Challenges Facing Developing Countries as a WTO Member

Teniendo en cuenta el objetivo general y los objetivos específicos y en coherencia con la teoría bajo la cual se suscribe la propuesta, se toma como unidad de análisis el discurso oral, el discurso escrito, los dibujos, la actividad perceptiva, los gestos y otros medios semióticos de objetivación movilizados por los estudiantes de grado cuarto durante el desarrollo de las sesiones. A su vez, se realizó un análisis multimodal del pensamiento humano, en el que se pudo evidenciar diferentes gestos que apoyan la generalización algebraica de patrones.

Análisis tarea 1

La tarea 1 se desarrolló en dos sesiones y tuvo como propósito, introducir a los estudiantes de grado cuarto al trabajo con secuencias figurales con apoyo tabular, e instaurar una forma de trabajo en grupos para que los estudiantes interactuarán y comunicarán sus soluciones. Los requerimientos o ítems de esta tarea guían al estudiante a que identifique el patrón de la secuencia y llegue a una generalización algebraica factual, cuyo término general corresponde a 3𝑛 + 1 con 𝑛 = 1, 2, 3, … Es importante mencionar, que los gestos evidenciados aquí, fueron registrados.

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En el desarrollo de la tarea, los estudiantes dan a conocer que las figuras siempre tienen tres hileras, que los círculos blancos de cada hilera van a estar relacionados con la figura, y que no importa la figura por la que se pregunte. El círculo negro siempre va a estar. Lo anterior, se hizo visible gracias al discurso oral y a los gestos que se movilizaron durante el desarrollo de los ítems uno, dos, tres y cuatro. A continuación se muestra el primer segmento saliente, que da cuenta de lo mencionado anteriormente.

L1. Investigador: ¿Cómo hiciste la figura 4?

L2. Erika: Pues… Yo acá, vi que (…) como era un punto negro en cada una [señala con su esfero el círculo negro de la figura 4, 3, 2 y 1 respectivamente; ver foto 1 y foto 2], acá hay un punto [señala con su esfero la figura 1; ver foto 3], acá hay dos puntos [señala con su esfero la figura 2; ver foto 4], acá hay tres puntos [señala con su esfero la figura 3; ver foto 5], entonces acá tocaba poner cuatro en cada hilera [señala con su esfero la figura 4; ver foto 6].

L3. Investigador: ¿Cuatro a cada hilera? Ok. Y ¿en la figura 5?

L4. Erika: Puse un punto en la mitad [señala con su esfero el círculo negro de la figura 5; ver foto 7] y mmm (…) en las hileras puse cinco puntos [desliza su esfero sobre las hileras de la figura 5; ver foto 8]

L5. Investigador: Ok. ¿Cuáles son las hileras?

L6. Erika: [Desliza su dedo índice sobre las tres hileras de la figura 5; ver foto 9] L7. Investigador: Ahora tú Paola ¿Cuántos círculos hay en la figura 10?

L8. Paola: Eh (…) Hay (…) mmm (…) treinta L9. Investigador: ¿Treinta? ¿Por qué treinta?

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L10. Paola: Porque si multiplicas diez por tres te va a dar treinta y (…) por eso, y se supone que en el ejemplo que sigue acá, son tres hileras [señala con sus dedos las tres hileras de la figura 10; ver foto 10 y foto 11] por eso multiplique (…) tres por diez. L11. Investigador: Tres por diez, bueno. ¿Tú que dirías Karen?

L12. Karen: Eh (…) pues que (…) a mí se me hace más fácil sumando que me da treinta [señala con sus dedos índice las tres hileras de la figura 10; ver foto 12] más el punto de acá me dio treinta y uno [señala con su dedo índice el círculo negro de la figura 10; ver foto 13].

L13. Investigador: Tú dices treinta y uno [mira a Karen], y tú dices ¿treinta? [mira a Paola]

L14. Paola: ¡Treinta y uno!

L15. Investigador: ¿Por qué treinta y uno?

L16. Paola: Porque yo no había contado el punto negro [señala con su dedo índice el círculo negro de la figura 10; ver foto 14]

Figura 21. Primer segmento saliente Tarea 1

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Foto 4 Foto 5 Foto 6

Foto 7 Foto 8 Foto 9

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Foto 13 Foto 14

Figura 22. Fotos 1 – 14. Secuencia de gestos movilizados por Erika, Karen y Paola.

