Challenges Facing Developing Countries amid the Current RTA Proliferation: as a Prospective RTA Member
2.3 Challenges Facing Developing Countries as a Prospective RTA Member
Esta investigación adopta una metodología desde el enfoque de investigación cualitativa de tipo descriptivo e interpretativo. Para Vasilachis et al. (2006) la investigación cualitativa es multimetódica, naturalista, inductiva, interpretativa y reflexiva. Esta clase de investigación emplea métodos de análisis y de explicaciones flexibles y sensibles al contexto social en el que los datos son producidos. Se centra en la práctica real situada y se basa en un proceso interactivo en el que interviene el investigador y los participantes (Vasilachiset al., 2006).
Enmarcados en el objeto de estudio y pregunta de investigación que se encuentra concatenada con la perspectiva de la teoría cultural de la objetivación propuesta por Radford (2006), se realiza un análisis multimodal del pensamiento humano. De acuerdo con Radford, Edwards y Arzarello (2009) este tipo de análisis incorpora el cuerpo en el acto de conocer, lo cual es clave para esta investigación, pues aquí se toman los recursos cognitivos, físicos y perceptuales que los estudiantes emplean cuando desarrollan ideas matemáticas. En este sentido, Arzarello (2006) plantea que el análisis multimodal debe tener en cuenta los diferentes recursos semióticos movilizados durante el desarrollo de las tareas (gestos, lenguaje hablado, lenguaje escrito, palabras, acciones, etc.).
Por otro parte, esta investigación toma como referencia la metodología planteada por Radford (2010a), ya que se pretende evidenciar los gestos que emplean los estudiantes de grado cuarto cuando trabajan tareas que involucran secuencias figurales con apoyo tabular. Sin embargo, este trabajo no toma en consideración la fase 3 y la fase 4 planteada por el autor (interpretación de los datos y generación de teoría) debido a que no se va a generar teoría y se considera pertinente que la recolección de datos se encuentre previa a su interpretación (Ver figura 3).
32
Figura 3. Metodología de la investigación
A continuación, se presenta una descripción de las fases a trabajar en esta investigación. Fase 1: Diseño de Tareas
Como ya se ha mencionado, las tareas propuestas fueron diseñadas bajo la teoría cultural de la objetivación, tomando como base el pensamiento algebraico y la generalización algebraica de patrones. Se diseñaron cuatro tareas en total y se tomaron como ejemplo las preguntas 1, 2, 3, 4 y 5 de la tarea 1 y tarea 2 de Vergel (2014) y las secuencias figurales con apoyo tabular de la tarea 1 y tarea 2 de Tufts University (2004). Cabe resaltar, que se realizó una prueba piloto con cuatro estudiantes del grado cuarto C, con el fin de verificar si las tareas cumplían su propósito. Los resultados obtenidos permitieron rediseñar la secuencia de tareas que se implementa en la fase 2.
Prueba Piloto.
Con el fin de validar las tareas de esta investigación, se implementa una prueba piloto, en la que participaron cuatro estudiantes de grado cuarto C del colegio Gimnasio Monseñor Manuel María Camargo; ellos fueron elegidos aleatoriamente por la docente de matemáticas Vanessa. Las tareas
33
fueron implementadas de manera individual y sin la docente, debido actividades culturales del colegio no se pudo trabajar de manera grupal con los estudiante. Es por ello, que el investigador asumió el rol de docente y trabajó con cada estudiante teniendo en cuenta los principios y conceptos de la labor conjunta (actividad) propuesto por Radford (2016). Lo primordial era que los estudiantes participantes discutieran las preguntas de las tareas propuestas en grupo. La implementación de la prueba piloto se realizó en dos sesiones, cada una de ellas tuvo una duración de 50 minutos, en la primera sesión se realizaron las tareas 1 y 2 y en la segunda sesión las tareas 3 y 4. La aplicación de la prueba piloto pretendía que se observará la dimensión gestual y otros medios semióticos de objetivación que evidenciarán la generalización algebraica de patrones.
Las tareas propuestas en esta prueba piloto se encuentran relacionadas con la generalización algebraica de patrones con apoyo tabular, específicamente, secuencias figurales apoyadas por representación tabular. A continuación se presentan las tareas propuestas en la prueba piloto.
Tarea 1
1. Extiende la secuencia hasta la figura 5.
¿Cuántos círculos hay en la figura 4? Respuesta: ______________ ¿Cuántos círculos hay en la figura 5? Respuesta: ______________
34
3. ¿Hay alguna manera de encontrar el número de círculos en la figura 13, sin construir la figura?
