Es f´acil ver que la hip´otesis de recursividad en los teoremas de incompletitud es necesaria. Por ejemplo, podemos considerar la extensi´on T de la aritm´etica de Peano que resulta de tomar como axiomas todas las sentencias verdaderas en su interpretaci´on natural. ClaramenteT es una teor´ıa aritm´etica consistente (ω-consistente, de hecho) y completa. La ´unica explicaci´on de que no contradiga al teorema de incompletitud es que no sea recursiva. As´ı pues, podemos concluir que el conjunto de las afirmaciones verdaderas sobre n´umeros naturales no es recursivo o, dicho de otro modo, que no existe ning´un algoritmo para determinar si una determinada afirmaci´on sobre n´umeros naturales es verdadera o falsa. El teorema de Tarski es una versi´on m´as elaborada de este razonamiento.
Teorema 7.7 (Teorema de Tarski de indefinibilidad de la verdad) Sea
T una teor´ıa aritm´etica recursiva y consistente. SeaM un modelo deT. a) No existe ninguna f´ormulaV(x)con xcomo ´unica variable libre y tal que
para toda sentencia φ(con n´umero de G¨odel n) se cumpla
M≤φ syss M≤V(0(n)).
b) En particular la relaci´on mon´adica dada porV(n)syssV es el n´umero de G¨odel de una sentencia verdadera enM no es expresable en T, y por lo tanto no es recursiva.
c) Tampoco puede existir una f´ormulaV(x)tal que para toda sentenciaφ(de n´umero de G¨odeln) se cumpla `
Tφ↔V(0
(n)).
Demostraci´on: Supongamos que existe la f´ormulaV(x) seg´un a). Enton- ces el teorema 7.2 nos da una sentenciaτ tal que
`
Tτ↔ ¬V(0
7.4. El teorema de Tarski 187 Notemos queτ significa “yo soy falsa”.
Si M ≤ τ, entoncesM ≤ V(0(n)), pero, por (7.2), tendremos tambi´en que
M≤¬τ, lo cual es absurdo.
SiM ≤¬τ, entonces M ≤¬V(0(n)), luego por hip´otesisM ≤τ, y tenemos
de nuevo un imposible. As´ı pues, no existe talV.
Las afirmaciones restantes son consecuencias inmediatas de la primera: Una f´ormula que expresara la relaci´onV descrita en b) cumplir´ıa a), al igual que le suceder´ıa a una f´ormula que cumpliera c).
Observaciones Vemos, pues, que la situaci´on que coment´abamos sobre la aritm´etica de Peano es mucho m´as general: el conjunto de (los n´umeros de G¨odel de) las sentencias verdaderas en un modelo de una teor´ıa aritm´etica recursiva no es recursivo. En realidad es f´acil ver que no es necesario que la teor´ıa aritm´etica sea recursiva, pues un modelo de una teor´ıa aritm´etica cualquiera determina un modelo de la aritm´etica de peano, que s´ı es recursiva.
