Del teorema 4.16 se sigue que el c´alculo deductivo que hemos introducido en principio de forma arbitraria es exactamente lo que tiene que ser. Esto se sigue de los rec´ıprocos de los teoremas 3.8 y 3.9, que pasamos a demostrar:
Teorema 4.17 (Teorema de adecuaci´on) Toda f´ormula l´ogicamente v´alida es un teorema l´ogico.
Demostraci´on: Seaαuna f´ormula yαc su clausura universal. Si no`α, entonces no ` αc, luego no ` ¬¬αc. Por el teorema 3.12 obtenemos que ¬αc es consistente, luego tiene un modeloM, es decir,M ≤¬αc, luego no M≤αc, luego noM≤α, es decir,αno es l´ogicamente v´alida.
Nota Es crucial comprender que el enunciado de este teorema carecer´ıa de un significado metamatem´atico preciso si no fuera por la propia demostraci´on del teorema. Recordemos que no sabemos dar un sentido a una afirmaci´on del tipo “αes l´ogicamente v´alida” salvo en el caso en que dispongamos de un argumento que nos convenza de queαha de ser verdadera en cualquier modelo. El teorema de correcci´on nos da que esto sucede siempre queαes un teorema l´ogico. Lo que ahora hemos probado es que siαno es un teorema l´ogico (y est´a claro qu´e significa esto) entonces sabemos construir un modelo en el que α es falsa, y
4.3. Consecuencias del teorema de completitud 107 esto podemos expresarlo diciendo queαno es l´ogicamente v´alida. En resumen, ahora sabemos que toda f´ormula αha de encontrarse en uno de los dos casos siguientes: o bien es un teorema l´ogico y entonces es verdadera en cualquier modelo, o bien no es un teorema l´ogico y entonces sabemos describir un modelo concreto en el cual es falsa. Esto nos permite considerar como equivalentes las afirmaciones ` αy ≤ α, con lo que, dado que la primera tiene un significado preciso, lo mismo podemos decir, a partir de ahora, de la segunda.
La adecuaci´on del c´alculo deductivo queda plasmada m´as claramente en lo que propiamente se conoce como elteorema de completitud sem´antica para la l´ogica de primer orden:
Teorema 4.18 (Teorema de completitud sem´antica (de G¨odel)) Sea T
una teor´ıa axiom´atica consistente y sea α una f´ormula de su lenguaje formal. Siαes verdadera en todo modelo (numerable) deT, entonces `
Tα.
Demostraci´on: Sea Γ la colecci´on de los axiomas deT. Hemos de probar que Γ`α. En caso contrario no Γ`αc, luego no Γ` ¬¬αc. Por el teorema 3.12 tenemos que Γ∪ {¬αc} es consistente, luego tiene un modelo numerable M. ComoM ≤Γ se cumple que M es un modelo de T, pero no M ≤α, en contra de lo supuesto.
As´ı pues, si el teorema 3.9 garantizaba que el c´alculo deductivo jam´as nos lleva de premisas verdaderas a conclusiones falsas, el teorema de completitud sem´antica nos garantiza que el c´alculo deductivo es completo, no en el sentido sint´actico de que nos responda afirmativa o negativamente a cualquier pregunta, sino en el sentido sem´antico de que cualquier otro c´alculo deductivo “m´as gene- roso” que permitiera deducir m´as consecuencias que el nuestro de unas premisas dadas, necesariamente nos permitir´ıa deducir consecuencias falsas en un modelo a partir de premisas verdaderas en ´el, por lo que no ser´ıa sem´anticamente acep- table. En resumen, ahora sabemos que nuestro c´alculo deductivo se corresponde exactamente con la noci´on metamatem´atica de razonamiento l´ogico, por lo que todas las arbitrariedades de su definici´on est´an ahora plenamente justificadas.
En la prueba del teorema de completitud hemos visto un ejemplo represen- tativo de la necesidad que puede surgir en diversos contextos de razonar con f´ormulas sin descriptores. Como primera aplicaci´on del teorema de completitud veremos que no s´olo podemos eliminar los descriptores de los axiomas y teore- mas (encontrando f´ormulas equivalentes sin descriptores) sino tambi´en de las demostraciones.