4. Carlos quiere construir la figura 20. Escribe lo que debe hacer para construirla.
5. Escribe a un compañero(a) cómo encontrar la cantidad de círculos de la figura 27. Figura 4. Prueba piloto Tarea 1 de secuencia figural con apoyo tabular.
Tarea 2
1. ¿Cuántos círculos hay en la figura 5? 2. ¿Cuántos círculos hay en la figura 7?
3. Calcula el número de círculos de la figura 12, sin dibujarla. Escribe cómo lo haces. 4. Diego quiere construir la figura 30. Explica lo que debe hacer para construirla. 5. Explica a un compañero(a) cómo encontrar la figura 84.
Figura 5. Prueba piloto Tarea 2 de secuencia figural con apoyo tabular.
En el desarrollo de la tarea 1 los estudiantes identifican la comunalidad o característica común de la secuencia (Radford, 2013) y logran calcular la cantidad de círculos de las figuras 4 y 5 pero no logran aplicar la comunalidad o característica común a las figuras que no están en el campo perceptual, como por ejemplo: las figuras 13, 20 y 47. Esto se debe, en parte, a que los estudiantes
35
comenzaron a contar los círculos blancos de las figuras 1, 2 y 3 y se dieron cuenta que el número de círculos aumenta 3 de una figura a la siguiente (Ver figura 6).
L1. Investigador: ¿Cuántos círculos hay en la figura 4? L2. Ariel: Trece círculos.
L3. Investigador: Y ¿cuántos círculos hay en la figura 5? L4. Ariel: dieciséis círculos.
L5. Investigador: Explícame ¿por qué dieciséis círculos?
L6. Ariel: Pues… La figura 1 tiene cuatro círculos blancos [señala con su dedo índice la figura uno], la figura 2 tiene siete círculos blancos [señala con su dedo índice la figura 2], la figura 3 tiene diez círculos [señala con su dedo índice la figura 3], entonces la figura 4 tendrá trece círculos [señala con su dedo índice la figura 4] y la figura 5 dieciséis círculos [señala con su dedo índice la figura 5].
L7. Investigador: ¿Por qué tienen esa cantidad?
L8. Ariel: Porque las figuras van aumentado de tres en tres.
L9. Investigador: Mmm… Y para saber la cantidad de círculos de la figura 13, 20 o 47, ¿Qué tendrías que hacer?
L10. Ariel: Creo yo que tengo que sumar de tres en tres hasta llegar a 13, 20 o 47. Pero me demoraría mucho.
Figura 6. Segmento saliente de Ariel
Esta relación entre figuras (Ver L6 y L8) corresponde a una generalización aritmética, dado que emplea la abducción para pasar de un término al siguiente y no para deducir una fórmula que permita calcular la cantidad de círculos de cualquier figura (Radford, 2013). Es por esto que podemos decir que capturar la regularidad no es suficiente para garantizar una generalización algebraica.
36
En la aplicación de la tarea 2 se logró evidenciar que los estudiantes identificaron la comunalidad o característica común de la secuencia a partir de las figuras que están en el campo perceptual de los estudiantes (Figura 1, 2 y 3). Esta toma de conciencia de los estudiantes se da a partir de un trabajo en el terreno fenomenológico de observación (Radford, 2013). Los estudiantes logran generalizar la secuencia en dos pasos: el primero, conciben las figuras como tres hileras de círculos de color blanco y un círculo negro en el centro; y el segundo, basado en la actividad perceptiva realizada sobre las tres figuras dadas (Ver figura 7). Es decir, identificaron la relación entre el número de la figura y el número de círculos por fila. A partir de lo anterior, los estudiantes dan a conocer un esquema operacional que les permite encontrar el número de círculos de las figuras que no están en su campo perceptual (4𝑛 + 1 o 𝑛 + 𝑛 + 𝑛 + 𝑛 + 1 ) logrando una generalización algebraica factual.
L11. Investigador: ¿Cómo hiciste para encontrar la cantidad de círculos de la figura 5 y la figura 7?
