Statistical analyses - Methods and Methodological Approaches

3. Data Sources, Spatial Frameworks and Methods

3.5 Methods and Methodological Approaches

3.5.2 Statistical analyses

Los espectros obtenidos a la salida de la fibra en la regi ón del UV muestran la generaci ón de dos se ñales principales alrededor de 300 y 340 nm (figura 28 y 30). El proceso de THG, con bombeo degenerado, puede generar una se ñal centrada alrededor de 300 nm

a partir de un campo de bombeo centrado alrededor de 900 nm; similarmente puede generar una se ñal alrededor de 340 nm a partir de un campo de bombeo centrado alrededor de 1020 nm. El perfil espectral del l áser de Ti:Zafiro, que se muestra en las figuras 25 y 28, no contiene componentes espectrales centradas alrededor de 900 ni de 1020 nm. Sin embargo, el perfil espectral del supercontinuo generado con una potencia promedio del campo incidente de 210 mW, s´ı contiene dichas componentes espectrales (figura 24a). En los espectros que se muestran en la figura 30, la potencia m áxima del campo incidente es de alrededor de 210 mW y ésta va disminuyendo a pasos peque ños. Respecto a los datos experimentales que se muestran en la figura 32, asociados a los espectros adquiridos con cambios en la polarizaci ón del campo incidente, éstos fueron generados con una potencia del campo incidente de alrededor de 200 mW. En resumen, las se ñales observadas alrededor de 300 y 340 nm est án asociadas a espectros del supercontinuo que contiene componentes espectrales alrededor de 900 y 1020 nm. Por tanto, a partir de los resultados obtenidos, asumimos que estas componentes del supercontinuo act úan como campo de bombeo generando se ñales alrededor de 300 y 340 nm por el proceso de THG.

Sin embargo, a ún es necesario explicar la generaci ón de estas se ñales por medio de la condici ón de empatamiento de fases. Los c álculos mostrados en el cap´ıtulo anterior no muestran empatamiento de fases para las se ñales observadas alrededor de 300 y 340 nm. No obstante, dichos c álculos se realizaron bajo diversas suposiciones. En esta secci ón revisaremos algunas de ellas, las cuales se enlistan a continuaci ón:

Fibra óptica. Los valores de la fracci ón de llenado y del radio del n úcleo se tomaron directamente de la hoja de especificaciones otorgada por el fabricante, sin realizar una medici ón directa en la fibra.

Campo del tercer arm ónico. En los c álculos de empatamiento de fases que se realizaron y presentaron en el cap´ıtulo anterior, el tercer arm ónico se propaga única- mente en los modos HElm conl= 1,2,3.

tercer arm ´onico es generado mediante la aniquilaci ´on de tres fotones con la misma longitud de onda.

A continuaci ón se discute la validez de cada una de estas suposiciones. Con respecto a la fibra óptica y al valor del radio del n úcleo, es posible medir su valor directamente en la fibra por medio de un microscopio electr ónico de barrido SEM (por sus siglas en ingl és Scanning Electron Microscope). En la figura 33 (a) se muestra la imagen de un corte transversal de la fibra NL 2.4 800 adquirida por un SEM, en la figura 33 (b) se muestra un acercamiento al n úcleo del radio de la fibra en donde es posible observar que el valor del di ámetro de la fibra puede ser mayor a 2.4µm (valor otorgado por el fabricante). En la figura 33 tambi én es posible notar que el n úcleo de la fibra no corresponde a un c´ırculo perfecto, por lo que el valor del di ámetro de la fibra no tiene el mismo valor en diferentes direcciones induciendo efectos de birrefringencia. Otras mediciones realizadas en el SEM muestran que el di ámetro de la fibra puede ser mayor a 2.5µm.

a)

b)

5 μm

Figura 33: Im ´agenes del corte transversal de la fibra NL 2.4 800 adquiridas con un SEM a diferentes escalas.

Adicionalmente al valor de la fracci ón de llenado y del radio de la fibra, el fabricante otorga el valor de otros par ámetros de la fibra que se muestran en la Tabla 5. Variando el valor del di ámero de la fibra d en el intervalo (2.4 µm - 2.6 µm) y el valor de la fracci ón de llenado f alrededor de 0.9 se realiz ó una busqueda de los valores de d y f que, en conjunto, den como resultado el valor m ás cercano posible a los par ámetros que se muestran en la Tabla 5. Por medio de este procedimiento se determin ó modelar a la fibra NL 2.4 800 con los siguientes par ámetros: valor del radio de la fibrar=1.288 y valor de la fracci ón de llenadof=0.89.

Tabla 5: Par ´ametros de la fibra NL 2.4 800 otorgados por el fabricante.