Teorema 4.19 SeaLun lenguaje formal con descriptor, seaΓuna colecci´on de f´ormulas de Lsin descriptores yαuna f´ormula sin descriptores. Si se cumple
Γ`α, entonces existe una deducci´on de αa partir de Γ en la que no aparecen descriptores.
Demostraci´on: SiMes un modelo de Γ (considerando a Γ como colecci´on de f´ormulas deL), determinando arbitrariamente una descripci´on impropia ob- tenemos un modeloM0 deLque obviamente cumpleM0 ≤Γ. Por consiguiente
M0 ≤αy, comoαno tiene descriptores,M≤α. As´ı pues,α(como f´ormula de
L) es verdadera en todo modelo de Γ (como colecci´on de f´ormulas deL). Por el teorema de completitud (paraL) concluimos que Γ `
KLα, es decir,αse deduce sin descriptores.
Nota En la prueba del teorema anterior hemos usado el teorema de comple- titud para un lenguaje sin descriptor. ´Este ha sido el motivo por el que hasta ahora hemos trabajado tanto con lenguajes con y sin descriptor. A partir de este momento todos los lenguajes formales que consideremos tendr´an descriptor.
Aritm´etica no est´andar Si el teorema de completitud nos ha mostrado que el c´alculo deductivo es exactamente lo que tiene que ser, a la vez nos muestra ciertas limitaciones que, por esta misma raz´on, resultan ser esenciales a toda posible formalizaci´on y axiomatizaci´on de una teor´ıa matem´atica.
Observemos que si una colecci´on de f´ormulas Γ tiene la propiedad de que todas sus subcolecciones finitas son consistentes, entonces es consistente. En efecto, si a partir de Γ se dedujera una contradicci´on, en la deducci´on s´olo podr´ıa aparecer una cantidad finita de premisas, las cuales formar´ıan una subcolecci´on finita de Γ contradictoria, en contra de lo supuesto. El teorema de completitud traduce este hecho obvio en un hecho nada trivial:
Teorema 4.20 (Teorema de compacidad de G¨odel) Una colecci´on de f´or- mulas tiene un modelo si y s´olo si lo tiene cada una de sus subcolecciones finitas.
Lo importante en este teorema es que ninguno de los modelos de ninguna de las subcolecciones finitas tiene por qu´e ser un modelo de la totalidad de las f´ormulas y, pese a ello, podemos garantizar que existe un modelo que cumple simult´aneamente todas ellas.
De aqu´ı se deduce que la l´ogica de primer orden no escateg´orica,es decir, que —en la mayor´ıa de casos de inter´es— es imposible caracterizar un´ıvocamente unos objetos que pretendamos estudiar a trav´es de una colecci´on de axiomas. Concretamente vamos a probarlo con las nociones de “finitud” y de “n´umero natural”.
Nosotros hemos presentado los n´umeros naturales como los objetos 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc., es decir, los objetos generados por un proceso de c´omputo perfecta- mente determinado que nos permite continuar indefinidamente y sin vacilaci´on la sucesi´on anterior. As´ı aprenden todos los ni˜nos lo que son los n´umeros natu- rales y esta definici´on les basta para manejarlos en todos los contextos distintos del de la matem´atica formal. Muchos matem´aticos piensan que esta noci´on “in- tuitiva”, en el m´as despectivo sentido de la palabra, puede ser suficiente para usos no sofisticados, como contar monedas, o sellos, o piedras, pero no para las matem´aticas serias, donde es necesaria una definici´on m´as precisa y rigurosa de n´umero natural. Ahora vamos a probar que esto, aunque tiene algo de cierto,
4.3. Consecuencias del teorema de completitud 109 tambi´en tiene mucho de falso. Es verdad que la matem´atica, desde el momento en que pretende estudiar objetos abstractos que involucran la noci´on general de conjunto, requiere ser axiomatizada en su totalidad, lo cual incluye el tratar axiom´aticamente los n´umeros naturales. Sin embargo, no es cierto que una pre- sentaci´on axiom´atica de los n´umeros naturales sea m´as precisa y rigurosa que una presentaci´on no axiom´atica como la que hemos dado aqu´ı. Al contrario, va- mos a demostrar que una presentaci´on axiom´atica de los n´umeros naturales ser´a rigurosa, pero nunca precisa, en el sentido de que ser´a necesariamente ambigua. En efecto, supongamos que el lector cree que puede definir con total precisi´on los n´umeros naturales en el seno de una teor´ıa axiom´atica. El intento m´as simple es la aritm´etica de Peano que ya hemos presentado, pero si el lector considera que es demasiado d´ebil, podemos admitir cualquier otra teor´ıa. Por ejemplo podr´ıamos pensar en una teor´ıa axiom´atica de conjuntos. No importa cu´ales sean sus axiomas en concreto. El argumento que vamos a emplear se aplica a cualquier teor´ıa axiom´aticaT que cumpla los siguientes requisitos m´ınimos:
• T es consistente (es obvio que una teor´ıa contradictoria no ser´ıa una buena forma de presentar los n´umeros naturales).