L12: Joshua: Pues… Vi que la figura 1 tenía un círculo negro y un círculo blanco en cada hilera [señala con su lápiz las hileras de la figura 1], la figura 2 tenía un círculo negro y dos círculos blancos en cada hilera [señala con su lápiz las hileras de la figura 2], la figura 3 tenía tres círculos blancos alrededor del negro [señala con su lápiz las hileras de la figura 3], entonces la figura 5 debía tener un círculo negro y cinco círculos blancos alrededor del negro [señala con su lápiz las hileras de la figura 5] y la figura 7 debía tener un negro y siete círculos blancos alrededor del negro [señala con su lápiz las hileras de la figura 7]
37
L14. Joshua: Pues… Sume siete, más siete, más siete, más siete, más uno [señala con su lápiz la expresión].
Figura 7. Segmento saliente de Joshua
El desempeño de los estudiantes en la tarea 2 se dio, por la demarcación del círculo negro y los círculos de color blanco que se encuentran alrededor de este, lo cual permitió que los estudiantes fijaran su atención en la forma de las figuras, la cantidad de círculos que constituyen cada una de ellas, el color de los círculos, etc. Estas determinaciones sensibles permiten notar las similitudes y diferencias de las figuras y por tanto, acercarlos a la generalización de la secuencia figural.
En relación a la dimensión gestual, se logró observar en la tarea 1 poco uso del gesto, esto se debe en parte a que las preguntas siempre iban enfocadas a dar una respuesta y no una explicación (Ver L2 y L4); además, los gestos que se registraron fueron gestos que no emergieron de manera natural; pues el investigador tenía que decirle a los estudiantes que explicarán su respuesta para que emplearán los gestos [Ver L5 y L6].
Esto mismo sucedió en la tarea 2, a excepción de la pregunta 4 (Diego quiere construir la figura 30. Explica lo que debe hacer para construirla). En ella los estudiantes emplearon movimientos de manos que permitieron hacer visible la forma de la figura y el esquema operacional utilizado para encontrar el número de círculos de la figura 30.
Teniendo en cuenta lo encontrado en el pilotaje, se toma la decisión que en la tarea 1 la secuencia no debe tener círculos de un solo color (blanco), sino que debe tener un círculo en el centro de color negro y el resto de color blanco, con el propósito de que los estudiantes identifiquen o capturen la comunalidad o característica común de la secuencia y sea asumida como una hipótesis para aplicarla a figuras subsecuentes como sucedió en la tarea 2. Además, se hace necesario modificar las preguntas de las tareas e incluir ítems como “explica tu respuesta” o
38
“explica tu respuesta sin usar lápiz y papel” para permitir un mayor uso del gesto en el desarrollo de las mismas.
A continuación se presenta la tarea 3, la tarea 4 y su respectivo análisis de la prueba piloto
Tarea 3 Observa la siguiente secuencia y contesta.
1. ¿Cuántos rectángulos hay en la figura 8? Explica tu respuesta. 2. ¿Cuántos rectángulos hay en la figura 16? Explica tu respuesta. 3. ¿Cuántos rectángulos hay en la figura 47? Explica tu respuesta.
4. Explica a un compañero(a) cómo encontrar la cantidad de rectángulos de la figura 150. No uses lápiz ni papel al momento de explicar.
5. ¿Existe una figura que tenga 215 rectángulos? Explica tu respuesta. Figura 8. Prueba pilotoTarea 3 de secuencia figural con apoyo tabular.
39 Tarea 4 Observa la siguiente secuencia y contesta.
1. ¿Cuántos círculos hay en la figura 9? Explica tu respuesta sin usar lápiz ni papel. 2. ¿Cuántos círculos hay en la figura 17? Explica tu respuesta si usar lápiz ni papel. 3. ¿Cuántos círculos hay en la figura 50? Explica tu respuesta si usar lápiz ni papel. 4. Explica a un compañero(a) cómo encontrar la cantidad de círculos de la figura 160. No
uses lápiz ni papel al momento de explicar.
5. ¿Existe una figura que tenga 215 círculos? Explica tu respuesta sin hacer uso de lápiz y papel.
Figura 9. Prueba piloto Tarea 4 de secuencia figural con apoyo tabular.
En el desarrollo de las tareas 3 y 4 se pudo evidenciar que los estudiantes dan conocer la forma de una figura empleando el dibujo y el gesto, además, hallan la cantidad de rectángulos y de círculos de cualquier figura empleando un esquema operacional.
Durante el desarrollo de estas tareas los estudiantes encuentran maneras de construir las figuras subsecuentes de la figura 3, en donde la actividad perceptual jugó un rol importante. Además la intención fenomenológica de los estudiantes les permitió atender determinaciones sensibles e incluso notar diferencias y similitudes que les permitieron llegar al esquema operacional que se ponía en juego en cada tarea (Radford, 2013).