Fibra NL 2.4 800

Di ámetro del n úcleo 2.4±0.1µm Longitud de onda de cero dispersi ón (λZD) 800±5 nm

Apertura numerica aλZD 0.19

Area efectiva del modo 2.8µm2

Coeficiente no lineal aλZD 70W−1Km−1

Con respecto al segundo punto, en la b ´usqueda de condiciones de empatamiento de fases podemos incluir a todos los modos de propagaci ´on soportados por la fibra NL 2.4 800.

Tomando en cuenta lo anterior, se procedi ó a calcular la funci ón ∆β con condiciones m ás apegadas a la situaci ón f´ısica real. En la figura 34 (b) se muestran los c álculos de empatamiento de fases para el proceso de THG, con bombeo degenerado (figura 34a), tomando en consideraci ón los nuevos valores def yry permitiendo la propagaci ón del tercer arm ónico en todos los modos de propagaci ón de la fibra. En la gr áfica de la figura 34 (b) el eje horizontal indica el valor de la longitud de onda del tercer arm ónico y el eje vertical el valor de la funci ón ∆β. En la gr áfica las soluciones a la condici ón

∆β = 0 est án se ñaladas con un punto rojo, indicando que es posible generar una se ñal centrada en λh=295 nm cuando el tercer arm ónico se propaga en el modo EH13, una

se ˜nal centrada enλh= 297 nm cuando se propaga en el modoHE52y una se ˜nal centrada

en λh=345 nm cuando se propaga en el modo EH51. En todos los casos se consider ´o

que el campo de bombeo se propaga en el modo fundamental. En la Tabla 6 se muestran los valores asociados a las soluciones que se encuentran en la figura 34. Los resultados muestran que las se ñales observadas alrededor de 300 y 340 nm se pueden asociar a la generaci ón de campos de tercer arm ónico propag ándose en los modosHE52 y EH51

respectivamente.

Sin embargo, el ancho espectral del supercontinuo, que hemos asumido como el campo de bombeo para la generaci ón del tercer arm ónico, aumenta la disponibilidad de componentes espectrales que contribuyen al proceso, en comparaci ón con un campo de bombeo proveniente del l áser de Ti:Zafiro. Con respecto al tercer punto y tomando en cuenta

0.3 0.32 0.34 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06

Longitud de onda del armónico (μm)

Δβ

(

μ

m

−1

)

EH13 HE52 EH51

λ

1 b) a)

Figura 34: Generaci ón de tercer arm ónico mediante la participaci ón de tres fotones de bombeo con la misma longitud de onda: a) Diagrama de niveles de energ´ıa para dicho proceso. b) C álculo de empatamiento de fases de dicho proceso.

Tabla 6: Valores asociados a las soluciones a la condici ´on de empatamiento de fases para la fibra NL 2.4 800.

Fibra NL 2.4 800

Modo de propagaci ´on (TH) λh (nm) λb (nm) γ (W−1/km)

EH13 295 885 0.042

HE52 297 891 0.004

EH51 345 1035 0.001

lo dicho anteriormente, consideramos la posibilidad de que otras componentes espectrales, adem ás de 900 y 1020 nm, contribuyan a la generaci ón del tercer arm ónico. Realiza- mos c álculos de empatamiento de fases considerando la aniquilaci ón de tres fotones con diferente longitud de onda (caso no degenerado en el bombeo), provenientes del supercontinuo, para la generaci ón del tercer arm ónico. El diagrama de niveles de dicho proceso se muestra en la figura 35. Previamente, se mostr ó que la condici ón de empatamiento de fases tiene soluci ón única para el proceso de THG degenerado en el bombeo, una vez que se elige el modo de propagaci ón del tercer arm ónico y del fundamental. En el caso no degenerado al elegir el modo de propagaci ón de ambos campos la soluci ón deja de ser única.

En la figura 36 se muestran los resultados del c álculo de empatamiento de fases m ás pr óximos a las se ñales observadas experimentalmente. En las curvas mostradas en la

figura 36, cada punto representa una soluci ón a la condici ón∆β = 0. En cada gr áfica de la figura 36 el eje horizontal indica la longitud de onda del fot ón generado y el eje vertical indica la longitud de onda de dos de los fotones de bombeo (etiquetados como 1 y 2) que cumplen con la condici ón ∆β = 0. La longitud de onda del tercer fot ón de bombeo (etiquetado como 3) tiene un valor fijo el cual se indica en la esquina superior derecha de cada gr áfica por medio deλ3.

