Implementation

La ecuación de Reynolds, Ec. (73) del Capítulo 3, para el caso de fluido Newtoniano incompresible en régimen estacionario y temperatura constante es:

2 ₂ 3 3 2 2 1 1 1 2 12 12 dh p R p h h d L z          _{ } _{ }        (1)

con h el espesor relativo de la capa fluida, h h 1 cos( )

c  

    ,  la excentricidad relativa,

e c

 ,  la variable angular adimensional, X x

R         , y z la dirección axial, z Z L  . Las variables geométricas que aparecen en esta ecuación son las definidas en la Figura 4.1 donde la única diferencia respecto de las de la Figura 3.1 es que los ejes se han ubicado, por conveniencia, centrados en el largo del cojinete. Es decir, Z se extiende ahora desde -L/2 hasta

L/2.

Figura 4.1: Geometría de un cojinete hidrodinámico y nomenclatura asociada (a), y esquema de la sección de flujo equivalente en coordenadas cartesianas (b).

La Ec. (1) es una ecuación diferencial no-homogénea a derivadas parciales que es lineal en la variable buscada, la presión. Su solución ha sido ampliamente buscada y estudiada pero, sin embargo, todavía no ha podido resolverse de manera analítica, ni siquiera bajo las restricciones de flujo isotérmico y fluido Newtoniano. Los intentos de resolverla han llevado a que existan muy diversas soluciones aproximadas, basadas incluso en analogías eléctricas,

Capítulo IV - Soluciones Analíticas Aproximadas 131

métodos de relajación, y métodos gráficos o numéricos (Pinkus, 1961; Hamrock et al., 2004; Szeri, 2011). Asimismo, se cuenta con gran número de formulaciones de soluciones analíticas que exploran la naturaleza de la Ecuación de Reynolds y los diversos métodos de resolución de ecuaciones diferenciales que pueden aplicarse a ella. Cabe señalar que la mayoría de estos intentos contemplan las soluciones de ISJB o ILJB como límite.

Una de las propuestas más conocidas por su extrema sencillez es la que combina las soluciones del ISJB y el ILJB como si cada campo de presión fuese un elemento elástico en serie (Reason y Narang, 1982). Es decir, se propone:

1 1 1

( , ) ISJB ILJB

p  z  p  p . (2)

El fundamento de esta metodología se basa en la observación de los perfiles de presión para cada caso, ya que, a medida que cada una de las soluciones límite se aproxima a la solución numérica de la Ecuación de Reynolds, la otra tiende a infinito. Esta simple herramienta heurística predice comportamientos sorprendentemente buenos en un rango amplio de relaciones de aspecto y excentricidades, y resulta práctica para cálculos a nivel industrial de parámetros de diseño relacionados con el funcionamiento en estado estacionario de cojinetes. En base a esta idea se han propuesto correcciones, como la de Hirani y colaboradores (1997) que formulan:

1 ( , ) ( , ) ( , ) L L D D ISJB ILJB f g p z p p      , (3)

donde f y g son funciones que ponderan el peso de cada solución límite en función de los valores de la relación de aspecto y la excentricidad. De esta manera, se pretende construir tablas más exactas de predicciones que ayuden en el diseño y no involucren cálculos matemáticos o numéricos engorrosos.

Un enfoque distinto, pero que comparte de alguna manera el concepto, es el que calcula el vector movilidad (o la correspondiente impedancia) para cojinetes de longitud finita, como la suma ponderada (en forma vectorial) de las movilidades para las soluciones límite (Childs et al., 1977; Moes y Bosma, 1981). Esta técnica empírica también permite la obtención de resultados analíticos razonables y rápidos.

Existen otras propuestas empíricas que surgen del ajuste de datos experimentales o numéricos, como por ejemplo, la de Bastani y De Queiroz (2010). Estos autores proponen el uso de funciones correctivas respecto de la capacidad portante del ILJB o el ISJB, para describir la del cojinete hidrodinámico convencional. Los factores de corrección son

Capítulo IV - Soluciones Analíticas Aproximadas 132

calculados con expresiones polinomiales que obtienen por ajuste del cociente de valores numéricos de la fuerza respecto de las expresiones en el ILJB o el ISJB.

En cuanto a soluciones analíticas matemáticamente justificadas, una propuesta que se ha usado con diversas variantes según el tipo de flujo de lubricación, es la que asume la existencia de una solución particular y una solución homogénea de la Ecuación de Reynolds,













p  z  p  z  p  z , (4)

donde pH satisface la ecuación homogénea (que contempla sólo los términos que contienen la

presión) y pP es una solución particular, como puede ser la del ILJB (Pinkus, 1961; Sfyris y

Chasalevris, 2012; Chasalevris, 2015). En este caso, la solución homogénea puede pensarse como un 'factor de corrección' del caso particular. Además, este tratamiento permite aplicar el método de "separación de variables", pH(,z)=ζ(z)ξ() (Szeri, 2011; Chasalevris, 2015). Este

es un método que se usa frecuentemente en mecánica de fluidos y transferencia de calor y masa para resolver situaciones de interés práctico (Bird et al., 2002). Al aplicarlo, la ecuación diferencial a derivadas parciales resultante da lugar a dos ecuaciones diferenciales ordinarias (una para cada función) que, conjuntamente con las CBs, pueden resolverse usando la teoría de "Sturm-Liouville" (Bender y Orszag, 1978; Bird et al., 2002; Chasalevris, 2015).

