A Role for the WTO?

A continuación se presentan las conclusiones generales, algunas reflexiones, limitaciones, apuntes y cuestiones para futuros estudios, los cuales emergieron a partir del proceso de fundamentación, diseño e implementación de las tareas. Tales conclusiones se obtienen al confrontar los resultados y análisis obtenidos, con la pregunta problema y con los objetivos planteados al inicio de este trabajo de investigación. Al finalizar este capítulo se dan a conocer las referencias bibliográficas utilizadas en el desarrollo de la investigación.

Respuesta a la pregunta de investigación

La pregunta de investigación ¿Cuáles son los gestos que movilizan los estudiantes de grado cuarto de educación básica primaria del Gimnasio Monseñor Manuel María Camargo para apoyar la generalización algebraica de patrones, al momento de realizar tareas de secuencia figural con apoyo tabular? emerge debido a que en los últimos años, investigaciones en educación matemática han dado cuenta que los estudiantes no solo objetivan el saber a través del discurso escrito y oral sino también por medio del gesto.

Ahora bien, para dar respuesta a la pregunta anterior, se planteó el siguiente objetivo general: Identificar y caracterizar los gestos que utilizan los estudiantes de grado cuarto de educación básica primaria del Gimnasio Monseñor Manuel María Camargo para apoyar la generalización algebraica de patrones. Este objetivo llevó a que se diseñará una serie de tareas asociadas a la generalización de patrones figurales, fundamentadas en la perspectiva de la teoría cultural de la objetivación. El propósito al implementar las tareas fue trabajar con los estudiantes de grado cuarto de educación básica las secuencias figurales con apoyo tabular las cuales posibilitaron la emergencia de gestos y otros medios semióticos de objetivación, que dieron cuenta de la generalización algebraica de

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patrones. Las tareas propuestas y la selección de estas, fueron presentadas en el capítulo 3, en el apartado “Diseño de tareas”.

Las tareas, aunque fueron piloteadas y modificadas a la luz de la teoría cultural de la objetivación, de la pregunta de investigación y del objetivo general, al momento de realizar la implementación uno de los aspectos que surgió fue que algunos estudiantes emplearon medios semióticos de objetivación (como: dibujos y discurso escrito), cuando la pregunta o ítem decía que no lo hiciesen. Cabe decir, que este hecho no obstaculizó el propósito de las tareas propuestas y tampoco el de la investigación, más bien contribuyó a la emergencia de diferentes recursos semióticos que objetivan el saber.

Por otro lado, las tareas fueron aplicadas a los estudiantes teniendo en cuenta los criterios de la teoría cultural de la objetivación; en la cual, la interacción social tiene un papel predominante y hace posible la presencia de la característica histórica y cultural de los objetos matemáticos y sujetos (estudiante y profesor); además, posibilita la labor conjunta entre profesor-estudiante o estudiante-estudiante. A la luz de esta teoría se consideró importante que los estudiantes se organizaran en grupos de trabajo que formaron libremente y en el desarrollo de la implementación se evidenció el compromiso frente a lo planteado, generando momentos de reflexión conjunta.

En el desarrollo de las tareas de secuencias figurales con apoyo tabular emergen gestos que apoyan la generalización algebraica de patrones, los cuales permitieron hacer visible las características comunes, las similitudes, las diferencias, los términos del esquema operacional, el algoritmo de la operación, entre otros. Estos gestos, se clasificaron en: gesto indexical, gesto figural, gesto de imaginación de fórmula, y gesto algorítmico, los cuales permitieron hacer visible las intenciones de los estudiantes, y les permitieron tomar conciencia de los aspectos conceptuales de los objetos matemáticos involucrados. Los gestos evidenciados, fueron complementados por el

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discurso oral o escrito, ya que vistos de manera separada tienen un alcance objetivador limitado, incluso, restringido.

El gesto indexical es aquel que señala aquellos elementos (círculos, rectángulos, hileras, filas, columnas, entre otros) de las figuras que permiten dar a conocer la manera en qué se percibe la secuencia figural. Este gesto ayuda a deducir los elementos que los estudiantes o docentes consideraron importantes para encontrar términos subsecuentes de la secuencia figural. Además, el gesto indexical algunas veces está acompañado de deícticos espaciales como “acá”, “allá”, “este” “aquí” enmarcados en frases. Por tanto, el gesto indexical junto con el discurso oral permiten evidenciar aquellos elementos de la figura que presentan alguna similitud o diferencia a medida que la secuencia crece, atendiendo a las determinaciones sensibles.