Los c álculos de empatamiento de fases que se muestran en la figura 36 se realizan en t érminos de∆, en el eje vertical, y de la longitud de onda del fot ón generado por el correspondiente proceso no lineal, en el eje horizontal (v éase figuras de la secci ón 3.2.1). En este caso la longitud de onda de los fotones de bombeo,λ1,2 se relaciona con ∆de la

siguiente forma 1 λ1,2 = ∆1,2 2πc + 1 2 1 λh + 1 λ3 , (61)

donde ∆1 son los valores negativos de delta, mientras que ∆2 son los valores positivos

de delta. Para facilitar al lector la interpretaci ón de los c álculos de empatamiento de fases para el proceso de THG degenerado en el bombeo, los valores de∆en el eje vertical se omitieron y en su lugar se muestra directamente el valor de la longitud de onda de los fotones de bombeo que cumplen con la condici ón de empatamiento de fases. Sin embargo es importante mencionar que los valoresλ1,2 que se muestran en la figura 36, correspon-

den ´unicamente a los fotones (1 y 2) que cumplen con la condici ´on de empatamiento de fases. Debido a que el valor de λ1,2 depende de ∆ y de λh, aunque el valor de ∆ sea

el mismo, como es el caso en las l´ıneas horizontales puntuadas que se observan en la figura 36, el valor deλ1,2 cambia en cada punto que conforma dichas l´ıneas horizontales,

debido al cambio en el valor deλh.

En la figura 36 (a) se muestra la curva de empatamiento de fases cuando el tercer arm ´onico se propaga en el modo EH13 generando fotones alrededor de λ=296 nm, los

fotones de bombeo que contribuyen a la generaci ón del tercer arm ónico se encuentran en el intervalo de 647 nm-1439 nm. En esta gr áfica se muestra, con l´ıneas punteadas, un caso espec´ıfico de la curva de empatamiento de fases en donde es posible generar un fot ón en λ=296 nm por la aniquilaci ón de tres fotones de bombeo con longitud de onda

degenerado en donde se genera un fot ´on alrededor deλ=295 nm por la aniquilaci ´on de tres fotones con longitud de ondaλ1= 885 nm,λ2= 885 nm yλ3= 885 nm. En la figura 36

(b) se muestra la curva de empatamiento de fases cuando el tercer arm ´onico se propaga en el modoHE52generando fotones alrededor deλ=298 nm, los fotones de bombeo que

contribuyen a la generaci ón del tercer arm ónico se encuentran en el intervalo de 650 nm-1464 nm. En esta gr áfica se muestra, con l´ıneas punteadas, un caso espec´ıfico de la curva de empatamiento de fases, en donde se genera un fot ón con λ=298 nm por la aniquilaci ón de tres fotones de bombeo con longitud de ondaλ1= 1249 nm, λ2= 695 nm

yλ3= 895 nm. En la figura 36 (b) el punto rojo se ˜nala el caso degenerado, por medio del

cual se genera un fot ´on alrededor de λ=297 nm por la aniquilaci ´on de tres fotones con longitud de ondaλ1= 894 nm,λ2= 894 nm yλ3= 895 nm. En la figura 36 (c) se muestra la

curva de empatamiento de fases cuando el tercer arm ´onico se propaga en el modoEH51

generando fotones alrededor deλ=346 nm, los fotones que contribuyen a la generaci ón del tercer arm ónico se encuentran en el intervalo de 845 nm-1355 nm. En la figura 36 (c) se muestra con l´ıneas punteadas un caso espec´ıfico de la curva de empatamiento de fases, en donde se genera un fot ón conλ=345 nm por la aniquilaci ón de tres fotones con longitud de ondaλ1= 1169 nm, λ2= 927 nm yλ3= 1032 nm. En la figura 36 (c) el punto

rojo se ˜nala el caso parcialmente degenerado en donde se genera un fot ´on por encima de

λ=345 nm por la aniquilaci ´on de tres fotones con longitud de ondaλ1= 1034 nm,λ2= 1034

nm yλ3= 1032 nm. Los tres puntos rojos se ˜nalados en la figura 36 son equivalentes a los

tres puntos que est ´an se ˜nalados en la figura 34.

λ

3

λ

h

λ

2

λ

1

Figura 35: Diagrama de niveles de energ´ıa para el proceso de THG con un campo de bombeo no degenerado.

347 346 345 1337 1164 1034 933 852 λ =1032 nm3 1169 nm 927 nm c) 297 296 295 1439 1091 885 745 647

Señal se propaga en el modo EH13

673 nm

1309 nm

Señal se propaga en el modo EH51

λ = 885 nm₃ a) λ 1 ( nm) λ 2 ( nm) λ_h (nm) 1 λ1 ( nm) λ 2 ( nm) λ_h (nm) 299 298 297 1464 1107 894 749 650

Señal se propaga en el modo HE52

λ (nm) λ 2 ( nm) λ = 895 nm₃ 1249 nm 695 nm b) λ_h (nm)

Figura 36: C ´alculo de empatamiento de fases cuando el tercer arm ´onico viaja en modos de orden

superior: a) modoEH13(b) modoHE52(c) modoEH51.

In document A Spatial and Statistical Analysis of Commuting to Work in the UK: 1991, 2001 and 2011 (Page 111-125)