El teorema del punto fijo de Brouwer forma parte de un grupo de teoremas topol´ogicos estrechamente relacionados, en el sentido de que es f´acil probar unos a partir de otros, pero ninguno de ellos admite una demostraci´on sencilla. As´ı, por ejemplo, nosotros lo probaremos mediante consideraciones geom´etricas elementales a partir del resultado siguiente:
Teorema 3.8 La esferaSn no es un retracto de la bola unidad cerrada Bn+1
o deRn+1.
Esto es consecuencia inmediata de la siguiente observaci´on:
Teorema 3.9 SiX es un espacio topol´ogico yU es un retracto deX, entonces la inclusi´on i:U −→X induce monomorfismosi∗:Hp(U)−→Hp(X).
Demostraci´on: Sear:X −→U una retracci´on, entoncesi◦r= 1, luego
i∗◦r∗= 1, luegoi∗ es inyectiva.
As´ı, comoHn(Sn)6= 0, mientras que Hn(Bn+1) =Hn(Rn+1) = 0, tenemos probado 3.8. De hecho, por el mismo motivo tenemos tambi´en:
3.3. El teorema de Brouwer 67 Teorema 3.10 Si U ⊂Sn es un subespacio homeomorfo a Sm, con m < n,
entonces U no es un retracto deSn.
Seg´un coment´abamos, una vez disponemos de 3.8 la prueba del teorema de Brouwer se vuelve elemental:
Teorema 3.11 (Teorema de Brouwer) Sea Bn la bola unidad cerrada en Rn. Entonces toda aplicaci´on continua f : Bn −→ Bn tiene un punto fijo, es
decir, existex∈Bn tal quef(x) =x.
Demostraci´on: Supongamos que existef : Bn −→ Bn sin puntos fijos. Entonces podemos definir una retracci´on r: Bn −→Sn−1. Tomaremos como r(x) el ´unico punto donde la semirrecta de origenf(x) que pasa porxcorta a
Sn−1. Veamos que, efectivamente, hay un ´unico punto en estas condiciones, al
tiempo que vemos queras´ı definida es continua.
La semirrecta est´a formada por los puntosy∈Rn de la forma
y=f(x) +t(x−f(x)) t >0. (3.3) Llamemosb=f(x) ya=x−f(x). Entonces,y∈Sn−1si y s´olo si
y2=t2a2+ 2t a·b+b2= 1.
Por lo tanto, ha de ser
t(x) = 1
a2
°
−a·b+p(a·b)2+a2(1−b2)¢
El discriminante es positivo porque b2≤1. Si b2<1 es claro quet(x)>0.
Esto tambi´en es cierto sib2= 1, pues entonces tenemos
t(x) =−a·b+|a·b|
a2 ,
y la alternativa a t(x)> 0 es t(x) = 0, que se dar´a si a·b ≥0. Ahora bien, comoa=x−b, esto equivale a quex·b−b2=x·b−1≥0, pero entonces
°
x−f(x)¢2= (x−b) =x2+b2−2x·b≤2−2 = 0,
lo cual es imposible.
Tenemos, pues, que r(x) = f(x) +t(x)(x−f(x)) est´a bien definida, es continua y fija a los puntos deSn−1, ya que si x∈Sn−1 entonces y=xes de
la forma (3.3) cont = 1, luego por la unicidad que hemos probado ha de ser
r(x) =x.
Rec´ıprocamente, el teorema 3.8 se prueba f´acilmente a partir del teorema de Brouwer: si existiera una retracci´onr:Bn−→Sn−1, entonces la aplicaci´on f :Bn −→Bn dada por
f(x) =x−r(x) 2 no tendr´ıa puntos fijos.
Otro camino posible para demostrar el teorema de Brouwer es a trav´es de un famoso teorema conocido coloquialmente —entre otras formas— como el “teo- rema de la esfera peluda”, porque puede interpretarse como que no es posible “peinar” una esfera, es decir, si de cada punto de la esfera sale un pelo, es impo- sible disponerlos todos tangentemente a la esfera de forma continua. Cualquier “peinado” de la esfera ha de tener una “raya” o, al menos, una “coronilla” (cuyo pelo central no est´a peinado).
En t´erminos de la geometr´ıa diferencial, lo que afirma este teorema es que una variedad difeomorfa a S2n no tiene campos vectoriales continuos que no se anulen en ning´un punto. Aqu´ı daremos una definici´on particular de campo de vectores tangentes que no requiera expl´ıcitamente conceptos de la geometr´ıa diferencial, pero el resultado que de hecho probaremos es equivalente al que acabamos de enunciar (ver el ejemplo de la p´agina 259).
Definici´on 3.12 Uncampo tangentea Sn es una aplicaci´on v :Sn −→ Rn+1 continua tal que para todo x ∈ Sn el vector v(x) es no nulo y ortogonal a x (esto equivale a decir que es tangente aSn enx).
Observar que cambiando v por el campo v(x)/kv(x)k podemos exigir que
v:Sn −→Sn.
El teorema del que estamos hablando es el siguiente:
Teorema 3.13 Sn tiene un campo tangente si y s´olo sines impar.
Observemos, ante todo, que una parte es trivial: sin= 2k−1 es impar, un campo tangente enSn es el dado por
v(x1, . . . , x2k) = (x2,−x1, . . . , x2k,−x2k−1).