En la foto 1 y en la foto 2 se observa que Erika señala con su lápiz los círculos negros de la secuencia, mientras usa deícticos espaciales como “acá” enmarcado en la frase “yo acá vi que”, este tipo de gestos son denominados gestos indexicales. Esto también se observa en las fotos 3-6, Erika usa un gesto indexical al señalar con este mismo artefacto cada una de las hileras de las figuras. El primer gesto fue empleado por la estudiante para hacer visible la similitud (es decir, el círculo negro) que tiene la figura uno, la figura dos, la figura tres y la figura cuatro. Respecto al segundo gesto indexical, se puede decir que fue utilizado por Erika para indicar la diferencia de círculos blancos que existe entre una figura y la siguiente. Los gestos evidenciados aquí se encuentran concatenados con las frases, permitiendo decir que la estudiante ha identificado la diferencia y similitud de la secuencia de patrones (ver L2). Teniendo en cuenta lo anterior, se puede decir que ha tomado conciencia de la propiedad común de las figuras y la ha aplicado a las figuras subsecuentes.

El discurso de Erika, en L4 y L6, se encuentra acompañado de gestos que permiten dar mayor claridad a su discurso oral y a los dibujos. Ahora bien, si se deja de lado los dibujos y fijamos la atención en su discurso oral, en los señalamientos y deslizamientos empleados en el espacio y tiempo, se puede decir que Erika ha logrado generalizar la secuencia de patrones, aspecto

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importante para llegar a una generalización algebraica de patrones (Radford, 2013). Esto se expresar, ya que en las fotos 7, 8 y 9 la estudiante realiza tres deslizamientos y un señalamiento; los deslizamientos indican la forma en que deben ir ubicados los círculos blancos, y el señalamiento indica en donde debe ir ubicado el círculo negro; cuando termina de hacer estos movimientos con su lápiz, se puede observar que Erika ha representado la forma de la figura cinco. Cabe notar, que hacer visible la forma de las figuras de la secuencia por medio de deslizamientos, señalamientos o dibujos en el aire de ahora en adelante se llamará gesto figural.

Teniendo en cuenta lo anterior, al conectar el gesto indexical con su discurso oral y el gesto figural con el discurso oral se observa que la estudiante ha relacionado el número de la figura con el número de círculos y ha identificado en cada figura el círculo negro y las tres hileras. Estas características comunes las han aplicado a las figuras subsecuentes. En este caso, a la figura 4 y a la figura 5. Con relación a lo anterior, los gestos y el discurso oral permiten dar cuenta del reconocimiento de la regularidad del patrón, elemento esencial en el proceso de generalización (Radford, 2010a). Así mismo, estos gestos apoyaron el discurso matemático y comunicaron representaciones matemáticas (Reynolds y Reeve, 2002) como la figura 5 (Ver foto 8 y foto 9).

Por otro lado, la acción lingüística-gestual-perceptual de Erika se convierte en un nodo semiótico (Radford, 2005); pues implementa signos de diferentes sistemas semióticos que generaron una toma de conciencia de la estructura espacial y numérico-espacial de la secuencia.

Karen y Paola, encuentran la cantidad de círculos de la figura diez empleando dos fórmulas diferentes, fórmulas que fueron comprobadas con los dibujos de la figura.

En el caso de Karen, recurre a la adición para encontrar la cantidad de círculos de la figura diez. En las frases “a mí se me hace más fácil sumando que me da treinta” y “más el punto de acá, me dio treinta y uno” no se ve de manera explícita los elementos que tiene en cuenta para hacer estas

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aseveraciones. Sin embargo, sí se involucran los gestos que acompañan estas frases, en los que se señalan las tres hileras de la figura 10 y el círculo negro, se puede deducir que la estudiante suma la cantidad de círculos de las tres hileras (10 + 10 + 10) y luego añade a la suma el círculo negro (10 + 10 + 10 + 1). El señalar con sus dedos las hileras de la figura diez (Ver foto 12), está indicando que suma tres veces diez, con lo cual obtiene la cantidad de treinta. El señalar el círculo negro (Ver foto 13) indica que añade a la suma dicho círculo y por ello da treinta y un círculos (ver L12). De modo que, el gesto es fundamental al momento de interpretar el esquema operacional, o en términos de Arzarello y Edwars (2005), las expresiones matemáticas se pueden dar a conocer por medio del discurso oral y el gesto.