El gesto figural es aquel que hace visible la forma de las figuras de la secuencia que no están en el campo perceptual del estudiante por medio de deslizamientos, señalamientos, toques o dibujos en el aire. Este gesto puede realizarse tanto en el aire como en una superficie plana, usando los dedos de la mano o un artefacto (borrador, lápiz, etc.). El gesto figural se observó en dos contextos, uno para hacer visible solamente la forma de la figura y otro en el cual la forma de la figura está asociada al esquema operacional en el discurso oral. Con relación al primero, el gesto figural acompañado del discurso oral permiten deducir si el estudiante reconoce la forma y los elementos que constituyen la secuencia figural, si ha capturado o identificado la característica común o comunalidad de la secuencia, y si la ha generalizado. Con relación al segundo, el gesto figural complementa el esquema operacional, pues a medida que se enuncian los términos del esquema por medio del discurso oral, el sujeto dibuja en el aire o en la superficie plana la figura a la cual se está haciendo referencia; es decir, se hace una asociación entre los términos del esquema operacional con las partes de la figura.

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Teniendo en cuenta lo anterior, el gesto figural apoya la generalización de la secuencia y la generalización algebraica factual; con relación a la primera, el gesto representa la forma de la figura que se le está preguntando; y con relación a la segunda, el esquema operacional que se da a conocer por medio del discurso oral es una generalización algebraica factual representada por medio de un dibujo en el aire o en una superficie plana.

El gesto de imaginación de fórmula es aquel que indica la posición de los términos en un esquema operacional (que no está escrito) empleando toques y un deslizamiento o solo toques. Este gesto puede ser empleado de dos maneras, la primera, cuando el esquema operacional involucra la multiplicación y la adición, por ejemplo, si el esquema es de la forma 47𝑥3 + 2, los sujetos realizan dos toques y un deslizamiento, los toques representaran los términos 47 y 3, y el deslizamiento el término 2 (Ver Figura 33). La segunda manera es cuando el esquema operacional es aditivo, por ejemplo, si el esquema es de la forma 20 + 20 + 20 + 1, los sujetos hacen cuatro toques, los tres primeros toques representan los primeros términos (20+20+20) y el último toque el número 1. Teniendo en cuenta lo anterior, el gesto de imaginación de fórmula apoya la generalización factual que ha hecho el estudiante en la cual la indeterminancia no alcanza el nivel de enunciación.

Al momento de hacer referencia a la adición de un término en el esquema operacional (más uno) o cuando se enuncia el aumento de una cantidad (aumenta tres) emerge de manera natural un movimiento con la mano, de izquierda a derecha, el cual se denominó deslizamiento y tiene como propósito indicar que se ha empleado una adición. Este gesto no es un simple movimiento que se hace en el aire o sobre una superficie plana, sino que es un signo que exhibe significado en sí mismo. Aquí las manos ya no son sólo manos, sino que representan signos que pueden tener un significado cultural en el contexto educativo.

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El gesto algorítmico es aquel en el que se realizan toques y se dibujan dígitos en el aire o en una superficie con los dedos, simulando el proceso de una operación algorítmica como, por ejemplo, la suma. Este gesto emerge al momento de argumentar la cantidad de círculos de una figura y representa los pasos para hacer la suma, manteniendo la sintaxis de los números que se ven involucrados en el procedimiento, incluso dibujando en el aire las unidades que se agrupan en decenas. El gesto algorítmico es entonces parte importante en el proceso de argumentación del estudiante, el cual es también un medio y apoyo para resolver operaciones, en este sentido, el gesto ayuda hacer visible las intenciones de los sujetos (Radford, 2005). Cabe mencionar, que el gesto apoya la generalización algebraica factual debido a que opera la fórmula que permite calcular el número de círculos de la figura que se le ha preguntado.

Los gestos son un medio semiótico de objetivación que clarifican las expresiones de los estudiantes y la manera en que operan, al momento de realizar tareas que involucran las secuencias con apoyo tabular. En el desarrollo de esta investigación se pudo constatar que, si solo nos fijamos en el discurso oral y se dejan de lado los gestos, en ocasiones no se ven de manera explícita los elementos que tienen en cuenta los estudiantes para expresar su conocimiento. En este sentido, se puede decir que los gestos y el discurso oral tienen una gama de posibilidades y limitaciones para expresar significado. Es así, que la generalización de patrones no puede reducirse a uno de ellos, pues el significado matemático se forja a partir del uso de diversos medios semióticos. Por ejemplo: en la figura 16 el esquema operacional de la estudiante no fue dado a conocer de manera directa en su discurso oral, el enunciado “se me hace más fácil sumando que me dio treinta y más el punto, me dio treinta y uno” no da cuenta del esquema operacional empleado, pero si se encuentra relacionado el enunciado con los gestos, se puede decir que sumó 10 + 10 + 10 + 1, puesto que

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señala las tres hileras de la figura 10 mientras dice treinta y el círculo negro cuando dice treinta y uno.

