Code Execution Strategy

Se conoce con el nombre de “modelo termohidrodinámico” (THD) al modelo que predice el comportamiento del cojinete en estado estacionario incluyendo, de alguna manera, la variación de la viscosidad en la película con la temperatura. En realidad, éste es uno de los puntos cruciales de la teoría de lubricación porque el hecho que la viscosidad varíe no sólo afecta profundamente el desempeño de los artefactos tribológicos sino que además determina el valor de la temperatura máxima de operación, uno de los criterios, junto con el de espesor mínimo de película, de falla en cojinetes y sellos.

Históricamente, los avances respecto al planteo de la ecuación de Reynolds fueron discretos durante más de medio siglo, hasta la inclusión de la ecuación de la energía. Al comparar los resultados experimentales con los resultados numéricos de las ecuaciones acopladas, se hace

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evidente que la temperatura (a través de su efecto en las propiedades del fluido) tiene influencia sobre la presión. Numéricamente el balance de energía está acoplado a la ecuación de Reynolds a través de la presión y la velocidad, sin embargo, la ecuación de Reynolds sólo queda acoplada con la de energía si existe una ecuación de estado que contemple la dependencia de las propiedades del fluido con la temperatura. Para capturar el verdadero acoplamiento, las expresiones modernas de la ecuación de Reynolds han sido estructuradas para incluir propiedades variables.

Entre los primeros intentos de considerar los efectos térmicos, se pueden mencionar los trabajos de Christopherson (1941) y Cameron y Wood (1946), quienes desarrollaron ecuaciones de energía en las que el cojinete se trataba en forma adiabática y la energía disipada en el fluido por efectos viscosos era almacenada en el mismo. Sus tratamientos no estaban de acuerdo con Vogelpohl (1935) quien, como ya se comentara al final de la introducción a la Sección 2.2, propuso usar una expresión para la tasa de disipación de la función de disipación, sin tener en cuenta la energía que se almacena en el lubricante.

En esos mismos años, Albert Fogg (1946) encontró que los cojinetes axiales de superficies paralelas, en contra de las predicciones de la teoría hidrodinámica, son capaces de soportar carga. Sus experimentos demostraron que la capacidad de estos cojinetes de soportar carga es casi del mismo orden de magnitud que la alcanzada por cojinetes axiales de zapatas pivotantes de igual área. Esta observación, conocida como “efecto Fogg”, se explica mediante el concepto de “cuña térmica”, donde la expansión del fluido cuando se calienta produce una distorsión en las curvas de distribución de velocidad similar a la producida por superficies convergentes, desarrollando capacidad de carga. Fogg también indicó que esta capacidad portante no depende ni de un borde de entrada redondeado ni de la distorsión térmica del patín, e hizo una distinción entre la cuña térmica y la cuña geométrica. La cuña geométrica provoca un aumento seguido de una disminución en el momento, que resulta de una película convergente / divergente. La cuña térmica, en cambio, es causada por la expansión térmica volumétrica. Fogg señaló además que la cuña geométrica es dominante en la generación de presión, mientras que la cuña térmica juega un papel menor.

Cope (1949) fue el primero en acoplar la ecuación de Reynolds y la ecuación de la energía usando ecuaciones de estado para la densidad y la viscosidad. La propuesta de Cope contempla variaciones de temperatura despreciables a través de la película y conducción de calor despreciable dentro de la misma, así como a los sólidos circundantes. La consecuencia de la segunda consideración es que tanto el cojinete como el muñón son isotérmicos. Cope concluyó