Loa apartados a) y c) son dos versiones (sem´antica y sint´actica respectiva- mente) de un mismo hecho de gran trascendencia. Su significado se comprende mejor en el contexto de la teor´ıa de conjuntos, donde podemos enunciarlos prescindiendo de la numeraci´on de G¨odel. Observemos que siT es una teor´ıa axiom´atica recursiva, metamatem´aticamente, una sentencia como
α≡Vxy(Natx∧Naty→x+y=y+x)
es un “objeto” que incluso podemos identificar con un n´umero natural. No obstante, desde el punto de vista de T no es un objeto, sino una afirmaci´on. Esto quiere decir que no es, en principio, ninguno de los objetos de los que podemos hablar con el lenguaje deT, sino una de las afirmaciones que podemos hacer enT. La numeraci´on de G¨odel nos permite salvar en parte esta diferencia, es decir, nos permite identificarαcon un objeto deT, a saber con el numeral 0(n), dondenes el n´umero de G¨odel deα. As´ı, toda afirmaci´on metamatem´atica
sobreαtiene un correlato enT sobre 0(n). Por ejemplo, el hecho de queαes una
sentencia se traduce en que enT se puede demostrar Sent 0(n), donde Sentx
es la f´ormula que expresa enT la relaci´on recursiva “ser una sentencia”.4 Sin
embargo no deja de ser cierto queαcomo sentencia deT y el designador 0(n)son
dos objetos distintos. Un modo de relacionarlos de forma natural ser´ıa definir el “significado” de un n´umero natural, es decir, definir una f´ormulaV(x) de modo que enT pudi´eramos probar que
V(0(n))↔Vxy(Natx∧Naty→x+y=y+x)
Esto es justo lo que el apartado c) del teorema de Tarski demuestra que es imposible: No podemos asignar a cada n´umero natural mediante una f´ormula 4El hecho de que cualquier afirmaci´on sobre cualquier sentenciaαtiene un correlato formal
enT es cierto en general, pero entendiendo que dicho correlato no tiene por qu´e ser, como en este caso concreto, un teorema deT. En general tendremos ´unicamente una sentencia cuya interpretaci´on natural ser´a el hecho dado. Pensemos por ejemplo en “Wx x6=xno se puede demostrar enT”, cuyo correlato formal es ConsisT.
(es decir, mediante una definici´on en T) la sentencia que codifica, (si es que codifica alguna) o, al menos, una sentencia equivalente. El apartado a) nos dice que el problema no est´a en la incompletitud deT, sino que es m´as b´asico todav´ıa: no es posible definir siquieraV de modo que las equivalencias como la anterior (para toda sentencia α) sean, no ya demostrables, sino verdaderas en un modelo predeterminado. En general, no hay ninguna restricci´on en cuanto a la formalizaci´on completa de la l´ogica de una teor´ıa aritm´etica en ella misma, pero s´ı hay restricciones muy importantes a la hora de relacionar los hechos y conceptos metamatem´aticos con sus correspondientes formalizaciones.
Respecto a la prueba del teorema de Tarski, hemos de destacar que se apoya esencialmente en la conocida paradoja de Epim´enides, o paradoja del menti- roso. La versi´on cl´asica se remonta a Epim´enides, que, para rebatir la fama de mentirosos que en la antig¨uedad ten´ıan los cretenses afirmaba: “Todos los cretenses mienten”; ahora bien, Epim´enides era cretense, por lo que cualquiera que le oyera ten´ıa que admitir que, por lo menos, los cretenses dicen la verdad en algunas ocasiones, ya que si suponemos que los cretenses mienten siempre entonces la afirmaci´on de Epim´enides ser´ıa cierta, pero eso es contradictorio con que la afirme un cretense.
Depurando el argumento, supongamos que un d´ıa, a las 12:01, Juan afirma: “Todo lo que hoy ha dicho Juan entre las 12:00 y las 12:02 es falso”, y no dice nada m´as en dicho intervalo. Esta afirmaci´on ser´ıa sin duda verdadera o falsa si la hubiera pronunciado cualquiera que no fuera Juan, o incluso si la hubiera pronunciado Juan en otro momento. Pero cuando la pronuncia Juan a las 12:01 se vuelve contradictoria.
Es la misma contradicci´on a la que llegamos si negamos la conclusi´on del teorema de Tarski: si en una teor´ıa aritm´eticaT podemos definir la noci´on de “n´umero de G¨odel de una sentencia verdadera en un modelo dado”, entonces podemos construir una sentencia que diga “yo soy falsa” y tenemos la paradoja. No obstante, hemos de insistir en que la prueba no es un sofisma, sino que, muy al contrario, es totalmente constructiva: si alguien pudiera definir una f´ormula V(x) que cumpla el apartado a) del teorema de Tarski, entonces sabr´ıamos escribir una sentencia τ de la que podr´ıamos probar tanto que es verdadera como que es falsa. Por consiguiente estamos seguros de que la f´ormula V no existe.