En la implementación de las tareas no solo se evidenciaron gestos en el proceso de generalización, sino que también emergieron otros medios semióticos de objetivación como las palabras, las frases, los dibujos (escritos), entre otros; que permitieron hacer visible la captura de la característica común, la regularidad de la secuencia y la generalización algebraica.

Algunas palabras y frases que son enunciadas en un discurso oral permiten deducir la actividad perceptiva o la generalización algebraica factual que los estudiantes han realizado. Respecto a la actividad perceptiva, los datos sugieren que las frases de obligatoriedad, como por ejemplo “Tengo que hacer” o“tiene que hacer”; dejan entrever la forma en que el estudiante ha configurado la secuencia. Con relación a la generalización algebraica factual, se evidencia a través del uso de frases que dejan de lado lo indeterminado o lo general, es decir, no alcanzaban el nivel de enunciación en el discurso oral, por ejemplo: “multiplico trece por tres y le pongo uno” u “ochenta y cuatro, más ochenta y cuatro, más ochenta y cuatro, más ochenta y cuatro, más uno”. Lo anterior, otorga la facultad para argumentar que la actividad perceptiva o la generalización algebraica factual no siempre se encuentra en un discurso escrito o en un dibujo, sino también en el discurso oral.

Los dibujos de las figuras realizados por los estudiantes son un medio semiótico de objetivación que hacen visible la captura o característica común de la secuencia. Además, su uso constante permite decir que son signos usados intencionalmente para expresar para sí mismo o para los demás, la toma de conciencia sobre la estructura espacial de la secuencia figural con apoyo tabular.

Los estudiantes emplearon diferentes sistemas semióticos de objetivación, los cuales trabajaron de manera conjunta para lograr objetivar el saber, es decir, parte de la actividad matemática de los

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estudiantes se constituyeron en nodos semióticos para dar a conocer su saber. En un primer caso, los estudiantes emplearon la acción lingüística-gestual-perceptual, que tenía la intención de dar cuenta de la toma de conciencia de la estructura numérica-espacial de la secuencia; es decir, relacionaban el número de la figura con su correspondiente número de círculos o rectángulos, implementando un gesto figural. En un segundo caso, los estudiantes emplearon la acción lingüística-gestual, para dar cuenta de la toma de conciencia del esquema operacional que permite calcular el número de círculos de cualquier figura; es decir, mientras enunciaban el esquema operacional, los estudiantes realizaban el gesto figural o el gesto de imaginación de fórmula. Y en un tercer caso, los estudiantes emplearon frases y gestos que no se encontraban conectados entre sí, es decir, los gestos y las palabras trataban diferentes aspectos durante el desarrollo de la experiencia matemática.

En la implementación de las tareas la labor conjunta entre estudiante-docente, y entre los estudiantes, tuvo un papel fundamental al momento de generalizar la secuencia figural. Esto debido a que, la labor conjunta permitió que los estudiantes percibieran la característica común de la secuencia para generalizarla e implementarla a figuras que no están en el campo perceptual del estudiante. En la labor conjunta intervinieron diferentes medios de objetivación como el gesto, los dibujos, el discurso oral, escrito, entre otros, que permitieron dar a conocer la percepción de los estudiantes y del docente sobre la manera en que se configura la secuencia como primer paso hacia la generalización algebraica factual. Con lo cual, se desprende el reconocimiento de los elementos que se deben incluir en el esquema operacional para poder calcular la cantidad de círculos y llegar a la generalización algebraica factual. De modo que, el saber se pone en marcha a través de la labor conjunta entre estudiantes-docente, estudiantes-estudiantes y en ella emergen saberes y

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subjetividades. Es importante señalar que el saber se dio en un ambiente de respeto, cuidado del otro, responsabilidad y compromiso por los demás.

Las tareas propuestas permiten que los estudiantes lleguen a la generalización algebraica factual puesto que se evidencia una generalización de acciones en la forma de un esquema operacional, el cual permanece ligado al nivel concreto del uso de símbolos numéricos, a términos deícticos, gestos y la actividad perceptual, como medios semióticos de objetivación. En la implementación de las tareas los esquemas operaciones, que fueron dados a conocer por medio del discurso oral y el gesto, no evidenciaron lo general o lo indeterminado. Es decir, la indeterminancia no alcanzó el nivel de enunciación o del discurso. Se puede decir, que la indeterminancia está presente en algunos casos particulares (Ej. Figura 4, 5, 7, 10, 12, 84, 100, etc.). Además, la analiticidad no se encuentra de manera explícita en tanto carácter operatorio de lo indeterminado, sino que es una analiticidad intuida o en términos de Vergel (2014) proto-analiticidad.

