Calculating Stack Size

Los matemáticos contemporáneos con Euler trabajaban solo con sistemas de ecuaciones lineales cuadrados; cuando en un sistema lineal cuadrado desaparecía una de las ecuaciones, producto del proceso de solución o cuando no tenía solución, era rechazado con el argumento de estar mal planteado, es decir, se tenía como verdadera la noción de que 𝑛 ecuaciones bastaban para encontrar 𝑛 variables:

También los tratados de álgebra, hasta el siglo XVIII, piensan haber cumplido su misión, en lo que a primer grado se refiere, una vez que han expuesto reglas;

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en cuanto a los sistemas con tantas ecuaciones como incógnitas (no consideran otros) sistemas cuyos primeros miembros no sean formas linealmente independientes, se contentan simplemente con señalar de pasada que se trata de un problema mal planteado. (Bourbaki N. , 1976, pág. 86)

Actualmente, con el estudio de sistemas con infinitas soluciones podemos encontrar la relación existente entre el número de ecuaciones, el número de variables y el número mínimo de soluciones que son necesarias para generar todas las demás. En efecto, los sistemas consistentes, tales que el número de ecuaciones sea en medio del proceso de resolución, termine siendo menor el número de ecuaciones que el número de incógnitas, son claves; puesto que abordando el análisis de su solución es que se puede aproximar a los conceptos relativos al álgebra lineal o más precisamente a los preconceptos del concepto que se han señalado como centrales en el álgebra lineal: rango, dependencia e independencia lineal y conjunto generador. Euler, por su parte, estudia detenidamente el caso de los sistemas cuadrados en los que finalmente se revelan una o más variables indeterminadas y plantea el análisis que debe hacerse a la hora de determinar la razón por la cual un sistema de ecuaciones no tiene solución única:

Si uno tiene tantas ecuaciones como incógnitas de un sistema de ecuaciones lineales puede suceder que una o más de las variables permanezca indeterminada si una de la ecuación es igual o es un múltiplo de otra o si una de ellas está contenida entre las demás. (Euler, 1748)

Actualmente, la observación hecha por Euler se podría tomar como una verdadera aproximación al concepto de dependencia lineal entre las ecuaciones de un sistema. Era de esperarse que el concepto de dependencia e independencia lineal emergiera rápidamente gracias

103 al análisis iniciado por Euler, pero transcurrieron más o menos cien años para que se retomara esta perspectiva; en adelante se intentará dar las razones para que fuera desestimado el interesante enfoque de Euler.

Teoría de matrices

El álgebra de matrices y, más específicamente, la suma de matrices y su producto por un escalar, dan lugar a un conjunto que dotado con estas operaciones se convierte en un caso particular de espacio vectorial. Sin embargo, el concepto de matriz actual, aquel que es sujeto de enseñanza, no solo da cuenta de estas como objeto matemático, sino como herramienta para representar y resolver sistemas de ecuaciones. Históricamente el surgimiento de las matrices como objeto matemático se puede localizar en la obra de James Joseph Sylvester (1814-1897) y Arthur Cayley (1821-1895) a mediados del siglo XIX, mientras que, como herramienta de representación, se puede ubicar en distintas y remotas épocas, como también en distintos contextos de las matemáticas como se mostrará en adelante.

2. 2 Cramer y la teoría de determinantes.

En el mismo año en que Euler presenta su trabajo, Gabriel Cramer (1704 -1752) presenta su tratado titulado Introduction á l´analyse des Courbes Algébraiques (1750). Este fue el primer texto que introdujo una notación generalizada para escribir los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales, como también una regla (Regla de Cramer), con la que se puede expresar la solución de un sistema 𝑛 × 𝑛 en función de sus coeficientes; ésta regla emplea lo que a la postre se llamaría determinantes.

104 Los determinantes se usaron en numerosos estudios e investigaciones y la teoría de determinantes se convirtió en una línea de estudio prolija de las matemáticas. A raíz de los aportes de Cramer el enfoque cualitativo, iniciado por Euler, pierde interés. Cramer y los matemáticos de la época se interesaron en encontrar la solución de los sistemas lineales cuadrados con solución única por medio de esta regla totalmente mecánica. Un siglo después de la aparición de la regla de Cramer encontramos el primer texto colombiano de “geometría analítica” donde se propone el método de Bèzout, que se basa en una demostración de tipo heurístico que llega a mostrar la validez de la regla de Cramer. Este texto llamado Lecciones de Geometría analítica fue escrito en 1850, por Lino de Pombo O´Donell (1797-1862). Lino de Pombo, era cartagenero de padres españoles, realizó sus estudios en España y fue profesor del Colegio Militar, Pombo afirmaba que la geometría analítica juega un importante papel en las matemáticas, nos brinda la oportunidad de establecer relaciones coherentes entre el álgebra y la geometría.

El texto Lecciones de Geometría escrito en 1850 por Pombo, es el primero de geometría analítica para la enseñanza en la educación superior escrita por un colombiano, nace del esfuerzo por escribir notas de clase a partir de la experiencia que ya tenía al dictar el curso durante varios semestres consecutivamente, para la época no existía un texto local que se adaptara a lo que Pombo deseaba enseñar.