• El lenguaje de T contiene un designador 0, un t´ermino x0 con x como
´
unica variable libre y una f´ormula Natx(l´ease “xes un n´umero natural”) conxcomo ´unica variable libre de modo que enT puedan demostrarse los teoremas siguientes:
a) Nat 0,
b) Vx(Natx→Natx0),
c) Vx(Natx→x0 6= 0),
d) Vxy(Natx∧Naty∧x0 =y0 →x=y).
En otras palabras, admitimos que en la teor´ıa T se definan los n´umeros naturales, el cero y la operaci´on “siguiente” como se considere oportuno, con tal de que se puedan demostrar las cuatro propiedades elementales que hemos exigido. SiT es la aritm´etica de Peano, como definici´on de n´umero natural sirve Natx≡x=x, pues enT s´olo se puede hablar de n´umeros naturales. Si T es una teor´ıa m´as general entonces Natxha de ser una f´ormula que especifique qu´e objetos son n´umeros naturales y cu´ales no, es decir, lo que cualquier matem´atico entender´ıa por una “definici´on de n´umero natural”.
Si es posible determinar axiom´aticamente los n´umeros naturales, la forma de hacerlo ser´a, sin duda, una teor´ıaT que cumpla los requisitos anteriores. Ahora probaremos que existen unos objetos que satisfacen la definici´on de n´umero natural que ha propuesto el lector —cualquiera que ´esta sea— y que, pese a ello, nadie en su sano juicio los aceptar´ıa como n´umeros naturales. M´as precisamente, vamos a construir un modelo de T en el que existen objetos que satisfacen la definici´on de n´umero natural del lector y que son distintos de lo que el lector ha decidido llamar 0, y de lo que el lector ha decidido llamar 1, etc.
Sea Lel lenguaje de T y seaL0 el lenguaje que resulta de a˜nadir a L una
constante c. Consideramos la teor´ıa T0 sobre L0 que resulta de a˜nadir a los
axiomas deT la siguiente colecci´on de sentencias:
Natc, c6= 0, c6= 00, c= 06 00, c6= 0000, c6= 00000, . . .
Si usamos en T la misma notaci´on que en la aritm´etica de Peano, hemos a˜nadido el axioma Natcm´as los axiomasc6= 0(n), para todo naturaln.
La teor´ıa T0 es consistente. En virtud del teorema de compacidad basta
encontrar un modelo de cada colecci´on finita de axiomas de T. De hecho, es claro que basta encontrar un modelo de cada teor´ıaT0
n formada por los axiomas deT m´as los axiomas Natc,c6= 0, . . . ,c6= 0(n).
Por hip´otesisT es consistente, luego tiene un modeloM. LlamaremosMnal modelo deL0 que es igual que M salvo por que interpreta la constantec como
el objeto denotado por 0(n+1). As´ı,M
n es un modelo de T en el que adem´as es verdadera la sentenciac= 0(n+1). De esta sentencia m´as las sentencias a), b),
c), d) que estamos suponiendo que son teoremas deT se deducen las sentencias Natc,c6= 0, . . . ,c6= 0(n), es decir,M
n es un modelo deTn0.
Por el teorema de compacidadT0 tiene un modeloM0. En particularM0 es
un modelo de T, es decir, sus objetos cumplen todos los axiomas que el lector ha considerado razonables. En particular, los objetos a de M0 que cumplen
M0 ≤Natx[vax], para una valoraci´on cualquierav, satisfacen todos los requisitos que el lector ha tenido bien exigir a unos objetos para que merezcan el calificativo de n´umeros naturales.