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que la cuña térmica de Fogg está “plenamente justificada”, y la expresó matemáticamente. La lubricación de película exitosa requiere una “acción de cuña” de algún tipo, ya sea una cuña geométrica o una cuña térmica. Cope estuvo de acuerdo con Fogg en que la cuña geométrica es más pronunciada que la cuña térmica, sin embargo, afirmó que si la densidad y la viscosidad del lubricante están fuertemente influenciadas por la temperatura, la cuña térmica podría sobrepasar a la cuña geométrica. La Figura 2.6 muestra un perfil típico de temperatura en un cojinete bajo el modelo adiabático de Cope. El mayor incremento de temperatura se produce en la región convergente, en presencia de altas tensiones de corte en el fluido. En la zona divergente, el aumento de temperatura disminuye sensiblemente debido a la poca disipación viscosa en la mezcla líquido-vapor. Axialmente, la temperatura es prácticamente invariable, mostrando un leve aumento en los bordes (He et al., 2005).

Figura 2.6: Perfil de temperatura en una película convergente-divergente predicho por el modelo adiabático (He et al., 2005).

Tal como lo indica la revisión hecha por Szeri (1987), la creencia de que la teoría clásica y el modelo adiabático de Cope abarcaban el análisis del comportamiento de los cojinetes, fue aceptada por mucho tiempo. La expresión de la ecuación de la energía usada por Cope no coincide, sin embargo, con los hallazgos de sus contemporáneos, Cameron y Wood (1946). Es más, Cameron (1951), en sus experimentos con discos rotantes, sugirió que en la película entre los discos se crea una presión hidrodinámica por la variación de la viscosidad en el espesor de la misma. La discrepancia entre ambos autores surge de la elección de los términos dentro de la ecuación de energía. Charnes (1952) resolvió esta discrepancia demostrando que Cameron y Wood despreciaron el trabajo realizado por las fuerzas de presión, mientras que Cope fue efectivamente capaz de capturar ese efecto. Esta contribución, despreciada a menudo, se denomina flujo de trabajo termodinámico. La ecuación de energía de Charnes equipara el

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trabajo realizado por la fuerza de fricción y la de presión (ejercida por el fluido circundante) al aumento en la energía interna. Despreciando la conducción en el rotor y el estator, consideró que todo el calor generado es arrastrado a través de convección en las direcciones axial y circunferencial.

Port otra parte, la temperatura máxima del cojinete es un parámetro importante que, junto con el espesor mínimo de película, dan lugar a mecanismos habituales de falla en cojinetes hidrodinámicos. Brown y Newman (1957) reportaron que para cojinetes de 60 pulg. (524 mm) ligeramente cargados y operando a 6000 rpm, la falla por sobrecalentamiento del metal de recubrimiento (Babbit) ocurría a 171°C (340°F). Booser y colaboradores (1970a y 1970b), trabajando con cojinetes grandes de turbinas de vapor, observaron una temperatura máxima límite para el babbit en el rango de 130 a 200°C (266 a 392°F).

En ese período, estudiando los efectos del calor en cojinetes, Dowson y colaboradores (1966-67) realizaron una de las investigaciones experimentales más importantes sobre patrones de temperatura y balance térmico en cojinetes con carga constante. Su equipo experimental fue capaz de medir la distribución de presión, carga, velocidad, caudal de lubricante, temperaturas de entrada y salida del lubricante, y la distribución de temperatura tanto sobre el cojinete como sobre el rotor. Ellos encontraron que el patrón de flujo de calor en el cojinete es una combinación de flujo radial y una cantidad significativa de flujo circunferencial viajando de la región caliente en cercanías del espesor mínimo de película a la región más fría cerca del suministro de aceite. Los resultados de los ensayos mostraron que la variación cíclica de temperatura en el muñón es pequeña y el rotor puede ser tratado como isotérmico. Los experimentos también indicaron que los gradientes térmicos axiales en el cojinete son despreciables. La Figura 2.7 ilustra algunos de los resultados experimentales de este trabajo.

Figura 2.7: Variación de temperaturas máximas y mínimas en función de la carga medidas para el conjunto de condiciones listadas (Dowson et al., 1966-67).