Paola recurre a la multiplicación y a la adición (ver L10, L14 y L16) para encontrar el número de círculos de la figura. Parte multiplicando el número de círculos de una hilera por el total hileras (10x3). Hasta aquí, Paola solo ha encontrado el número de círculos blancos (ver L10); pero al escuchar las argumentaciones de Karen (más el punto de acá me dio treinta y uno, Ver L12) y ver el gesto empleado por ella (Ver foto 13), se da cuenta que su esquema operacional está incompleto, es por ello que decide añadir el círculo negro para así obtener treinta y uno (10𝑥3 + 1). Cabe notar, que lo mencionado en este párrafo no se deduce solamente a partir del discurso oral, sino también de los gestos empleados por la estudiante y su compañera. Paola, al señalar las tres hileras de la figura diez (Ver foto 10 y 11), está indicando los elementos que tuvo en cuenta para multiplicar 3𝑥10 y al señalar el círculo negro (Ver foto 14) está dando a conocer el círculo que debe añadir en su esquema operacional.

El trabajo del investigador consiste en que los estudiantes perciban las características de la figura e identifiquen el patrón para que puedan hallar la cantidad de círculos de la figura diez; por eso aunque el investigador ve que Paola no reconoce la cantidad de círculos de la figura, acude de

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manera intencional a las argumentaciones de Erika para que en la labor conjunta Paola tome conciencia de la estructura espacial (Radford, 2013) como primer paso hacia la objetivación, con lo cual se desprende el reconocimiento del elemento que hace falta incluir en el esquema operacional (círculo negro), y calcular la cantidad de círculos. De modo que, el saber se pone en marcha a través de la labor conjunta entre estudiantes-docente y en ella emergen saberes y subjetividades.

Las intervenciones de Karen y Paola se encuentran acompañadas por los mismos señalamientos, sin embargo, estos aparecen en momentos diferentes. Los gestos utilizados están dotados de un significado, que de acuerdo con Radford (2003) muestran claramente que han identificado la composición de la secuencia y han logrado capturar la composición de la figura. Además, los gestos apoyan el proceso argumentativo de las estudiantes, pues permiten hacer visible aquello que no fue mencionado durante su discurso oral.

Teniendo en cuenta lo anterior, las declaraciones de las dos estudiantes 10 + 10 + 10 + 1 y 3𝑥10 + 1 se encuentran dentro de un esquema operacional (Vergel, 2014), ya que está ligado al uso de símbolos numéricos y gestos, como medios semióticos de objetivación. En estos esquemas, lo indeterminado o lo general quedó sin nombrar y las estudiantes están operando sobre casos particulares. Es por ello, que se puede inferir que Paola y Karen han efectuado una generalización algebraica factual (Radford, 2003).

De otra parte, estudiantes como Esteban y Daniel no emplean los dibujos para encontrar el número de círculos que tiene la figura trece y la figura veinte, ellos utilizan un esquema operacional para encontrar la cantidad de círculos y gestos que fungen como apoyo para afirmar sus argumentaciones, y para hacer visible la figura que se indaga. A continuación se muestra el segundo segmento saliente, donde se presenta evidencia de lo mencionado anteriormente.

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L17. Investigador: ¿Cuántos círculos hay en la figura 13? L18. Esteban: Hay 40 círculos.

L19. Investigador: ¿Por qué?

L20. Esteban: Porque al mmm (…) al ver que nos dice que es la figura 13, pues hay trece a cada lado, más el punto del centro, eh, eh entonces multiplico trece por tres [toca dos veces la hoja con su borrador; ver foto 15] y le pongo uno [desliza su borrador de izquierda a derecha; ver foto 16]

L21. Investigador: ¡Muy bien! y ¿Cómo es la figura 13?

L22. Esteban: La figura 13 sería un círculo en el centro [dibuja un círculo con su borrador; ver foto 17] y entre los lados serian trece puntos [realiza tres deslizamientos alrededor del círculo negro; ver foto 18]

L23. Investigador: ¿Cómo?