Llamemosξ=M0(c). Puesto queM0 ≤Natc, tenemos queξes uno de esos
objetos que el lector est´a dispuesto a aceptar como n´umeros naturales. Ahora bien, ComoM0 ≤c 6= 0, tenemos queξ es distinto del objeto denotado por el
designador 0, es decir, es distinto del objeto que satisface todo lo que el lector ha tenido a bien exigir para que merezca el calificativo de “n´umero natural cero”. Similarmente, comoM0 ≤c6= 00, tenemos que ξ es distinto de lo que el lector
ha tenido a bien llamar 1, etc. En resumen, la definici´on de n´umero natural propuesta por el lector es satisfecha por unos objetos entre los cuales hay uno ξque no es lo que el lector ha llamado 0, ni 1, ni 2, ni 3, ni, en general, ning´un n´umero que pueda obtenerse a partir del 0 por un n´umero finito de aplicaciones de la operaci´on “siguiente”. Cualquier ni˜no de 10 a˜nos al que se le explique esto adecuadamente comprender´a que el lector se equivoca si cree haber definido correctamente los n´umeros naturales.
En general, diremos que un modelo M de una teor´ıa que satisface los re- quisitos que hemos exigido a T es un modelo no est´andar de la aritm´etica si en su universo hay un objeto ξ tal que, para una valoraci´on v cualquiera, M ≤Natx[vξ
x] y para todo n´umero natural nse cumple M ≤ x= 06 (n)[vξx]. A tales objetosξlos llamaremosn´umeros no est´andardel modeloM.
Hemos probado que cualquier formalizaci´on m´ınimamente razonable de la aritm´etica tiene modelos no est´andar, modelos en los que hay “n´umeros natu- rales” que no pueden obtenerse a partir del cero en un n´umero finito de pasos.
4.3. Consecuencias del teorema de completitud 111 Vemos as´ı que el razonamiento metamatem´atico que estamos empleando desde el primer cap´ıtulo, aunque in´util para tratar con la matem´atica abstracta, es mucho m´as preciso que el razonamiento axiom´atico formal a la hora de tratar con objetos intuitivamente precisos. As´ı, aunque la noci´on de finitud es total- mente precisa y rigurosa, tan simple que hasta un ni˜no de 10 a˜nos comprende sin dificultad que hay un n´umero finito de dedos en la mano pero hay infinitos n´umeros naturales, resulta que el m´as sofisticado aparato matem´atico es incapaz de caracterizarla con precisi´on.
En efecto, nosotros nunca hemos dado una definici´on de finitud, pues si el lector no supiera perfectamente lo que es ser finito deber´ıa entretenerse leyendo libros m´as elementales que ´este. Ahora bien, el lector no s´olo debe ser consciente de que ´el ya sabe lo que es ser finito, sino que adem´as debe comprender que no estamos “siendo poco rigurosos” al eludir una definici´on formal de finitud, ya que no se puede pecar de poco riguroso por no hacer algo imposible. Su- pongamos que el lector se siente capaz de corregirnos y enunciar una definici´on razonable de “conjunto finito”. Sin duda, para ello deber´a hacer uso de algunas propiedades elementales de los conjuntos. Todo cuanto utilice podr´a enunciarse expl´ıcitamente como los axiomas de una teor´ıa de conjuntosT. No importa cu´al sea la teor´ıaT. Pongamos que el lector construye el lenguaje formal que consi- dere oportuno y en ´el enuncia unos axiomas que digan “los conjuntos cumplen esto y lo otro”. S´olo exigimos las siguientes condiciones m´ınimas:
• T es consistente.
• En T pueden definirse los n´umeros naturales en las mismas condiciones que antes, y adem´as ha de poder demostrarse un principio de inducci´on similar al esquema axiom´atico de la aritm´etica de Peano. Tambi´en ha de ser posible definir la relaci´on de orden en los n´umeros naturales y demostrar sus propiedades b´asicas.
• En T puede definirse una f´ormula “xes un conjunto finito” con la cual pueda probarse que todo conjunto con un elemento es finito y que si a un conjunto finito le a˜nadimos un elemento obtenemos un conjunto finito. Por lo dem´as, el lector es libre de exigir cuanto estime oportuno a esta definici´on para que sea todo lo exacta que considere posible.
