Spatial statistical forecasting
Chapter 7. The Spatio-temporal Spline Models
Euler
En esta secci´on supondremos que el anillo de coeficientes A sobre el que construimos los grupos de homolog´ıa es un cuerpo o, al menos, dominio de ideales principales (como Z). En tal caso, si M es un A-m´odulo finitamente generado y T(M) es elsubm´odulo de torsi´on, es decir, el subm´odulo formado por los elementos m∈M tales que existe una∈Ano nulo tal queam= 0, se cumple queM/T(M) es unA-m´odulo libre (finitamente generado). Al rango de este cociente se le llamarangodeM. Adem´as, todo subm´odulo de unA-m´odulo libre de rango finitores libre y de rango menor o igual quer.
Si X es un complejo celular, sabemos que ˜Cp(X) es unA-m´odulo libre fi- nitamente generado, luego tambi´en lo es el subm´odulo de ciclos ˜Zp(X) y su cociente, ˜Hp(X).
4.5. Los n´umeros de Betti y la caracter´ıstica de Euler 101 Definici´on 4.17 SeaXun espacio topol´ogico ypun entero tal que elA-m´odulo
Hp(X) sea finitamente generado. Entonces se define eln´umero de BettideXde dimensi´onpcomo el rangobp(X) de Hp(X). Cuando no se especifica el anillo Ase sobrentiende que esZ.
La homolog´ıa considerada es la completa, de modo queb0(X) es el n´umero
de componentes arcoconexas deX (supuesto que sea finito).
Las observaciones previas a la definici´on junto con el teorema 4.12 prueban que si X es un complejo celular entonces todos sus n´umeros de Betti est´an definidos, as´ı como quebp(X)6= 0 a lo sumo si 0≤p≤n.
En general, si X es un espacio topol´ogico cuyos n´umeros de Betti est´an todos definidos y todos son nulos salvo a lo sumo una cantidad finita, definimos lacaracter´ıstica de Euler deX como
χ(X) =P p
(−1)pbp(X).
Tenemos, pues, que la caracter´ıstica de Euler est´a definida para todo com- plejo celular. Por ejemplo, con los c´alculos que tenemos hechos, es inmediato comprobar que χ(Sn) = Ω 0 sines impar, 2 sines par, χ(Mg) = 2−2g, χ(Nh) = 2−h, χ(Pn(C)) =n+ 1, χ(Pn(R)) = Ω 0 si nes impar, 1 si nes par.
En particular, vemos que este invariante es suficiente para distinguir entre s´ı las superficiesMg y tambi´en lasNh (aunqueχ(Mg) =χ(N2g)).
Observemos que los n´umeros de Betti pueden depender del anillo de coe- ficientes. Un ejemplo nos lo proporcionan las superficies Nh, para las cuales
b1=h−1 siAno tiene caracter´ıstica 2 yb1=hen caso contrario. Ahora bien,
la caracter´ıstica de Euler resulta invariante porqueb2compensa esta diferencia.
El teorema 4.20 prueba que la caracter´ıstica de Euler de un complejo celular no depende del anillo de coeficientes.
Vamos a ver que la caracter´ıstica de Euler es muy f´acil de calcular en espacios concretos. Para ello necesitamos algunas cuentas con sucesiones exactas. El teorema siguiente es trivial siAes un cuerpo y, por consiguiente, los m´odulos son espacios vectoriales.
Teorema 4.18 Consideremos una sucesi´on exacta
0−→M1 f1
−→M2 f2
−→ · · · −→Mr−→0,
de m´odulos finitamente generados sobre un dominio de ideales principales A.
Entonces P
p
Demostraci´on: Lo probaremos por inducci´on sobre r. Para r= 1, 2 es inmediato. Ve´amoslo parar= 3. Tenemos, pues,
0−→M1
f1
−→M2
f2
−→M3−→0.
Vamos a reducirlo al caso en que el anillo es un cuerpo. Para ello conside- ramos el cuerpo de cocientes Kde A. LlamemosMi =Mi/T(Mi), que es un A-m´odulo libre del mismo rango que Mi (por definici´on). Es f´acil ver que la sucesi´on dada induce una sucesi´on
0−→M1
f1
−→M2
f2
−→M3−→0.
Esta sucesi´on es exacta en M1 y enM3, aunque no necesariamente en M2.
Adem´as,f1◦f2= 0. (Las comprobaciones son simples: veamos, por ejemplo, la inyectividad de f1. Si f1([m]) = 0, entonces f1(m)∈ T(M2), luego existe a∈Ano nulo tal quef1(am) = 0, luego am= 0, luegom∈T(M1) y [m] = 0.)
Si ri = rangMi, fijando una base en cada Mi podemos considerar el iso- morfismo coordenado φi : Mi −→ Ari. A trav´es de estos isomorfismos los homomorfismos f1 y f2 se transforman en homomorfismosj1 y j2, los cuales se extienden de forma ´unica a aplicaciones lineales j0
1 y j20 entre los espacios
vectorialesKri. 0 //M1 φ1 ≤ ≤ f1 / /M2 f2 / / φ2 ≤ ≤ M3 φ3 ≤ ≤ / /0 0 //Ar1 i ≤ ≤ j1 / /Ar2 i ≤ ≤ j2 / /Ar3 i ≤ ≤ / /0 0 //Kr1 j 0 1 / /Kr2 j 0 2 / /Kr3 //0 Concretamente, j0
1 es la extensi´on a Kr1 de la restricci´on de j1 a la base
can´onica deAr1. Similarmente conj0
2.
