Chapter 12: PyEmu—The Scriptable Emulator
10.3 Driverlib—The Static Analysis Tool for Drivers
El carácter riguroso de las demostraciones en la geometría plantea que, a diferencia de otras ciencias, en la geometría no hay lugar para las contradicciones o las controversias; si
96 en algún momento se presentan dos proposiciones contradictorias, posiblemente es una contradicción aparente debido al desconocimiento de algunas ideas más profundas.
A pesar de no concebir contradicciones entre proposiciones en la geometría, Euler llama la atención sobre dos proposiciones conocidas y aceptadas por la comunidad matemática, que presentan una aparente contradicción; una de estas proposiciones hace parte de la teoría de líneas curvas.
Las dos proposiciones que plantea son (Euler, 1748): Proposición I
Una línea recta o de primer orden se puede trazar a partir de dos puntos dados; así mismo una línea de segundo orden o sección cónica se puede trazar con cinco puntos dados, una línea de tercer orden con 9 puntos y una de cuarto orden con 14 puntos dados. En general, una línea de orden n-èsimo puede ser determinada por (𝑛
2 + 3𝑛)
2
puntos cualesquiera.
La forma general de una línea curva de orden n-èsimo es:
𝐴𝑦𝑛+ (𝐵 + 𝐶𝑥)𝑦𝑛−1+ (𝐷 + 𝐸𝑥 + 𝐹𝑥2)𝑦𝑛−2+ (𝐺 + 𝐻𝑥 + 𝐼𝑥2+ 𝐽𝑥3)𝑦𝑛−3+ ⋯ 𝑃
𝑛(𝑥) = 0
Note que la anterior expresión tiene (𝑛
2 + 3𝑛)
2 + 1 coeficientes arbitrarios 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, … ahora, al reemplazar cada punto dado por donde debe pasar la curva, nos dará una ecuación. Esto quiere decir que con (𝑛
2 + 3𝑛)
2
puntos dados se llega al mismo número de ecuaciones, lo que significa además que todos los coeficientes pueden determinarse y en consecuencia la propia curva.
97 Proposición II
Dos líneas rectas o de primer orden se intersecan a lo más en un punto, hecho conocido de Los Elementos de Euclides; así mismo dos líneas de segundo orden o secciones cónicas se intersecan a lo más en cuatro puntos, si tenemos dos líneas de tercer orden se interceptarán como máximo en nueve puntos, para cuarto orden será en 16 puntos, y así sucesivamente.
Ahora, una línea de grado 𝑚 puede ser intersectada por una línea recta en 𝑚 puntos, por una línea de segundo orden 2𝑚 puntos, de tercer orden en 3𝑚 puntos y en general una línea de orden 𝑚 puede ser intersectada por una línea de orden 𝑛 en 𝑛𝑚 puntos.
Luego de este análisis, debería concluirse que el número de intersecciones de dos líneas curvas, una de orden 𝑚 con otra de orden 𝑛 será de 𝑛𝑚 puntos o menor, dado que algunos de estos puntos pueden extenderse hasta el infinito o ser imaginarios. Algunos ejemplos que refuerzan esta proposición:
98 Aparente Contradicción.
Se ha presentado la proposición I que dice que la ecuación polinómica de grado n, en las variables 𝑥, 𝑦, contiene 1 2 3 2 n
n coeficientes arbitrarios, es decir, se necesitan 2
3
2
n
n
puntospara determinar los coeficientes. Lo ejemplifica para el caso de una línea recta diciendo que se necesitan los tres coeficientes 𝐴, 𝐵 y 𝐶, para escribir la ecuación dada por 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, pero es claro que con dos puntos que no resulten iguales, se halla la relación entre dos coeficientes de éstos con respecto a uno de ellos tomado como arbitrario. Por ejemplo, tomando 𝐴 = 1, al sustituir por separado los dos puntos dados en la ecuación general anterior se obtiene un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas con solución única.