L24. Esteban: Tengo que hacer un punto [dibuja un círculo con su borrador; ver foto 19] y los otros puntos así [realiza una hilera con puntos y dos deslizamientos; ver foto 20 y foto 21].

L25. Investigador: Ok. Ahora tú Daniel. Carlos quiere construir la figura 20. Explica cómo debe hacer él para construirla.

L26. Daniel: Qué primero tiene que hacer el punto de la mitad, el negro [dibuja un círculo con sus dedos en el aire; ver foto 22] y luego tiene que hacer veinte puntos de lado [dibuja con sus dedos una diagonal en el aire al lado izquierdo del círculo; ver foto 23], otros veinte puntos aquí [dibuja con sus dedos una diagonal en el aire al lado derecho del círculo; ver foto 24], y otros veinte puntos arriba [dibuja con sus dedos una línea en el aire de forma vertical arriba del círculo; ver foto 25].

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L27. Investigador: Ok, y ¿cómo hace para hallar la cantidad de puntos? ¿De círculos? L28. Daniel: Sumando por ahí (…) pues sumar veinte [realiza un toque sobre su mesa; ver foto 26], más veinte [realiza un toque sobre su mesa; ver foto 27], más veinte [realiza un toque sobre su mesa; ver foto 28], más uno [realiza un toque sobre su mesa; ver foto 29]

Figura 23. Segundo segmento saliente Tarea 1

Foto 15 Foto 16 Foto 17

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Foto 21 Foto 22 Foto 23

Foto 24 Foto 25 Foto 26

Foto 27 Foto 28 Foto 29

Figura 24. Fotos 15 – 29. Secuencias de gestos movilizados por Daniel y Esteban.

En las argumentaciones de Esteban, se observa que ha identificado la regularidad de la secuencia, ya que ha relacionado la figura que se ha de averiguar con las hileras. Es decir, que para

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él la figura trece debe tener trece círculos en cada una de las hileras. Esta regularidad (característica común), emergió por la intención fenomenológica (Radford, 2013) del estudiante, pues al capturar aquellas similitudes y diferencias de las figuras que están dentro del campo perceptual logra identificar la regularidad. Posteriormente, la regularidad encontrada por Esteban fue generalizada, al ser empleada como un principio asumido, que le permitió deducir la fórmula 13𝑥3 + 1. De acuerdo con Radford (2003), Esteban ha realizado una generalización algebraica factual, dado que hay evidencia de un esquema operacional que está ligado al nivel concreto de símbolos no alfanuméricos y lo indeterminado queda sin nombrar. Cabe notar, que el estudiante no escribe la fórmula en su hoja de trabajo, sino que la enuncia en su discurso oral y el gestual (ver L20). De modo que, el gesto es fundamental al momento de interpretar el esquema operacional, pues las expresiones matemáticas no solo se dan a conocer en el discurso escrito sino también en el discurso oral y el gesto (Arzarello y Edwars, 2005).

Para enfatizar la fórmula 13𝑥3 + 1 Esteban hace los siguientes gestos: dos toques y un deslizamiento (Ver foto 15 y foto 16). Los toques representan aparentemente la multiplicación del número de la figura por las hileras (13𝑥3) y el deslizamiento de izquierda a derecha la suma del círculo negro (+1). A este gesto de ahora en adelante se le denominará gesto de imaginación de fórmula; en el que el estudiante emplea toques y deslizamientos o solo toques para hacer visible la posición de los términos del esquema operacional.

Esteban no dibujó la figura en su hoja de trabajo, pero sí el gesto figural para describir la forma del mismo. Si se deja de lado su discurso oral y solo nos fijamos en sus gestos, se puede decir que él ha capturado las características comunes de la secuencia. En las fotos 17 y 18 se observa que Esteban dibuja primero un círculo con el dedo que al parecer representa el círculo negro que tienen todas las figuras, después realiza tres deslizamientos alrededor de este, los cuales aparentemente

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representan las hileras de la figura. Estos gestos al parecer no son suficientes, es por ello que Esteban vuelve a gestualizarlo para hacer más visible la figura. Inicia de nuevo dibujando un círculo, luego dibuja una secuencia de puntos con el dedo y dos deslizamientos alrededor del primer círculo. Este último gesto figural describe un poco más la figura, pues deja percibir que los deslizamientos no solamente representan las hileras, sino que también representan el hecho que estas están compuestas por círculos.