En el desarrollo e implementación de las tareas los estudiantes logran pasar de las figuras dibujadas a las figuras imaginadas, lo cual representa un medio importante para lograr una generalización algebraica factual e incluso una contracción semiótica. El discurso oral y el gesto permiten dar cuenta de que los estudiantes pasan de las figuras dadas (figuras 1, 2 y 3) a las figuras que pueden dibujar (Figuras 4 y 5) para luego pasar a las figuras imaginadas (figuras 10, 15, 30, 84,etc), este último se puede observar de manera explícita por medio del gesto figural, pues da a conocer que las figuras imaginadas mantienen la estructura espacial y numérico-espacial, además, muestran la captura de la comunalidad o característica común del esquema de la figura. De manera que, aunque las figuras 30, 84, etc. no están dibujados en la hoja, los estudiantes pueden representarlos con precisión empleando el gesto figural, lo cual permite decir que los estudiantes han alcanzado cierta etapa en el proceso de objetivación. Incluso algunos estudiantes han

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alcanzado una simplificación de los medios semióticos de objetivación para expresar una figura de la secuencia, es decir, han alcanzado una contracción semiótica (Ej.: Ver figura 31 y 32).

Las tareas implementadas en esta investigación potencian la generalización algebraica factual en estudiantes de grado cuarto de educación básica primaría, pese a que anteriormente no habían trabajado con este tipo de tareas. En primer momento, al acercar a los estudiantes a las secuencias figurales con apoyo tabular, se potencia la comunicación en el aula, el uso de diferentes medios semióticos de objetivación, el uso de nodos semióticos, la labor conjunta, entre otros. En segundo momento, las tareas propuestas permitieron que los estudiantes realizaran un trabajo en el terreno fenomenológico, el cual permitió que identificaran la característica común de la secuencia, además de aplicar esta comunalidad a todas las figuras de la secuencia que están en consideración; y en tercer momento, la organización de las tareas y de las secuencias figurales tuvieron un rol fundamental para que los estudiantes llegaran a la generalización algebraica factual, donde fueron aumentando su nivel de complejidad a medida que se avanzaba de una tarea a la siguiente. En la tarea 1 y en la tarea 2 las figuras tenían un círculo negro, el cual ayudaba a que los estudiantes notaran las determinaciones sensibles, similitudes y diferencias en la secuencia figural; la implementación y el desarrollo de estas tareas permitieron que al aumentar el nivel de complejidad en las tareas 3 y 4, los estudiantes lograran capturar las similitudes o diferencias en la secuencia, a pesar de que las figuras no tenían el círculo o el cuadrado coloreado.

Las preguntas o ítems que potenciaron la movilización de gestos por parte de los estudiantes al momento de desarrollar las tareas, fueron aquellas en las que se solicitaba que explicaran su respuesta, que explicaran su respuesta sin usar lápiz ni papel o que explicaran lo que se debe hacer para construir una figura. Al hacer estas acotaciones en las preguntas, emergieron los gestos de

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manera natural en los estudiantes; tal parece que la explicación de las respuestas potencia el uso de variedad de gestos en el proceso de generalización algebraica factual.

Algunas reflexiones

A continuación se presentan algunas reflexiones que emergieron a la luz del marco teórico, el diseño de tareas y el análisis de los datos.

 En la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas escolares, especialmente en la educación básica, se deben tomar en consideración no solo el discurso escrito como medio semiótico de objetivación. La presente investigación muestra que para objetivar el saber los estudiantes pueden emplear diferentes medios semióticos de objetivación entre ellos el gesto y el discurso oral.

 Los docentes no debemos subestimar todo lo que lo estudiantes pueden hacer en relación al pensamiento algebraico y la generalización algebraica de patrones, así estén en Educación básica primaría, se evidenció, al realizar esta investigación, que los estudiantes encuentran expresiones que permiten calcular el número de elementos (círculos, rectángulos, entre otros,) que conforman cualquier figura en la secuencia.

Limitaciones y apuntes.

En este apartado se presentan algunas dificultades que surgieron en el desarrollo del presente trabajo de investigación, posibilitando un espacio de reflexión frente al desarrollo de investigaciones posteriores.

 La apropiación del marco teórico de referencia fundamentado en la teoría de la objetivación, el pensamiento algebraico, la generalización algebraica y los medios semióticos de objetivación, fueron potentes para realizar el diseño, la implementación y el análisis de las

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tareas. Estos aspectos teóricos requieren de un estudio exhaustivo debido a que puede entrar