Euler plantea que éstas dos proposiciones son reconocidas y verdaderas, pero que hay una sutileza de razonamiento que no es fácil de identificar. Para identificar la aparente contradicción Euler articula éstas dos proposiciones:
La contradicción se presenta con las líneas curvas de tercer orden, notemos que por la primera proposición, una línea de tercer orden se determina a partir de nueve puntos distintos dados o por nueve puntos distintos pasa una única línea curva de tercer orden; ahora, por la proposición II, una línea de tercer orden se intersecta con otra línea del mismo orden en a lo más nueve puntos (Euler quiere destacar en éste caso, cuando las intersecciones son distintas y todas reales), lo que significa que se pueden identificar estos puntos, por los que pasarán las dos líneas curvas. Aquí hay una clara contradicción. Euler, afirma su planteamiento con las líneas curvas de cuarto orden; observemos que según la proposición I se necesitan catorce puntos distintos para obtener la ecuación de una única línea de grado cuatro, pero por la
99 Ilustración 14: Contradicción en la intersección de dos curvas.
proposición II, nos muestra que dos líneas de orden cuatro, pueden cortarse en 16 puntos. La pregunta que surge es, ¿cómo escoger los 14 puntos que determinan una sola línea curva de orden cuatro sin que éstos no sean parte de los 16 que puede compartir con otra de su mismo grado? Teniendo en cuenta, además, si por éstos 14 puntos no solo pasa una curva de orden cuatro, obligatoriamente pasarán infinitas (no se puede dar el caso que sean solo dos curvas las que pasen por allí); esto es consecuencia de las tres posibilidades de la naturaleza de la solución.
Después de un análisis similar con la ecuación de quinto grado, Euler llega a la conclusión que es necesario hacer una precisión en la proposición I, es decir, que no basta con que los puntos sean diferentes (en la figura anterior se tiene nueve puntos distintos, pero infinitas curvas de grado tres que pasan por ellos) para poder determinar una curva de grado 𝑛 con 𝑛 ≥ 1. Sin esta precisión la proposición I no resulta verdadera en general. Euler hace las siguientes observaciones:
100 Observación I:
En un caso sencillo de un sistema 2 × 2, podemos escribir actualmente como: {3𝑥 − 2𝑦 = 5
6𝑥 − 4𝑦 = 10
Menciona qué: “puede ocurrir que dos ecuaciones no son suficientes para determinar el valor de dos variables, aun cuando en ambas ecuaciones aparezca cada una de ellas”. (Euler, 1748)
Note que en el ejemplo propuesto por Euler una de las ecuaciones es múltiplo de la otra. Euler menciona que:
Cuando decimos (proposición I) que, para determinar dos cantidades desconocidas, es suficiente tener dos ecuaciones, es necesario añadir a esta proposición la restricción de que estas dos ecuaciones deben ser diferentes una de la otra o que una ya no esté incluida en la otra, y es sólo con esta restricción de que dicha propuesta puede ser aceptada. (Euler, 1748, pág. 6)
Ésta primera observación de Euler es de suma importancia para nuestro trabajo, pues es uno de los primeros acercamientos de los conceptos de dependencia e independencia lineal. En el capítulo tres se retomará el trabajo de Euler a partir de un análisis didáctico.
Observación II
El mismo caso con un sistema 3 × 3:
4𝑥 − 6𝑦 + 10𝑧 = 16, 3𝑥 − 5𝑦 + 7𝑧 = 9, 2𝑥 − 3𝑦 + 5 𝑍 = 8,
101 En el anterior sistema hay una ecuación incluida en otra, lo que hace que realmente se tengan dos ecuaciones y que no se puedan determinar las tres incógnitas 𝑥, 𝑦, y 𝑧. Hay un caso más interesante
2𝑥 − 3𝑦 + 5 𝑍 = 8, 3𝑥 − 5𝑦 + 7𝑧 = 9,
𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 7,
En este sistema la suma de dos de las ecuaciones genera la otra ecuación, lo que permite que se puede omitir cualquiera de estas tres ecuaciones que deseamos y es como si sólo hubiera dos ecuaciones.
Euler termina afirmando de nuevo que:
De esta manera, cuando decimos que para la determinación de tres incógnitas se requieren sólo tres ecuaciones, es necesario añadir la restricción que estas tres ecuaciones deben diferir entre sí de tal manera que ninguno ya está incluido en los otros. (Euler, 1748, pág. 7)