Por otro lado Daniel, integrante del grupo de Esteban, emplea el gesto figural para describir la figura veinte. Cabe notar, que este gesto no lo hace sobre la mesa de trabajo sino en el aire (Ver fotos 22-25). Daniel comienza haciendo un círculo y mueve sus dos dedos como si lo estuviera coloreando. Esto, al parecer, con el propósito de indicar que es el círculo negro que debe llevar la figura, después de ello realiza tres deslizamientos alrededor de este, con la intención de indicar las hileras que debe llevar la figura veinte.

Los gestos figurales empleados por Daniel y Esteban son un escrito en el aire (Vygotsky, 1978), pues dejan ver que han pasado de los dibujos a las figuras imaginadas (figura 13 y figura 20); este cambio conserva la forma de la figura, de acuerdo con Radford (2010) este es un paso importante para obtener una generalización algebraica factual. Lo anterior, se puede evidenciar con Daniel pues no solo representa la figura con un gesto figural, sino que también encuentra el número de círculos empleando el esquema operacional 20 + 20 + 20 + 1, que de acuerdo con Radford (2003) es una generalización algebraica factual dado que trabaja con una figura particular y lo indeterminado queda sin nombrar. Con respecto al gesto (gesto de imaginación de fórmula), Daniel empleo cuatro toques (Ver fotos 26-29), los cuales aparentemente representan la suma del número de círculos que hay en las hileras más uno (20 + 20 + 20 + 1).

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Por otro parte, se evidencia en las declaraciones L24 “Tengo que hacer un punto y los otros puntos” y L26 “primero tiene que hacer el punto de la mitad, el negro y luego tiene que hacer veinte puntos de lado, otros veinte puntos aquí y otros veinte puntos arriba” el sentido de obligatoriedad en la sentencia “Tengo que hacer” y “primero tiene que hacer”. Estas frases ponen en evidencia la actividad perceptiva, como un recurso semiótico (Vergel, 2014), ya que han reconocido la configuración de la secuencia. A su vez, el sentido de obligatoriedad se encuentra acompañado del gesto figural (Ver fotos de 17-25) que hace visible la forma en que estos estudiantes perciben las figuras que no están en el campo perceptual. Se puede decir, entonces, que la actividad perceptiva no siempre se encuentra en un discurso escrito o en un dibujo, sino también en el discurso oral y el gesto.

Los gestos mencionados (gesto de imaginación de fórmula, gesto indexical y gesto figural) son medios semióticos de objetivación que fueron empleados por los estudiantes para comunicar o hacer visible una intención y para llevar a cabo una acción. Ahora bien, estos gestos fueron aquella ventana que permitió ver el pensamiento de los estudiantes (Radford, 2008), a su vez son signos portadores de una conciencia histórica construida a partir de la actividad cognitiva de las generalizaciones precedentes (Radford, 2005).

Análisis tarea 2

Esta tarea se desarrolló en la tercera y cuarta sesión con la ayuda de la profesora Vanessa. El propósito consistió en indagar de nuevo sobre aquellos gestos que emplean los estudiantes de grado cuarto en el proceso de generalización algebraica; además de observar si los estudiantes emplean gestos diferentes a los de la tarea 1. Cabe notar que los ítems o requerimientos de esta tarea guían al estudiante a la generalización algebraica factual, cuyo término general es 4𝑥𝑛 + 1 con 𝑛 = 1, 2, 3, …

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Figura 25. Secuencia figural apoyada por representación tabular tarea 2

En el trascurso de esta sesión se logró evidenciar generalizaciones a través de gestos, palabras, frases, etc., que fueron empleadas por los estudiantes de grado cuarto para dar a conocer aquello que no podía ser expresado en un lenguaje matemático, especialmente alfanumérico. Vale mencionar, que los estudiantes aún recurren a los dibujos para argumentar sobre figuras cercanas (en este caso las figuras 5 y 7), sin embargo, en las figuras lejanas como la figura 12 y la figura 30 comienzan a buscar esquemas operaciones que les permitan calcular la cantidad de círculos. Con relación al aspecto gestual, se puede decir que sigue latente al momento de argumentar sus