Placa. Es un s´olido prism´atico limitado por dos planos, cuya separaci´on (espesor de la placa) es peque˜na en comparaci´on con las otras dos dimensiones del s´olido. El espesor es, como m´aximo, del orden de 101 ´o 18 de las otras dimensiones.
L´amina. Es un s´olido prism´atico limitado por superficies no planas, cuya separaci´on (espesor de la l´amina) es peque˜na en comparaci´on con las otras dos dimensiones del s´olido. Ejemplos de l´aminas son los cascos de los buques, los revestimientos de los fuselajes y alas de los aviones, las paredes de tuber´ıas y recipientes a presi´on, etc. En las placas y en las l´aminas, en vez de la directriz se utiliza el concepto de superficie media, que es la constituida por los puntos que dividen el espesor en dos partes iguales.
Cambio brusco de sección transversal en un eje: la
Resistencia de Materiales no dará resultados precisos en esta zona
Figura 19.2: Cambio brusco de secci´on transversal
19.3.
Hip´otesis generales
En la Resistencia de Materiales aplican, en general, las mismas hip´otesis generales utilizadas en la teor´ıa de la elasticidad lineal, esto es:
1. Peque˜nos desplazamientos y deformaciones: Las condiciones de equilibrio se expresan co- mo si el s´olido deformado tuviera la misma forma y las mismas dimensiones que antes de producirse la deformaci´on (principio de rigidez relativa).
2. Principio de superposici´on de efectos: Las tensiones, deformaciones y movimientos en un punto del s´olido el´astico sometido a varias acciones exteriores son la suma de las tensiones, deformaciones y movimientos, respectivamente, que se producen en dicho punto por cada acci´on actuando aisladamente.
Como es sabido, este principio aplica si las tensiones son proporcionales a las deforma- ciones (Ley de Hooke) y si, adem´as, las acciones que act´uan sobre el s´olido no cambian significativamente su geometr´ıa original.
3. Principio de Saint-Venant: Las tensiones en una zona alejada de los puntos de aplicaci´on de un sistema de fuerzas s´olo dependen de la resultante y del momento resultante de
este sistema de fuerzas. En particular, dos sistemas de fuerzas est´aticamente equivalentes producen las mismas tensiones en una regi´on alejada de sus puntos de aplicaci´on.
Seg´un esta hip´otesis, las tensiones sobre la secci´on transversal Σ no dependen m´as que de la resultante y el momento resultante con respecto al centro de gravedad G de la secci´on de las fuerzas aplicadas sobre el s´olido a uno de los dos lados en que queda ´este dividido por Σ.
Adem´as de estas tres hip´otesis generales, se hacen tambi´en hip´otesis cinem´aticas, que per- miten simplificar el problema el´astico general.
4. Hip´otesis cinem´aticas. Son hip´otesis sobre los desplazamientos los puntos de la secci´on transversal del s´olido prism´atico y sobre la relaci´on de los mismos con las deformaciones del material y con el movimiento de la directriz. Dependen de la teor´ıa concreta de vigas, placas o l´aminas que se est´e empleando1.
En Resistencia de Materiales I, para el estudio de la tracci´on y compresi´on de s´olidos prism´aticos, s´olo vamos a utilizar la hip´otesis cinem´atica conocida como hip´otesis de Navier-Bernouilli2. Esta es la hip´otesis cinem´atica m´as cl´asica de la resistencia de ma- teriales y puede enunciarse como:
En la deformaci´on del s´olido prism´atico, las secciones planas normales a la directriz permanecen planas despu´es de la deformaci´on.
Si se postula adem´as que las secciones planas normales a la directriz son indeformables en su plano, esta hip´otesis permite obtener los desplazamientos ~δp de cualquier punto de la
secci´on transversal a partir de ´unicamente seis grados de libertad (posici´on de un plano r´ıgido), que se asocian normalmente a las tres componentes del desplazamiento y a las tres componentes del giro del centro de gravedad G de la secci´on transversal.
Como se ver´a en Resistencia de Materiales II, cuando se estudia la deformaci´on de una secci´on bajo la acci´on del esfuerzo cortante o del momento torsor, la teor´ıa de la elasticidad muestra que las secciones transversales no permanecen planas, sino que sufren un alabeo, adelant´andose unos puntos con respecto al plano de la secci´on, mientras que otros se retrasan.
En estos casos, se sustituye la hip´otesis de Navier-Bernouilli por el que se conoce como principio de Navier-Bernouilli generalizado:
Dos secciones transversales del s´olido prism´atico infinitamente pr´oximas, Σ y Σ0, se convierten despu´es de la deformaci´on en dos secciones tambi´en infinitamente pr´oxi- mas, Σ1 y Σ01, en general alabeadas, de forma que las secciones Σ1 y Σ01 son super-
ponibles por desplazamiento.
1Existen diversas teor´ıas relativas a la flexi´on de vigas, placas y l´aminas, cada una de ellas basada en una hip´otesis cinem´atica. Merecen citarse las teor´ıas de Euler-Bernouilli y de Timoshenko, para la flexi´on de vigas, y las teor´ıas de Love-Kirchhoff y de Reissner-Mindlin en la flexi´on de placas. Tambi´en existen varias teor´ıas relativas a la torsi´on, con diferentes hip´otesis cinem´aticas, como la teor´ıa de Saint-Venant y la de Vlasov. El estudio de estas teor´ıas queda fuera del alcance de este curso.
2Jacobo Bernouilli (1654-1705), matem´atico suizo que estudi´o por primera vez la ecuaci´on de la deformada en flexi´on de una viga el´astica. Claude Louis Navier (1785-1836), ingeniero franc´es al que se considera fundador de la Resistencia de Materiales moderna, ya que fue el primero en formular la teor´ıa de la elasticidad en un manera utilizable en problemas pr´acticos de construcci´on. Navier determin´o la ecuaci´on diferencial de la deformada de una viga el´astica en base a suponer que las secciones planas permanecen planas despu´es de la deformaci´on.
Lecci´on 20
Concepto de esfuerzo. Diagramas.
20.1.
Concepto de esfuerzo
Consideremos un s´olido prism´atico en equilibrio est´atico bajo la acci´on de un sistema de fuerzas exteriores. Supongamos el s´olido dividido en dos partes A y B mediante un plano de corte imaginario normal a la directriz (figura 20.1).
A trav´es del corte imaginario, la parte B debe ejercer sobre la parte A una fuerza ~R y un
momento ~M , referidos al centro de gravedad G de la secci´on, equivalentes a la acci´on exterior sobre la parte B, ya que en otro caso no se mantendr´ıa el equilibrio est´atico de la parte A.
Obviamente, la parte A ejerce sobre la parte B una fuerza y un momento iguales y de sentido contrario, − ~R y un momento − ~M .
Estas fuerzas internas que se ejercen entre s´ı las dos mitades del s´olido el´astico a trav´es de la secci´on transversal del mismo, se conocen con el nombre de esfuerzos. Los esfuerzos son las resultantes de las tensiones sobre una secci´on transversal del s´olido prism´atico. Normalmente, se refieren al centro de gravedad G de la secci´on transversal.