La desventaja de este método, que, por otra parte, es la desventaja de la mayoría de las soluciones aproximadas, es que el resultado queda expresado en forma de una serie infinita de productos de funciones, lo que dificulta su aplicación directa. Una alternativa a la serie es el tratamiento de la solución homogénea por métodos variacionales (Zhang et al., 2014) o directamente el planteo de soluciones híbridas numérico-analíticas que se obtienen combinando métodos variacionales e integrales (Santos et al., 2012).

Las aproximaciones más frecuentemente empleadas para resolver la ecuación de Reynolds son, sin embargo, las que contemplan el uso de métodos de perturbación para obtener soluciones asintóticas (Eckhaus y De Jager, 1966; Bender y Orszag, 1978; Boas, 2006). Esta metodología, que será descrita en detalle en la próxima Sección, ha sido usada para encontrar soluciones aproximadas del flujo de lubricación en cojinetes de diversos tipos. El objetivo principal en este caso es contemplar la influencia de parámetros no considerados en las soluciones simplificadas y, de esa manera, extender su rango de aplicación. La limitación de estos métodos radica en que los resultados encontrados son válidos en un entorno relativamente reducido de la solución simplificada, por lo que el reto también está en lograr soluciones aproximadas válidas en el rango más extenso posible.

Capítulo IV - Soluciones Analíticas Aproximadas 133

singular para cojinetes infinitamente largos de patín y de deslizamiento y para cojinetes escalonados de aplastamiento (squeeze film) contemplando los efectos del borde final y para alcanzar menores valores de aplastamiento y de relación de aspecto (Gross y Zachmanoglou, 1961; Di Prima, 1968, 1969, 1973; Capriz y Cimatti, 1978; Schmitt y Di Prima, 1978; Ling, 1986). En estos casos se usa el método de 'matched asymptotic expansion' típico de problemas de capa límite, para desarrollar una solución asintótica para la presión para valores de L

D

grandes, y así calcular la capacidad portante y parámetros relacionados. En el caso particular de incluir una discontinuidad en la pendiente, Schmitt y Di Prima (1976) encontraron que esta técnica les permitió describir no sólo la capa límite en el borde del cojinete, sino también el desarrollo de una capa límite en la derivada de la presión en el escalón. De igual manera se han analizado cojinetes cilíndricos infinitamente largos buscando una representación asintótica explícita, uniformemente válida, de la presión (Gross y Zachmanoglou, 1961; Tayler, 1968). Tayler (1968) analizó en particular el cojinete radial de longitud finita con grandes excentricidades. Para ello usó una expansión asintótica interna y una externa al punto singular de mínimo espesor (excentricidad tendiendo a 1).

De igual manera, otros autores han contemplado los efectos de inercia y curvatura, no presentes en la Ecuación de Reynolds, en el ILJB, usando diferentes métodos de expansión en serie (Wannier, 1950; Wood, 1957; Kamal, 1966; Di Prima y Stuart, 1972; Myllerup y Hamrock, 1994; Kakoty y Majumdar, 1999). En particular, Myllerup y Hamrock (1994) realizan un detallado y exhaustivo análisis de la aplicación del método de perturbación regular usando la relación de aspecto de la película fluida como parámetro pequeño. Ellos muestran cómo este método incluso permite demostrar el efecto no despreciable de la corrección por curvatura cuando se quieren calcular los términos correctivos respecto de la solución del ILJB.

En el caso de cojinetes cortos de deslizamiento y cilíndricos de arco parcial, se ha rectificado la predicción del ISJB linealizando la teoría y desarrollando un análisis asintótico para corregir los campos de presión cerca de los bordes, donde las condiciones de borde de presión no se pueden cumplir (Schuss y Etsion, 1981; Buckholz et al., 1984; Buckholz y Hwang 1986), y resolviendo la ecuación de Euler-Lagrange mediante una aproximación de perturbación singular para relaciones de aspecto pequeñas (Rohde y Li, 1980) asumiendo una forma de perfil de velocidad. De hecho, también se han usado series de perturbación regular para extender el rango de aplicabilidad del ISJB y para cuantificar el alcance de dicha solución límite (Buckholz y Hwang, 1986) y para calcular el efecto de la desalineación

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(Gómez-Mancilla y Nosov, 2001, 2002).

En relación con los métodos y soluciones antes comentadas, debe tenerse en cuenta que la Ecuación de Reynolds es una ecuación multi-paramétrica, por lo que las diferentes soluciones de métodos de expansión en serie tienen limitaciones y restricciones asociadas a los parámetros elegidos.

4.2 SOLUCIONES USANDO MÉTODOS DE PERTURBACIÓN