40
L15. Investigador: ¿Cuántos rectángulos hay en la figura 8? L16. Camila: La figura 8 tiene veinticuatro rectángulos. L17. Investigador: ¿Por qué?
L18. Camila: Los rectángulos blancos van aumentando como si fueran la tabla del tres [señala las figuras 1, 2 y 3 con su lápiz], entonces multiplique tres por ocho y sume dos [señala con su lápiz la expresión], que son los rectángulos negros que están aquí [señala con su lápiz los rectángulos negros de la figura 8; ver foto 1]
L19. Investigador: Ok, y ¿Cómo sería la figura?
L20. Camila: Tres hileras de ocho rectángulos [señala con su lápiz las hileras de la figura ocho; ver foto 2] y dos rectángulos negros arriba [señala con su lápiz los rectángulos negros de la figura 8; ver foto 1].
Figura 10. Segmento saliente de Camila
Foto 1 Foto 2
Figura 11. Fotos 1-2. Secuencias de gestos movilizados por Camila
Con relación a lo gestual, en el desarrollo de la tarea 3 las preguntas involucran la frase “explica tu respuesta”, aquí los estudiantes movían sus manos mientras hablaban o escribían; estos movimientos apoyaban los dibujos que realizaban en sus hojas de trabajo (Ver foto 1y 2). Mientras que en el desarrollo de la tarea 4 las preguntas involucraban la frase “explica tu respuesta sin lápiz
41
ni papel” se pudo observar un mayor uso del gesto al momento de exponer sus respuestas. El gesto, al parecer, ayudo a establecer las relaciones entre la figura y el número de la figura, entre las acciones físicas, el habla, los símbolos y la mente (Edwards, 2005).
L21: Investigador: ¿Cuántos círculos hay en la figura 9? L22: Camila: En la figura 9 hay treinta y nueve círculos. L23: Investigador: ¿Por qué?
L24: Camila: Porque multiplique cuatro por nueve y al resultado le sume tres [toca dos veces la hoja y desplaza su mano de izquierda a derecha; ver fotos 3, 4 y 5].
L25: Investigador: Ok y ¿Cómo es la figura 9?
L22: Camila: Debe tener tres círculos aquí [dibuja tres círculos en el aire; ver foto 6] y treinta y seis así [mueve si mano en diagonal de arriba hacia abajo; ver foto 7 y 8].
Figura 12. Segmento saliente de Camila
42
Foto 6 Foto 7 Foto 8
Figura 13. Fotos 3-7. Secuencia de gestos movilizados por Camila
Teniendo en cuenta lo anterior, el director del trabajo de grado e investigador tomaron la decisión que la tarea 3 no lleve coloreados los rectángulos superiores, debido a que las tareas 1 y 2 permiten familiarizar al estudiante con este tipo de secuencias, dando la posibilidad de aumentar el nivel de dificultad de las tareas 3 y 4 al no colorear ninguna parte de la figura. Así mismo, se decide añadir a algunas preguntas la frase “explica tu respuesta sin usar lápiz ni papel” para que los estudiantes usen el gesto al momento de responder.
Reformulación de las tareas para la fase de aplicación.
Teniendo en cuenta el análisis de las pruebas piloto, se reformula la tarea 1, la tarea 2, la tarea 3, mientras que la tarea 4 se deja como esta ya que no se presentó dificultad alguna en su desarrollo. En total se diseñaron cuatro tareas (Ver tabla 1) y fueron aplicadas a 20 estudiantes de los cuales se analizaron 10. Las cuatro tareas tienen secuencias figurales con apoyo tabular, pues de acuerdo con Radford (2013) este tipo de tareas promueven la generación algebraica de patrones, en especial la generalización factual
A continuación, se presentan las tareas para la fase de aplicación con las preguntas correspondientes, sin los espacios de respuesta para los estudiantes.
43 Tarea 1
Observa la siguiente secuencia y contesta.
1. Extiende la secuencia hasta la figura 5.
¿Cuántos círculos hay en la figura 4? Respuesta: ______________ ¿Cuántos círculos hay en la figura 5? Respuesta: ______________ 2. Indica cuántos círculos hay en la figura 10.
3. ¿Hay alguna manera de encontrar el número de círculos en la figura 13, sin construir la figura? Explica tu respuesta.
