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La construcción del objeto vector se dio en medio de la consolidación de los números complejos y su necesidad de representarlos en el campo de la geometría. Después de los acercamientos de Descartes, una de las primeras representaciones geométricas de números negativos y de raíces de números negativos fue propuesta por el matemático inglés John Wallis

66 (1616-1703), en su obra titulada A Treatise of álgebra (Wallis, 1685). Para aquel momento Wallis no solo había estudiado la obra de Descartes, sino que se había replanteado el trabajo de éste con respecto a la solución de la ecuación de cuarto grado; además ya llevaba un largo tiempo discutiendo con otros matemáticos, como John Collins (1625-1683), sobre algunos problemas geométricos que daban lugar a este tipo de números. En uno de sus escritos Collins menciona el problema que había trabajado con Wallis:

Wallis había analizado un triángulo de lados 1 y 2 con base de 4. Wallis mostró que, si uno simplemente avanza a través de los cálculos algebraicos formales, entonces los dos segmentos de la base resultan reales, aunque el triángulo sea imposible de construir, Collins continúa afirmando que: De haber continuado él habría encontrado que la perpendicular debía ser imaginaria, lo cual había revelado la imposibilidad (Nahin, 1998, pág. 64).

Esta cita señala que al parecer Wallis abandonó el estudio geométrico cuando no tenía una interpretación física completamente clara. Notemos que triángulo no se puede construir porque no cumple con la desigualdad triangular. Wallis estuvo muy cerca de establecer una conexión entre el álgebra y la geometría a través de los números imaginarios.

En el capítulo LXVI de su obra, Wallis hace notar que los números negativos tenían un lugar claro en el espacio físico y que la desconfianza con la que los matemáticos lo abordaban no permitía darles este lugar. Es quizás ante la insistente aparición de los números negativos en la solución de diferentes problemas en las matemáticas, que Wallis se esfuerza por darles un lugar en el mundo físico:

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En cuanto a la notación algebraica, importa la cantidad a la izquierda de la nada: sin embargo, cuando se trata de aplicaciones físicas, denota una cantidad tan real como si fuera el signo+; pero debe interpretarse en un sentido contrario (Wallis, 1685, pág. 265)

En esta cita, Wallis explica cómo representar los números negativos en la recta, considerándolos como cantidades contrarias a las cantidades positivas y ubicándolas antes de la “nada” (el punto cero u origen, en términos modernos). Aunque para un lector moderno, la definición de Wallis de número negativo resulta obvia o muy básica, para su época es un gran avance, ya que está dotando de interpretación física las cantidades negativas.

Hemos sido testigos, lo largo de la historia, de cómo los matemáticos esquivaron la interpretación física de los números negativos por los paradigmas planteados en la geometría euclidiana. Wallis enriquece su explicación presentando una serie de ejemplos que relacionan operaciones aritméticas con movimientos en la recta; estos ejemplos sustentan el carácter geométrico del que estaba dotando a los números negativos. A continuación, algunas observaciones traducidas de su obra original:

Supongamos que un hombre ha avanzado de A a B, 5 yardas, y luego se devuelve 2 yardas (de B a C), si al llegar a C se le pregunta, ¿cuánto avanzó (en toda la marcha)? Yo encuentro que está avanzado 3 yardas. Pero si, habiendo avanzado 5 yardas a B, de allí retrocede 8 yardas a D; Y luego se le preguntó cuánto avanzó cuando estaba en D: digo -3 yardas. Es decir, está avanzado 3 metros a la izquierda que nada. (Wallis, 1685, pág. 265)

68 La imagen que provee Wallis es la siguiente:

Recuperado de ( Wallis,1685)

Estos ejemplos, donde se hace uso del movimiento y de la intuición, son muy similares, por no decir iguales, a los ejemplos que se encuentran en algunos textos actuales para explicar la inclusión de los números negativos en la recta. Es importante distinguir que, Wallis trata a las cantidades negativas asignando una magnitud, es decir, asocia una medida de cantidad física a segmentos de la recta, mas no ubica números negativos como objetos (puntos) en la recta; establece una correspondencia entre magnitudes determinadas a partir del origen con segmentos de recta. Actualmente, se puede evidenciar una prefiguración del concepto de vector.

Cabe destacar el interés de Wallis por el estatuto conceptual de las cantidades negativas, pues a pesar de darles una interpretación geométrica como segmentos de sentido opuesto a los positivos, no esquivó el uso de los números negativos. Este hecho marca una diferencia en el trabajo de Descartes, quien no apeló al uso de números negativos en su análisis de curvas algebraicas.

Adicional a esto, Wallis presenta la operación (suma o resta) asociada a los movimientos que genera en la recta. Resulta interesante que, actualmente, para la enseñanza de los números negativos en muchos de los casos se utilice una metodología similar a la que plateó Wallis en su época.

69 Para Wallis, así como se podían representar números negativos en la recta, también había lugar para la representación de las raíces negativas. El método de representación propuesto consiste en simbolizar la parte real de un número complejo sobre la recta horizontal, teniendo en cuenta que si es negativo estará a la izquierda del origen y si es positivo a su derecha. A partir del número ubicado en la recta se traza un segmento perpendicular que simboliza la parte imaginaria multiplicada por √−1 .

La siguiente imagen corresponde a lo explicado:

Ilustración 7: Representación de raíces negativas

Cabe preguntarse por la dimensionalidad ausente que tiene la representación de Wallis. Para la época, el método de las coordenadas propuesto por Descartes ya cumplía aproximadamente 40 años y, al parecer, no se había reconocido, (al menos esto deja ver la representación de Wallis).