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Por otra parte, como ya se dijera, la viscosidad es seguramente la propiedad más importante de los lubricantes y juega un papel fundamental en el análisis del flujo en cojinetes. Cuando el aumento de temperatura del lubricante a través del cojinete es pequeño, el cálculo de los parámetros de funcionamiento del cojinete se basa en la teoría clásica con viscosidad constante. Sin embargo, cuando el aumento de temperatura en la película es considerable, la teoría clásica deja de ser útil. Por lejos, la aproximación más sencilla al fenómeno de variación de viscosidad dentro de la película fluida es la adopción de una viscosidad media representativa y se han sugerido varios métodos para estimarla (Cameron, 1966).

Una revisión extensiva sobre los efectos térmicos en cojinetes hidrodinámicos fue dada por Khonsari (1986) y trata tanto sobre cojinetes radiales como de patín. Seireg y Ezzat (1973) introdujeron una hipótesis THD para explicar sus hallazgos experimentales que se basaba en un procedimiento empírico del comportamiento de la película fluida. Su trabajo presentó resultados sobre capacidad portante de la película fluida para numerosos ensayos, los cuales cubrían relaciones de excentricidad de 0,6 a 0,9, presiones de hasta 36 kPa (750 psi) y velocidades tangenciales de hasta 8,4 m/s (1650 ft/min). Las magnitudes de la capacidad de carga obtenidas experimentalmente resultaron considerablemente diferentes a las predichas por la teoría hidrodinámica clásica (ver Figura 2.8). En este sentido, la teoría iso-viscosa es capaz tanto de subestimar como sobreestimar los resultados, dependiendo de las condiciones de operación. Asimismo, estos autores observaron que las distribuciones de presión normalizada (P/Pmáx), tanto axial como circunferencial, resultaban casi idénticas a las predichas por la teoría

de viscosidad constante. De hecho, en todas las condiciones ensayadas, la magnitud de la presión máxima (o media) en la película resultó aproximadamente proporcional a la raíz cuadrada de la velocidad de rotación del muñón. Para el procedimiento empírico propusieron que, para una geometría, velocidad y lubricante, es factible construir una curva de presión media en función de la temperatura media en la película, basada en la ecuación de Reynolds para flujo isotérmico (considerando la temperatura media del cojinete). Sobre la misma se ajusta una recta que representa el equilibrio THD del sistema, determinada empíricamente con los resultados experimentales obtenidos. El punto de tangencia entre ambas indica, de acuerdo a sus hipótesis, el par presión-temperatura medias que desarrollará el cojinete estudiado, satisfaciendo tanto los requerimientos hidrodinámicos como la condición de equilibrio termohidrodinámico.

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Figura 2.8: Presión máxima medida en función de la temperatura de ingreso del lubricante (Seireg y Ezzat, 1973).

Por esos años, Seireg y Doshi (1975) también estudiaron el comportamiento en estado no- estacionario de cojinetes radiales, encontrando que la distribución de temperatura resulta similar a la del estado estacionario. Asimismo, observan que la temperatura máxima del cojinete se presenta en cercanías del espesor mínimo de película, y que tanto el nivel de temperatura como su variación circunferencial aumentan cuando lo hacen la excentricidad y la velocidad de rotación. Barwell y Lingard (1980) también midieron la distribución de temperatura en cojinetes radiales, encontrando que la temperatura máxima del cojinete (situada en el punto de espesor mínimo de película) es el valor apropiado para estimar la viscosidad “efectiva” para cálculos de capacidad portante.

Tonnesen y Hansen (1981) realizaron ensayos sobre un cojinete cilíndrico usando tres tipos de aceite de turbina, también con la finalidad de estudiar los efectos térmicos sobre su comportamiento. En sus cojinetes, el aceite se suministraba a través de uno o dos orificios o a través de dos ranuras axiales desfasadas 180°. Ellos encontraron que tanto la viscosidad como la geometría del suministro tienen impacto significativo sobre las temperaturas de operación. Cuando se emplea un lubricante de alta viscosidad, la temperatura del eje crece cuando lo hace la carga. Además, estos investigadores concluyen que aún en un cojinete de geometría simple se aprecian pequeñas pero consistentes discrepancias sobre un gran rango de operación cuando se comparan con la teoría iso-viscosa.