4. Carlos quiere construir la figura 20. Explica lo que debe hacer para construirla. 5. Explica a un compañero(a) cómo encontrar la cantidad de círculos de la figura 27,
sin usar lápiz ni papel.
44 Tarea 2
Observa la siguiente secuencia y contesta
1. ¿Cuántos círculos hay en la figura 5? 2. ¿Cuántos círculos hay en la figura 7?
3. Calcula el número de círculos de la figura 12, sin dibujarla. Explica cómo lo haces. 4. Diego quiere construir la figura 30. Explica lo que debe hacer para construirla. 5. Explica a un compañero(a) cómo encontrar la figura 84, sin usar lápiz ni papel.
45 Tarea 3
Observa la siguiente secuencia y contesta .
1. ¿Cuántos rectángulos hay en la figura 8? Explica tu respuesta sin usar lápiz ni papel.
2. ¿Cuántos rectángulos hay en la figura 16? Explica tu respuesta si usar lápiz ni papel.
3. ¿Cuántos rectángulos hay en la figura 47? Explica tu respuesta si usar lápiz ni papel.
4. Explica a un compañero(a) cómo encontrar la cantidad de rectángulos de la figura 150. No uses lápiz ni papel al momento de explicar.
5. ¿Existe una figura que tenga 215 rectángulos? Explica tu respuesta. Figura 16. Tarea 3 de secuencia figural con apoyo tabular.
46 TAREA 4
Observa la siguiente secuencia y contesta.
1. ¿Cuántos círculos hay en la figura 9? Explica tu respuesta sin usar lápiz ni papel. 2. ¿Cuántos círculos hay en la figura 17? Explica tu respuesta si usar lápiz ni papel. 3. ¿Cuántos círculos hay en la figura 50? Explica tu respuesta si usar lápiz ni papel. 4. Explica a un compañero(a) cómo encontrar la cantidad de círculos de la figura 160.
No uses lápiz ni papel al momento de explicar.
5. ¿Existe una figura que tenga 215 círculos? Explica tu respuesta sin hacer uso de lápiz y papel.
Figura 17. Tarea 4 de secuencia figural con apoyo tabular.
En la siguiente tabla se presentan los aspectos generales de cada tarea atendiendo a la secuencia figural, las preguntas y su justificación. Para el orden y diseño de los ítems de las tareas que se presentan a continuación de la secuencia figural, se tomaron como referencia las preguntas propuestas por Vergel (2014), pues permiten acercar a los estudiantes a la generalización algebraica factual y a emerger diferentes medios semióticos de objetivación, como por el ejemplo el gesto.
47 Tabla 1
Descripción y justificación de las Tareas
Tareas Número de Preguntas Preguntas Justificación Tarea 1 Tomada y adaptada de Tufts University (2004) y Vergel (2014)
5 1. Extiende la secuencia hasta la figura 5. ¿Cuántos círculos hay en la figura 4?
¿Cuántos círculos hay en la figura 5? Respuesta: 2. Indica cuántos círculos hay en la figura 10.
3. ¿Hay alguna manera de encontrar el número de círculos en la figura 13, sin construir la figura? Explica tu respuesta.
4. Carlos quiere construir la figura 20. Explica lo que debe hacer para construirla.
5. Explica aun compañero(a) cómo encontrar la cantidad de círculos de la figura 27, sin usar lápiz ni papel.
La tarea 1 tiene una secuencia figural de la forma 3n+1 y pretende introducir a los estudiantes de grado cuarto a las secuencias figurales con apoyo tabular. Además, instaurar una forma de trabajo en grupos para que los estudiantes interactuarán y comunicarán sus propias soluciones. Cabe mencionar que sí se evidencian gestos, serán registrados
Tarea 2 5 1. ¿Cuántos círculos hay en la figura 5?
2. ¿Cuántos círculos hay en la figura 7?
La tarea 2 tiene una secuencia figural de la forma 4n+1 y tiene como propósito, indagar sobre aquellos
48 Tomada y adaptada de Tufts University (2004) y Vergel (2014).
3. Calcula el número de círculos de la figura 12, sin dibujarla. Explica cómo lo haces sin lápiz y papel. 4. Diego quiere construir la figura 30. Explica lo que
debe hacer para construirla.
5. Explica aun compañero(a) cómo encontrar la figura 84, sin usar lápiz ni papel.
gestos que emplean los estudiantes de grado cuarto en el proceso de generalización algebraica y observar si