales del sistema. En este algoritmo, la solución al final del paso n+ 1 está dada por
(
) (
)
n+1 n n+1 n1 n n
h
x
=x +
f x
,t
+f x ,t
2⎡⎣
⎤⎦
………..(3.34)El algoritmo trapecial es conocido como una fórmula de dos puntos debido a que se necesitan los valores de en dos instantes de tiempo tn y tn+1. También es un
método implícito, ya que la variable desconocida xn+1 está en ambos lados de la
ecuación (3.22) [3.22]. La regla trapecial tiene una exactitud de segundo orden, siendo el primer término del error de truncamiento igual 1 3
a - h 12 [6].
La principal razón para la elección de la regla trapecial de integración es que es un método A-estable [3.21] (incondicionalmente estable [3.6]). Esto indica que la rigidez del sistema que es analizado afecta su exactitud, pero no su estabilidad numérica. Con pasos de integración mayores, se filtran los modos de alta frecuencia y los transitorios rápidos, y la solución para modos más lentos es más cercana a la exacta [3.10]. Esta propiedad permite emplear pasos de integración mayores que los usados en los métodos explícitos [3.2, 3.10, 3.6]. Estos métodos de integración (los explícitos) tienen una estabilidad numérica débil; con sistemas rígidos, la solución se dispara a menos que se utilice un paso de integración pequeño. Aún después de que los modos rápidos han decaído, se requieren pasos de integración pequeños para mantener la estabilidad numérica [3.10]. Han sido propuestos métodos implícitos de mayor orden en la literatura de métodos numéricos, pero no han sido empleados ampliamente en aplicaciones de sistemas de potencia 3. [10]. Esto se debe a que son más difíciles de programar y son menos estables numéricamente que la regla trapecial, ya que se ha demostrado que un método lineal multipaso A-estable no puede tener un orden mayor que 2 y, por lo tanto, la regla trapecial es el método de diferencias finitas A- estable más exacto posible [3.6, 3.22]. Es importante reconocer que un algoritmo multipaso estable solo puede garantizar que los errores locales de redondeo no se amplificarán para un paso de integración h lo suficientemente pequeño. A medida que el paso de integración se incrementa, sin embargo, el error de truncamiento puede oscilar, proporcionando una solución numérica errónea [3.22]. Por lo anterior, la elección del paso de integración h para la regla trapecial de integración está restringida solamente por la exactitud (el máximo error de truncamiento permisible) y no por la estabilidad.