Seireg y Dandage (1982) también propusieron un procedimiento THD empírico para calcular un número de Sommerfeld modificado para ser empleado en el procedimiento tradicional (iso-viscoso) para calcular la excentricidad, caudal de lubricante, aumento de temperatura y coeficientes de rigidez y amortiguamiento en cojinetes hidrodinámicos

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completos.

En 1983, Ferron y colaboradores publicaron resultados experimentales obtenidos con cojinetes de longitud finita en un estudio del desempeño de cojinetes simples. Las distribuciones de presión y temperatura del cojinete, excentricidad y caudal de suministro fueron medidas para diversas velocidades y cargas. Todas las mediciones se realizaron en estado estacionario, luego de alcanzar el equilibrio térmico. Asimismo, desarrollaron un modelo numérico para resolver la ecuación de Reynolds generalizada por diferencias finitas. Ellos reportaron buena concordancia de las mediciones de presión y temperatura con las predicciones del modelo numérico, pero grandes discrepancias entre los valores medidos y predichos de excentricidad. A su vez, Boncompain y colaboradores (1986) también informaron buena concordancia entre su trabajo teórico y las mediciones experimentales, pero con diferencias significativas entre los valores medidos de la posición del centro del muñón y los estimados. Ellos concluyen que los gradientes de temperatura en el espesor y a lo largo de la película fluida es el parámetro más importante en el comportamiento de cojinetes.

Braun y colaboradores (1986) estudiaron los efectos térmicos en la capacidad de carga sobre un cojinete criogénico. Para ello acoplaron la ecuación de Reynolds a la ecuación de energía del fluido, así como las ecuaciones de energía para el rotor y el estator, y estudiaron el coeficiente de transferencia de calor en dos casos: el adiabático y el isotérmico. Estos son dos casos límite ya que el adiabático permite que todo el calor permanezca en el fluido mientras el isotérmico hace que todo el calor escape al sólido. La discusión de estos autores se centró en los números de Sommerfeld y Nusselt en relación con la capacidad de carga. Ellos concluyeron que para excentricidades inferiores a 0,5 no había prácticamente diferencia entre el caso de propiedades constantes y el de propiedades variables, mientras que para excentricidades superiores a 0,5, las propiedades influyen sensiblemente en la distribución de la presión y en la capacidad portante.

Knight (1986), a su vez, estudió los efectos de la transferencia de calor en un cojinete con ranura axial. El análisis fue hecho usando condiciones de borde de conducción-conducción para el rotor-fluido y de conducción-convección para el estator-fluido. El coeficiente de convección fue constante para cada caso. Las temperaturas predichas con este modelo son similares a las experimentales en la mitad convergente del cojinete, pero no están de acuerdo con ellas en la mitad divergente. El desacuerdo se puede atribuir a dos problemas independientes. El primero sería la ruptura de la película o cavitación, y el segundo a que el coeficiente de transferencia de calor debería variar a lo largo de la circunferencia del cojinete

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de manera sinusoidal, en base al espesor de la película y los números de Reynolds y Prandtl. En 1987, Mitsui presentó un detallado estudio teórico-experimental sobre la influencia de la temperatura de suministro del lubricante y su termo-viscosidad en un cojinete simple con ranura axial. Él obtuvo el coeficiente de transferencia de calor convectivo y las distribuciones de presión y temperatura, logrando buena concordancia entre los datos experimentales y las predicciones obtenidas mediante la solución por diferencias finitas de la ecuación de Reynolds generalizada, considerando despreciable la conducción en el fluido en las direcciones axial y circunferencial, transferencia de calor entre fluido-cojinete y fluido-rotor, y la formación de estrías de vapor en la zona divergente. Estos datos se usarán en Capítulos venideros para comparación de predicciones.