Ya hemos comentado que la primera fila no es necesariamente exacta enM2, luego la segunda (que es una r´eplica) tampoco tiene por qu´e serlo. No obstante probamos a continuaci´on que la tercera lo es.
En general, si x∈Kr1, existe una∈Ano nulo (el producto de los denomi-
nadores de las componentes dex) tal queax∈Ar1, luegoj
1(ax) =j10(ax) = 0,
luegoax= 0 y tambi´enx= 0. Similarmente se prueba que j0
2 es suprayectiva, as´ı como que j10 ◦j02 = 0.
Tomemos ahora x∈N(j0
2) y, como antes, consideramosa∈Ano nulo tal que ax ∈ Ar2. Sea ax = φ
2([m]). Entonces f2([m]) = 0, es decir, f2(m) es un
elemento de torsi´on, existeb∈Ano nulo tal quef2(bm) = 0, luegobm∈Imf1,
luego [bm]∈Imf1, luegobax∈Imj0
1, y tambi´enx∈Imj01.
Ahora es clara la relaci´onr2=r1+r3. Sir >3 dividimos la sucesi´on exacta dada en las sucesiones
4.5. Los n´umeros de Betti y la caracter´ıstica de Euler 103 y
0−→Imf2−→M3−→ · · · −→Mr−→0.
Como ambas tienen longitud menor quer, podemos aplicarles la hip´otesis de inducci´on y, sumando las igualdades que obtenemos, llegamos a la conclusi´on.
Aunque hemos definido los n´umeros de Betti y la caracter´ıstica de Euler para el caso de un espacio topol´ogico, es claro que la definici´on vale igualmente para pares de espacios. Para probar el teorema siguiente basta aplicar el resultado anterior a la sucesi´on exacta de homolog´ıa del par (X, U) del enunciado: Teorema 4.19 Sea (X, U) un par de espacios topol´ogicos de modo que est´en definidas las caracter´ısticas de Euler de X, U y (X, U). Entonces se da la relaci´on
χ(X) =χ(U) +χ(X, U).
Ahora podemos probar:
Teorema 4.20 SeaX un complejo celular de dimensi´onnformado porcp cel-
das de cada dimensi´on p. Entonces
χ(X) = Pn p=0
(−1)pcp.
Demostraci´on: Lo probamos por inducci´on sobre n. Si n = 0 tenemos queX es un espacio finito dec0puntos. Ciertamente entonces, su ´unico grupo
de homolog´ıa no trivial es el de dimensi´on 0 y χ(X) =b0(X) =c0.
Supuesto cierto paran−1, aplicamos el teorema anterior al par (X, Xn−1),
que nos da la relaci´on
χ(X) =χ(Xn−1) +χ(X, Xn−1).
Seg´un el teorema 4.11, tenemos queχ(X, Xn−1) = (−1)ncn, con lo que la conclusi´on es inmediata.
Ejemplo Sea P un poliedro en el sentido tradicional, es decir, un espacio formado por caras poligonales homeomorfo a una esfera. Entonces, si P est´a formado porV v´ertices,Aaristas y Ccaras, se cumple la relaci´on
V +C−A= 2,
conocida como la f´ormula de Euler.
El teorema anterior nos permite probar f´acilmente una ´ultima relaci´on: Teorema 4.21 SeanX eY dos complejos celulares. Entonces
Demostraci´on: En la prueba del teorema 4.5 hemos visto que X ×Y
admite una estructura de complejo celular en la que
cp(X×Y) = P i+j=p
ci(X)cj(Y).
El resultado es ahora un simple c´alculo a partir del teorema anterior.
Ejemplo χ(S2×S2) = 4, luegoS2×S2 no es homeomorfo aS4.
Terminamos la secci´on mostrando otro caso en el que podemos asegurar que est´an definidos los n´umeros de Betti: el de las variedades topol´ogicas compactas. Teorema 4.22 Los grupos de homolog´ıa de las variedades topol´ogicas compac- tas son m´odulos finitamente generados.
Demostraci´on: Por el teorema 1.9 no perdemos generalidad si considera- mos una variedadV ⊂Rm. Por el teorema 1.15 tenemos un entornoN deV en Rny una retracci´onr:N −→V. Sea≤=d(V,Rm\N). Podemos descomponer Rm en una cuadr´ıcula de cubos de di´ametro menor que≤. La uni´onK de los cubos que cortan aV es un complejo celularV ⊂K⊂N yrse restringe a una retracci´onr:K−→V, la cual induce a su vez epimorfismos
r∗:Hp(K)−→Hp(V).
(Son suprayectivos porquei∗◦r∗= 1, dondei:V −→K es la inclusi´on.) Sabemos que los m´odulosHp(K) de los complejos celulares son finitamente generados, luego lo mismo vale para los m´odulosHp(V).
En particular todas las variedades compactas tienen definidos los n´umeros de Betti y la caracter´ıstica de Euler.