• EnT tiene que poder demostrarse que para cada n´umero naturalxexiste el conjunto de los n´umeros naturales menores o iguales quex.
Si se cumplen estos requisitos, en la teor´ıaT puede probarse que el conjunto de los n´umeros naturales menores o iguales que un n´umerones finito, es decir, que satisface la definici´on de finitud que ha decidido adoptar el lector. Ahora bien, la teor´ıaT tiene un modeloMno est´andar, en el cual podemos considerar el conjunto Ξ de todos los n´umeros naturales menores o iguales que un n´umero no est´andar fijo ξ. Este conjunto Ξ satisface, pues, la definici´on de finitud del lector, pero contiene al objeto que en M satisface la definici´on de 0 (ya que ξ no es 0 y en T ha de poder probarse que todo n´umero distinto de 0 es mayor que 0), y tambi´en contiene a lo que el lector ha llamado 1 (ya queξes distinto
de 1 y enT ha de poder probarse que todo n´umeros mayor que 0 y distinto de 1 es mayor que 1) y ha de contener a lo que el lector ha llamado 2, y 3, y 4, etc. En definitiva, tenemos un conjunto infinito que satisface la definici´on de finitud que haya propuesto el lector, cualquiera que ´esta sea.
Las nociones de finitud y de n´umero natural est´an ´ıntimamente relaciona- das: si tuvi´eramos una definici´on formal precisa de finitud podr´ıamos definir los n´umeros naturales definiendo el 0 y la operaci´on siguiente y estipulando que ´esta ha de aplicarse un n´umero finito de veces para obtener cada n´umero natu- ral; rec´ıprocamente, si tuvi´eramos una definici´on formal precisa de los n´umeros naturales podr´ıamos definir a partir de ella la noci´on de finitud; pero sucede que no existe ni lo uno ni lo otro, lo cual a su vez no es obst´aculo para que cualquier ni˜no de 10 a˜nos —al igual que el lector— tenga una noci´on precisa (metamatem´atica, no axiom´atica) de lo que es la finitud y de lo que son los n´umeros naturales.
Por otra parte, el lector debe tener presente que todos los teoremas de la aritm´etica de Peano, o de otra teor´ıa similar, son afirmaciones verdaderas sobre los n´umeros naturales. Lo que hemos probado es que tambi´en son afirmaciones verdaderas sobre otros objetos que no son los n´umeros naturales, pero esto no contradice a lo primero, que es lo que realmente importa. M´as en general, una teor´ıa axiom´atica con axiomas razonables nos permite probar cosas razonables, independientemente que que pueda aplicarse tambi´en a objetos no razonables.
Aqu´ı el lector se encuentra nuevamente ante un dilema: o concede que el tratamiento metamatem´atico que estamos dando a los n´umeros naturales es leg´ıtimo, o concluye que todo lo dicho en este apartado es, no ya falso, sino un completo sinsentido. Por supuesto, los n´umeros naturales son simplemente el ejemplo m´as simple. Lo mismo se puede decir de cualquier concepto de na- turaleza “numerable”, como puedan ser los n´umeros enteros y racionales, las sucesiones finitas de n´umeros racionales, los polinomios con coeficientes racio- nales, los n´umeros algebraicos, los grupos finitos, etc. En teor´ıa es posible trabajar metamatem´aticamente con todos estos conceptos, aunque en muchos casos puede ser delicado y requerir una extrema atenci´on para no caer en pa- labras sin significado. Nadie dice que convenga hacerlo, pues la alternativa de trabajar en una teor´ıa axiom´atica es mucho m´as ventajosa, pero lo cierto es que es posible. Nosotros s´olo trataremos con los estrictamente imprescindibles para estudiar la l´ogica matem´atica, donde el uso de una teor´ıa axiom´atica nos llevar´ıa a un c´ırculo vicioso.
La paradoja de Skolem Veamos ahora una ´ultima consecuencia del teorema de completitud del que a su vez se siguen implicaciones muy profundas sobre la naturaleza del razonamiento matem´atico. En realidad no es nada que no sepamos ya: se trata de enfatizar la numerabilidad de los modelos que sabemos