Para el rec´ıproco, la prueba que vamos a ver se basa en la observaci´on siguiente: a partir de un campo tangentev : Sn −→Sn podemos construir la aplicaci´onH :I×Sn−→Sn dada por
Ht(x) = cos(πt)x+ sen(πt)v(x).
Es inmediato comprobar que Ht(x)·Ht(x) = 1, por lo que ciertamente la imagen de H est´a en Sn. Adem´as H
0 es la identidad y H1 es la aplicaci´on
antipodal, dada porα(x) = −x. As´ı pues, si existe un campo tangente enSn, la aplicaci´on antipodal es homot´opica a la identidad.
Probaremos que esto s´olo puede ocurrir si n es impar. Para ello estudia- remos, m´as en general, las aplicaciones ortogonales en Sn. Recordemos que una aplicaci´on lineal g:Rn+1 −→Rn+1 esortogonalsi conserva la norma. En particular g se restringe a una aplicaci´on continua de g :Sn −→Sn. Cuando hablemos de una aplicaci´on ortogonal enSnnos referiremos a las restricci´on de una aplicaci´on ortogonal enRn+1. No distinguiremos entre una y otra.
El determinante de la matriz de una aplicaci´on linealgen una base cualquiera es independiente de la base, y lo representaremos por detg. es conocido que si
3.3. El teorema de Brouwer 69
g es ortogonal, necesariamente detg=±1. La aplicaci´on antipodalαenSn es ortogonal, y su determinante es detα= (−1)n+1.
Vamos a estudiar los homomorfismos que las aplicaciones ortogonales indu- cen en los grupos de homolog´ıa de Sn. Para ello estudiaremos primero una aplicaci´on m´as sencilla que la antipodal, la aplicaci´onf :Sn−→Sn dada por
f(x1, . . . , xn, xn+1) = (x1, . . . , xn,−xn+1). (3.4)
Conservando la notaci´on introducida en la secci´on anterior, tenemos que el ecuador ˜Sn−1 de la esfera Sn es un retracto por deformaci´on de U
1∩U2,
lo que significa que la inclusi´on i : ˜Sn−1 −→ U
1∩U2 induce un isomorfismo i∗:H
p( ˜Sn−1)−→Hp(U1∩U2).
Notemos que f : (Sn, U
1, U2) −→ (Sn, U2, U1), por lo que induce homo-
morfismos en todos los grupos de homolog´ıa que estamos considerando (y es importante que intercambiaU1conU2). En particular tenemos que el diagrama
Hp( ˜Sn−1) f∗ ≤ ≤ i∗ //H p(U1∩U2) f∗ ≤ ≤ Hp( ˜Sn−1) i∗ //H p(U1∩U2)
es conmutativo, pero la restricci´on def a ˜Sn−1 es la identidad, luego tambi´en
lo esf∗ sobreHp( ˜Sn−1) y, por el diagrama, tambi´en lo esf∗ enHp(U1∩U2). Ahora aplicamos el teorema 3.5, (para la homolog´ıa reducida) que nos da la conmutatividad del diagrama
0 //Hp(Sn) ∆ // f∗ ≤ ≤ Hp−1(U1∩U2) f∗ ≤ ≤ / /0 0 //Hp(Sn) −∆ //Hp−1(U1∩U2) //0
donde el punto crucial es advertir que la aplicaci´on ∆ para la tr´ıada (Sn, U2, U1) es la opuesta de la correspondiente a (Sn, U1, U2), seg´un observamos al final de la secci´on primera. Es claro entonces que f∗ resulta ser la multiplicaci´on por −1, es decir, para todo c∈Hp(Sn), se cumplef∗(c) =−c.
Este hecho se generaliza ahora f´acilmente.
Teorema 3.14 Si g : Sn −→ Sn es ortogonal, el isomorfismo que induce en
cada grupo de homolog´ıa es la multiplicaci´on por detg.
Demostraci´on: Es conocido que si detg = 1, entonces g es una compo- sici´on de giros, y es f´acil ver que todo giro es homot´opico a la identidad (si el ´
angulo de giro esα, la homotop´ıa se forma considerando los giros de ´angulotα). Por consiguienteg es homot´opica a la identidad yg∗= 1.
Supongamos ahora que detg = −1 y sea f la aplicaci´on dada por (3.4). Entonces g◦f es ortogonal y tiene determinante 1 (pues detf = −1), luego sabemos queg◦f es homot´opica a la identidad. As´ı pues,g∗◦f∗= 1 y, puesto quef∗ es la multiplicaci´on por−1, lo mismo vale parag∗.
Ahora ya es inmediato el teorema 3.13: tras su enunciado hemos visto que la existencia de un campo tangente aSn implica que la aplicaci´on antipodalα es homot´opica a la identidad, luegoα∗ = 1, pero por otra parte sabemos que
α∗es la multiplicaci´on por detα= (−1)n+1, luegonha de ser impar.
Ejercicio: Probar que sif :Bn
−→Bnes una funci´on continua sin puntos fijos yn
es par, entonces
v(x) =°xn+1(f(x)−x),−(f(x)−x)·x
¢
,
es un campo tangente aSn(dondexdenota el vector de lasnprimeras componentes dex). Deducir el teorema de Brouwer a partir de 3.13.