Kennedy (1988) analizó la temperatura en un cojinete cónico lubricado con un líquido, bajo la influencia de viscosidad variable. La ecuación de la energía que usa supone que todo el calor generado es extraído a través de las paredes sólidas y que no hay calor arrastrado por convección. Además, considera que la viscosidad varía exponencialmente con la temperatura sobre la base de coeficientes obtenidos experimentalmente. Los coeficientes fueron clasificados como “débilmente” o “fuertemente” dependientes de la temperatura. Los resultados obtenidos mostraron que si el rotor está a una temperatura más baja que el estator se produce un aumento en la capacidad de carga, y que si la viscosidad es fuertemente dependiente de la temperatura, la distribución de la presión, el par, y capacidad de carga se ven afectadas significativamente.

Unos años después, Sinha y colaboradores (1991, 1993, 2000) analizaron la influencia de la convección y la disipación en cojinetes cónicos lubricados con aceite. La ecuación de energía utilizada incluyó conducción entre el rotor y el estator, disipación y convección, tanto en la dirección axial como circunferencial asumiendo, además, que la viscosidad varía exponencialmente con la temperatura. Ellos concluyeron que la presencia de convección disminuye la temperatura media mientras que la presencia de disipación la aumenta, y que si la viscosidad es fuertemente dependiente de la temperatura, la inclusión de la convección aumenta la capacidad de carga y el par. Este aumento es más pronunciado si la temperatura del rotor es menor o igual a la temperatura del estator. Adicionalmente, observaron que incluir sólo el efecto de disipación puede resultar en una subestimación de la carga y el par, mientras que considerar sólo convección conduce a una sobreestimación de la carga y el par. El resultado es una ecuación de la energía que debe tener en cuenta las temperaturas del rotor y el estator, así como convección y disipación.

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Resumiendo, cada uno de los autores antes mencionados, ha tomado diferentes enfoques para aproximar la ecuación de la energía. En particular, se debe señalar que Fogg fue el primero en mencionar el efecto de una cuña térmica, impulsado por las variaciones en las propiedades del fluido, y que Cope y Kennedy acentuaron la importancia de acoplar la ecuación de Reynolds con la ecuación de la energía a través de ecuaciones de estado para la densidad y la viscosidad. Autores como Cobb, Sinha, Braun, y Knight mostraron que las temperaturas del rotor y el estator influyen sobre la distribución de la temperatura del lubricante. Para tener en cuenta la interacción sólido-fluido, se debe contar con un coeficiente de transferencia de calor, y las temperaturas tanto del rotor como del estator deben poder variar. Para modelar la distribución de la temperatura en el muñón y en el cojinete, ambos deben estar representados por sus ecuaciones de energía. Adicionalmente, como no existe gradiente de presión perpendicular al rotor y el estator, el único modo de transferencia de calor en esta dirección es la conducción. Cabe señalar que, matemáticamente, la naturaleza de segundo orden de la conducción requiere de dos condiciones de contorno, y que ambas son de tipo Neumann.

Un modelo que desprecia cualquiera de los mecanismos de transferencia, puede conducir a una sobreestimación o subestimación de los resultados. Desestimar el efecto térmico y sus condiciones de borde conduce a una subestimación en la variación de las propiedades y por ende, inexactitud en la cuantificación de la generación de presión, torque y capacidad de carga. No obstante, a diferencia de lo que sucede para el caso isotérmico, cuando se examina con cuidado, el gran cuerpo de los análisis prueba ser irregular en el contenido y contradictorio en sus afirmaciones y resultados. Como ya lo expresara Pinkus (1987), si se necesitase una solución no-isotérmica sería difícil decidir a cuál de los cientos de artículos en existencia